假期作业13 向量的基本定理与向量的坐标-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

假期作业１３　向量的基本定理与向量的坐标　　　　　　　 １．共线向量基本定理 向量a(a≠０)与b共线的充要条件是存在 唯一一个实数λ,使得b＝λa． ２．平面向量基本定理 如果a,b是同一平面内的两个　　　　向 量,那么对于这一平面内的任意向量c,有且 只有一对实数(x,y),使c＝　　　　．不共 线的向量a,b叫做表示这一平面内所有向 量的一组　　　　． ３．平面向量的正交分解 把一个向量分解为　　　　　　　　的非 零向量,叫作向量的正交分解． ４．向量的直角坐标 在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴 方向相同的两个　　　　,a、b作为基底, 对于平面内的一个向量c,由平面向量基本 定理知,有且只有一对实数x、y 使得c＝ 　　　　　,则 (x,y)为向量c的坐标． ５．平面向量的坐标及其运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b ＝(　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b ＝(　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ６．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、 b共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理 １．设a,b是平面内所有向量的一组基底,则下 列四组向量中,不能作为基底的是 (　　) A．a＋b和a－b　　B．３a－４b和６a－８b C．a＋２b和２a＋b D．a和b＋b ２．如图,AB 是☉O 的直径,点C, D 是半圆弧AB ︵ 的两个三等分 点,AB → ＝a,AC → ＝b,则AD → ＝ (　　) A．a－１２b B． １ ２a－b C．a＋１２b D． １ ２a＋b ３．如图,在△ABC 中,设AB → ＝ a,AC → ＝b,BD → ＝２DC →,AE → ＝ ４ED →,则BE → ＝ (　　) A．１１５a－ ８ １５b　　　　B． ２ ３a－ ８ １５b C．－２３a＋ ８ １５b D．－ １１ １５a＋ ８ １５b ４．向量a在基底{e１,e２}下可以表示为a＝２e１ ＋３e２,若a在基底{e１＋e２,e１－e２}下可以表 示为a＝λ(e１＋e２)＋μ(e１－e２),则λ＝ 　　　　　,μ＝　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),则２a＋b 等于 (　　) A．(５,７)　B．(５,９)　C．(３,７)　D．(３,９) ６．若向量a＝(２,１),b＝(－１,２),c＝ ０,５２ æ è ç ö ø ÷, 则c可用向量a,b表示为 (　　) A．１２a＋b B．－ １ ２a－b C．３２a＋ １ ２b D． ３ ２a－ １ ２b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３ ７．已知向量a＝(３,１),b＝(０,－１),c＝(k, ３),若(a－２b)∥c,则实数k的值为 (　　) A．１　　B．－１　　C．３　　D．－ ３ ８．已知A(０,１),B(３,－２),且AC → ＝２CB →,则 AC → 的坐标为　　　　　． ◆[考点三]　平面向量基本定理的综合应用 ９．已知在Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝１, AC＝２,D 是 △ABC 内一点,且 ∠DAB＝ ６０°,设AD → ＝λAB → ＋μAC →(λ,μ∈R),则 λ μ ＝ (　　) A．２ ３３ 　　B． ３ ３　　C．３　　D．２ ３ １０．已知正方形ABCD 的边长为２,点P 满足 AP → ＝１２ (AB → ＋AC → ),则|PD → |＝　　　　　; PB → 􀅰PD → ＝　　　　． １１．设e１,e２ 是不共线的非零向量,且a＝e１－ ２e２,b＝e１＋３e２． (１)证明:a,b可以作为一组基底; (２)以a,b为基底,求向量c＝３e１－e２ 的分 解式; (３)若４e１－３e２＝λa＋μb,求λ,μ的值． １２．