假期作业14 任意角的三角函数与弧度制-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

　　　　　假期作业１４　任意角的三角函数与弧度制　　　 １．角的概念的推广 (１)从运动的角度看,可 分 为 正 角、　 　 　 和　　　． (２)从终边位置来看,可分为　　　　和轴线角 (３)若α与β 角的终边相同,则β用α 表示为 β＝α＋２kπ(k∈Z)． ２．弧度制的定义和公式 (１)定义:把长度等于　　　　的弧所对的圆 心角叫做１弧度的角,弧度记作rad． (２)角度与弧度的换算①１°＝ π１８０rad ; ②１rad＝ １８０π æ è ç ö ø ÷°． (３)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad), 半径为r,则l＝　　　　,扇形的面积为 S＝１２lr＝ １ ２r ２α． ３．任意角的三角函数 定义:设α是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点P(x,y),那么sinα＝　　　　, cosα＝　　　　　　　　,tanα＝yx． ◆[考点一]　角的集合表示及象限角的判定 １．(多选)以下表示第四象限角的集合．正确 的是 (　　) A．{x|２７０°＜x＜３６０°} B．{x|２７０°＋k􀅰３６０°≤x≤(k＋１)􀅰３６０°,k∈Z} C．{x|２７０°＋k􀅰３６０°＜x＜(k＋１)􀅰３６０°,k∈Z} D．{x|k􀅰３６０°－９０°＜x＜k􀅰３６０°,k∈Z} ２．二十四节气(The２４SolarTerms)是指中国 农历中表示季节变迁的２４个特定节令,是 根据地球在黄道(即地球绕太阳公转的轨 道)上的位置变化而制定的,每一个分别相 应于地球在黄道上每运动１５°所到达的一定 位置．根据上述描述,从秋分到小雪相应于 地球在黄道上运动的度数为 (　　) A．６０° B．－７５°　　C．４５°　　D．－６０° ３．给出下列四个命题: ①－３π４ 是第二象限角;②４π３ 是第三象限角; ③－４００°是第四象限角;④－３１５°是第一象 限角． 其中正确的命题有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ４．α是一个任意角,则α的终边与３π－α的 终边 (　　) A．关于坐标原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称 ◆[考点二]　扇形的弧长及面积公式 ５．中国传统扇文化有着 极其深厚的文化底蕴． 一般情况下,折扇可看 作是从一个圆面中剪 下的扇形制作而成,设扇形的面积为S１,圆 面中剩余部分的面积为S２,当S１ 与S２ 的比值 为 ５－１ ２ 时,扇面看上去形状较为美观,那么此 时扇形的圆心角的弧度数为 (　　) A．(３－ ５)π B．(５－１)π C．(５＋１)π D．(５－２)π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３ ６．(多选)已知扇形的周长是 ６cm,面积是 ２cm２,则下列选项正确的有 (　　) A．扇形的半径为２ B．扇形的半径为１ C．圆心角的弧度数是１ D．圆心角的弧度数是２ ７．一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等 于圆半径的２ ３ ,面积等于圆面积的５ ２７ ,则扇 形的弧长与圆周长之比为　　　　． ８．已 知 半 径 为 １０ 的 圆 O 中,弦 AB 的 长 为１０． (１)求弦AB 所对的圆心角α的大小; (２)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓 形的面积S． ◆[考点三]　任意角的三角函数 ９．已知角α的终边经过点( m,３m),若α＝ ７π ３ ,则m 的值为 (　　) A．２７ B．１２７ C．９ D． １ ９ １０．已知角α的终边过点 cosπ３ ,－sinπ６ æ è ç ö ø ÷,则 sinα的值为 (　　) A．－ ２２　　B． ２ ２　　C．－ １ ２　　D． １ ２ １１．设α是第二象限角,P(x,４)为其终边上的一 点,且cosα＝１５x ,则tanα＝　　　　． １２．已知点 M 是圆x２＋y２＝１上的点,以射线 OM 为终边的角α的正弦值为－ ２２ ,求cosα 和tanα的值． １．(多选)下列命题中错误的是 (　　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角不一定是负角 D．钝角比第三象限角小 ２．八点二十分这个时刻同学们一定不陌生,因 为那是我们学校第一节课上课的时刻．请你 联想或观察黑板上方的钟表,对下面的问题 做出选择:八点二十分,时针和分针夹角的 弧度数为 (　　) A．