解答下列各题: (１)设向量a＝(１,２),b＝(－４,３),求a －２b; (２)已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１), 点P 满足MP → ＝１２MN →,求点P 的坐标． １．南开中学八角形校徽由两个正 方形叠加组合而成,体现“方方 正正做人”之意,又体现南开人 “面向四面八方,胸怀博大,广 纳新知,锐意进取”之精神．如图的多边形, 由一个正方形与以该正方形中心为中心逆 时针旋转４５°后的正方形组合而成．已知向 量n,k,则向量a＝ (　　) A．３k＋２n B．３k＋(２＋ ２)n C．(２＋ ２)k＋(２＋ ２)n D．(２＋ ２)k＋(１＋ ２)n ２．在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝４,E 为CD 的中点,若EF → ＝３FB →,AF → ＝λAB → ＋μAD →, 则λ＋μ＝　　　　． 大妈早上去广场散步,看到有个老头拿着 海绵笔在地上写大字,忍不住凑上去看． 老头看了大妈一眼,提笔写了个“滚”字． 大妈心想:看一下至于吗? 􀆺􀆺老头又看大妈 一眼,又写个“滚”．大妈再也忍不住了,上去一 脚将老头踢倒在地􀆺􀆺 警察来了问咋回事,老头委屈地说:“我就 想写句‘滚滚长江东逝水’,刚写头两个字,就 被这个神经病踹倒了”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３ 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量, 满足“|a|＝|b|”,满足“a与b 都是单位向量”,但是a∥b不 成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量平行,可知 |a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于C:因为a＝－２b, 所以a∥b．故 C正确．] ２．解:设AF＝mAD,BF＝nBE, 根据向量共线定理,得:AF→＝mAD→, AF→＝nAE→＋(１－n)AB→,３AE→＝AC→, 所以AF→＝n３AC →＋(１－n)AB→, 又因为AD→＝１２(AB →＋AC→), 所以n ３AC →＋(１－n)AB→＝m２(AB →＋AC→), 解得: n ３＝ m ２ １－n＝m２ ì î í ïï ï ,即 m＝１２ n＝３４ ì î í ïï ï , 代入BF→＝nBE→＝n(AE→－AB→)＝ ３４ １ ３AC →－AB→( ) ＝ １４AC → －３４AB →, 解得:λ＝－３４ ,μ＝ １ ４ , (１)λ＋μ＝－ １ ２ ,(２)AFAD＝ １ ２． 假期作业１３ 思维整合室 ２．不共线　xa＋yb　基底 ３．两个互相垂直 ４．单位向量　xa＋yb ５．(１)x１＋x２,y１＋y２　(２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy ６．(１)a＝λb　(２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B ２．D　[连接CD,OD(图略),∵点C,D 是半圆弧AB︵的两个三 等分点,∴AC︵＝BD︵,∴CD∥AB,∠CAD＝∠DAB＝３０°, ∵OA＝OD,∠ADO＝∠DAO＝３０°,∴∠CAD＝∠ADO＝ ３０°,∴AC∥DO,∴四边形ACDO 为平行四边形,AD→＝AO→＋ AC→．∵AO→＝１２AB →＝１２a,AC →＝b,∴AD＝１２a＋b．故选 D．] ３．D　[由题意,BE→＝AE→－AB→＝４５AD →－a＝４５(AB →＋BD→)－a ＝４５BD →－１５a＝ ４ ５× ２ ３BC →－１５a＝ ８ １５ (b－a)－１５a ＝－１１１５a＋ ８ １５b． ] ４．解析:由条件可知 λ＋μ＝２ λ－μ＝３{ ,解得 λ＝５２ μ＝－ １ ２ ì î í ïï ï ． 答案:５ ２　－ １ ２ ５．D　[２a＋b＝２(２,４)＋(－１,１)＝(３,９)．故选 D．] ６．A　[设c＝xa＋yb,则 ０,５２( )＝(２x－y,x＋２y), 所以 ２x－y＝０, x＋２y＝５２ ,{ 解得 x＝ １ ２ , y＝１, { 则c＝１２a＋b．] ７．