１１π１８　　B． ２π ３　　C． １３π １８　　D． ７π ９ 一老头骑三轮蹭了路 边停的一辆路虎,正愁眉 苦脸时,这时走过来一个 路人, 路人问:赔得起么? 老头:赔不起! 路人说:赔不起还不跑,等人家来找你啊! 老头欲言又止,最终还是一步三回头的 走了! 这时这名路人拿出钥匙开着路虎走了! 人一生当中,最大的炫耀,不是你的财富, 也不是你的精明,更不是你的手段; 而是一种简单的理解和体谅! 没有一颗善良的心! 拜再多的佛也没有 用􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３ |QF|,|CE|＝|EF|＝|FG|＝ ２|AB| ＝ ２|n|． 由图可知点 B,C,E,Q 共线,点 Q,F,G 共线, 所以BQ→＝BC→＋CE→＋EQ→＝(２＋ ２)k, QG→＝QF→＋FG→＝(１＋ ２)n, 所以a＝BG→＝BQ→＋QC→＝(２＋ ２)k＋(１＋ ２)n．故选 D．] ２．解析:建立如下图的平面直角坐 标系, 由已知得B(６,０),D(０,４),E(３, ４),EB→＝(３,－４), 由EF→ ＝３FB→ 得EF→ ＝ ３４ EB → ＝ ９４ ,－３( ) , 设F(x,y),则(x－３,y－４)＝ ９４ ,－３( ) , 可 得 x－３＝９４ y－４＝－３{ ,解 得 x＝２１４ y＝１{ ,所 以 F ２１ ４ ,１( ) ,AF→ ＝ ２１４ ,１( ) , 又因为AF→＝λAB→＋μAD→＝λ(６,０)＋μ(０,４)＝(６λ,４μ), 所以 ４μ＝１ ６λ＝２１４{ ,解得λ＝ ７ ８ ,μ＝ １ ４ ,则λ＋μ＝ ９ ８． 答案:９ ８ 假期作业１４ 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)半径长　(３)r|α| ３．y　x　 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A　３．C　 ４．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ５．A　[设扇形的圆心角的弧度数为θ,其所在圆的半径为r,则 S１ S２ ＝ １ ２r ２θ πr２－１２r ２θ ＝ ５－１２ ,解得θ＝(３－ ５)π．故选 A．] ６．ABC　[设扇形半径为r,圆心角的弧度数为α,则由题意得 ２r＋αr＝６, １ ２αr ２＝２,{ 解得 r＝１ , α＝４,{ 或 r＝２, α＝１,{ 可得圆心角的弧度数是４ 或１,扇形的半径是１或２．] ７．解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为２r３ ,记扇形的圆心角 为α,则 １ ２α ２r ３( ) ２ πr２ ＝５２７ ,∴α＝５π６． ∴扇形的弧长与圆周长之比为lc ＝ ５π ６ 􀅰２ ３r ２πr ＝ ５ １８． 答案:５ １８ ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝π３ ,r＝１０,∴弧长l＝α􀅰r＝π３×１０ ＝１０π３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７ ,故选B．] １０．A 　 [因 为 角 α 的 终 边 过 点 cosπ３ ,－sinπ６( ) , 即 １ ２ ,－１２( ) , 则sinα＝ －１２ １ ４＋ １ ４ ＝－ ２２． ] １１．解析:因为α是第二象限角． 所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０．又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即y１ ＝－ ２２．∵ 点M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１,即x１２＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２．∴cosα＝ ２ ２ , tanα＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．AD　[A．由于三角形内角范围为(０,π),内角为 π２ 不是第 一、二象限角,错;B．由任意角定义,始边相同而终边不同的 角一定不相等,对;C．如７π４ 为正角且在第四象限角,故第四 象限角不一定是负角,对;D．钝角范围为 π２ ,π( ) ,而－２π３ 是 第三象限角,此时钝角大,错．] ２．C　[如图示:记从表盘中心(圆心)O 到１２点方向的半径为OA,８:２０时分 针方向为OB,时针方向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] 假期作业１５ 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９