A　[根据题意,向量a＝(３,１),b＝(０,－１),则a－２b＝ (３,３);若(a－２b)∥c,且c＝(k,３),则有３k＝ ３× ３,解 可得k＝１．] ８．解析:设C(x,y),因为A(０,１),B(３,－２),所以AC→＝(x,y－ １),CB→＝(３－x,－２－y), 又因为AC→＝２CB→,所以 x＝２ (３－x) y－１＝２(－２－y){ , 解得 x＝２ y＝－１{ ,所以AC →＝(x,y－１)＝(２,－２)． 答案:(２,－２) ９．A　[如图,以 A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标 系,则B 点 的 坐 标 为(１,０),C 点 的 坐 标 为 (０,２),因为∠DAB＝６０°,所以设D 点的坐 标为(m,３m)(m≠０)． AD→＝(m,３m)＝λAB→＋μAC→＝λ(１,０)＋μ(０,２)＝(λ,２μ), 则λ＝m,且μ＝ ３ ２m ,所以λ μ ＝２ ３３ ． ] １０．解析:以点A 为坐标原点,AB、AD 所在直 线分别为x、y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系, 则点A(０,０)、B(２,０)、C(２,２)、D(０,２), AP → ＝１２ (AB → ＋AC →)＝１２(２,２)＋ １ ２ (２,０) ＝(２,１), 则点P(２,１),∴PD → ＝(－２,１),PB → ＝(０,－１), 因此|PD → |＝ (－２)２＋１２＝ ５, PB →􀅰PD→＝０×(－２)＋１×(－１)＝－１． 答案:５　－１ １１．解:(１)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a＝λb,则e１－２e２＝λ (e１＋３e２)．由e１,e２ 不共线得, λ＝１, ３λ＝－２,{ 即 λ＝１, λ＝－２３．{ 所以 λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底． (２)设c＝ma＋nb(m,n∈R),得 ３e１－e２＝m(e１－２e２)＋n(e１＋３e２)＝(m＋n)e１＋(－２m＋３n)e２． 所以 m＋n＝３, －２m＋３n＝－１{ ,解之得 m＝２, n＝１．{ 所以c＝２a＋b． (３)由４e１－３e２＝λa＋μb,得 ４e１－３e２＝λ(e１－２e２)＋μ(e１＋３e２)＝(λ＋μ)e１＋(－２λ＋ ３μ)e２．所以 λ＋μ＝４, －２λ＋３μ＝－３{ ⇒ λ＝３, μ＝１．{ 故所求λ,μ的值分别为３和１． １２．解:(１)a－２b＝(１,２)－２(－４,３)＝(１,２)－(－８,６)＝(１＋ ８,２－６)＝(９,－４)． (２)由已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１),可得 １２MN →＝ １ ２ (－５－３,－１＋２)＝ －４,１２( ) , 设点P 的坐标是(x,y),则MP→＝(x－３,y＋２)． 由已知MP→＝１２MN →,可得(x－３,y＋２)＝ －４,１２( ) , ∴ x－３＝－４, y＋２＝１２ ,{ 解得 x＝－１, y＝－３２ ,{ ∴点P 的坐标是 －１,－３２( )． 新题快递 １．D　[根据题意可得|n|＝|k|,已知该图形是由以正方形中 心为中心逆时针旋转４５°后的正方形与原正方形组合而成, 如图,由对称性可得|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DE|＝|EQ|＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ |QF|,|CE|＝|EF|＝|FG|＝ ２|AB| ＝ ２|n|． 由图可知点 B,C,E,Q 共线,点 Q,F,G 共线, 所以BQ→＝BC→＋CE→＋EQ→＝(２＋ ２)k, QG→＝QF→＋FG→＝(１＋ ２)n, 所以a＝BG→＝BQ→＋QC→＝(２＋ ２)k＋(１＋ ２)n．故选 D．] ２．解析:建立如下图的平面直角坐 标系, 由已知得B(６,０),D(０,４),E(３, ４),EB→＝(３,－４), 由EF→ ＝３FB→ 得EF→ ＝ ３４ EB → ＝ ９４ ,－３( ) , 设F(x,y),则(x－３,y－４)＝ ９４ ,－３( ) , 可 得 x－３＝９４ y－４＝－３{ ,解 得 x＝２１４ y＝１{ ,所 以 F ２１ ４ ,１( ) ,AF→ ＝ ２１４ ,１( ) , 又因为AF→＝λAB→＋μAD→＝λ(６,０)＋μ(０,４)＝(６λ,４μ), 所以 ４μ＝１ ６λ＝２１４{ ,解得λ＝ ７ ８ ,μ＝ １ ４ ,则λ＋μ＝ ９ ８． 答案:９ ８ 假期作业１４ 思维整合室 １．(１)负角　零角　(２)象限角　２．(１)半径长　(３)r|α| ３．y　x　 技能提升台　素养提升 １．CD　２．A　３．C　 ４．C　[因为π－α的终边与３π－α的终边相同,而π－α的终边 与α的终边关于y 轴对称,所以α的终边与３π－α的终边关 于y 轴对称．] ５．A　[设扇形的圆心角的弧度数为θ,其所在圆的半径为r,则 S１ S２ ＝ １ ２r ２θ πr２－１２r ２θ ＝ ５－１２ ,解得θ＝(３－ ５)π．故选 A．] ６．ABC　[设扇形半径为r,圆心角的弧度数为α,则由题意得 ２r＋αr＝６, １ ２αr ２＝２,{ 解得 r＝１ , α＝４,{ 或 r＝２, α＝１,{ 可得圆心角的弧度数是４ 或１,扇形的半径是１或２．] ７．解析:设圆的半径为r,则扇形的半径为２r３ ,记扇形的圆心角 为α,则 １ ２α ２r ３( ) ２ πr２ ＝５２７ ,∴α＝５π６． ∴扇形的弧长与圆周长之比为lc ＝ ５π ６ 􀅰２ ３r ２πr ＝ ５ １８． 答案:５ １８ ８．解:(１)由☉O 的半径r＝１０＝AB, 知△AOB 是等边三角形,∴α＝∠AOB＝６０°＝π３． (２)由(１)可知α＝π３ ,r＝１０,∴弧长l＝α􀅰r＝π３×１０ ＝１０π３ ,∴S扇形 ＝１２lr＝ １ ２× １０π ３ ×１０＝ ５０π ３ , 而S△AOB＝ １ ２ 􀅰AB􀅰１０３２ ＝ １ ２×１０× １０３ ２ ＝ ５０３ ２ ＝２５３． ∴S＝S扇形 －S△AOB＝ ５０π ３ －２５ ３＝５０ π ３－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷． ９．B　[∵tan７π３＝ ３m m ＝m－ １ ６ ＝ ３,∴m－１＝３３＝２７, ∴m＝１２７ ,故选B．] １０．A 　 [因 为 角 α 的 终 边 过 点 cosπ３ ,－sinπ６( ) , 即 １ ２ ,－１２( ) , 则sinα＝ －１２ １ ４＋ １ ４ ＝－ ２２． ] １１．解析:因为α是第二象限角． 所以cosα＝１５x＜０ ,即x＜０．又cosα＝１５x＝ x x２＋１６ , 解得x＝－３,所以tanα＝４x＝－ ４ ３． 答案:－４３ １２．解:设点 M 的坐标为(x１,y１)．由题意可知,sinα＝－ ２ ２ ,即y１ ＝－ ２２．∵ 点M 在圆x２＋y２＝１上,∴x１２＋y１２＝１,即x１２＋ － ２２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１,解得x１＝ ２ ２ 或x１＝－ ２ ２．∴cosα＝ ２ ２ , tanα＝－１或cosα＝－ ２２ ,tanα＝１． 新题快递 １．AD　[A．由于三角形内角范围为(０,π),内角为 π２ 不是第 一、二象限角,错;B．由任意角定义,始边相同而终边不同的 角一定不相等,对;C．如７π４ 为正角且在第四象限角,故第四 象限角不一定是负角,对;D．钝角范围为 π２ ,π( ) ,而－２π３ 是 第三象限角,此时钝角大,错．] ２．C　[如图示:记从表盘中心(圆心)O 到１２点方向的半径为OA,８:２０时分 针方向为OB,时针方向为OC． 则∠AOB＝２０６０×２π＝ ２π ３ , ∠AOC＝ ８１３ １２ ×２π＝ ２５π １８ 所以∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝２５π１８－ ２π ３＝ １３π １８ , 即八点二十分,时针和分针夹角的弧度数为１３π １８． ] 假期作业１５ 思维整合室 ２．－sinα　－sinα　sinα　cosα　cosα　－cosα　cosα －cosα　sinα　－sinα　tanα　－tanα　－tanα 技能提升台　素养提升 １．A ２．A　[由cosα＝１π ,且３π ２＜α＜２π ,得sinα＝－ １－cos２α＝ － １－ １π( ) ２ ＝－ π ２－１ π , 所以tanα＝sinαcosα＝－ π ２－１．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９