假期作业12 平面向量及其线性运算-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

１１．解:(１)由已知,得 ２５＋y＋１０＝５５ , x＋３０＝４５,{ 解得 x＝１５, y＝２０．{ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收 集的１００位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个样 本量为１００的样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可 用样本的平均值估计, 其估计值为 １×１５＋１．５×３０＋２×２５＋２．５×２０＋３×１０ １００ ＝１􀆰９ (分钟)． (２)在这１００位顾客中,一次购物的结算时间不超过２分钟 的共有１５＋３０＋２５＝７０(人),根据频率与概率的关系,估 计一位顾客一次购物的结算时间不超过２分钟的概率为 ７０ １００＝０􀆰７． １２．解:设甲、乙、丙三人１００米跑成绩合格分别为事件 A,B, C,显然事件A,B,C 相互独立,则P(A)＝２５ ,P(B)＝３４ , P(C)＝１３． 设恰有k人合格的概率为Pk(k＝０,１,２,３)． (１)三人都合格的概率为 P３＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ ２ ５× ３ ４× １ ３＝ １ １０． (２)三人都不合格的概率为 P０＝P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＝ １－ ２ ５( ) × １－３４( )× １－ １ ３( )＝ ３ ５× １ ４× ２ ３＝ １ １０． (３)恰有两人合格的概率为 P２＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝ ２ ５× ３ ４× ２ ３＋ ２ ５ ×１４× １ ３＋ ３ ５× ３ ４× １ ３＝ ２３ ６０． 恰有一人合格的概率为 P１＝１－P０－P２－P３＝１－ １ １０－ ２３ ６０－ １ １０＝ ２５ ６０＝ ５ １２． 综合(１)(２)可知P１ 最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大． 新题快递 １．C　[在这１００名学生中,只能说出一种或一种也说不出的 有１００－７３＝２７人, 设该校三年级的４００名学生中,对四大发明只能说出一种或 一种也说不出的有x人,则１００２７＝ ４００ x ,解得x＝１０８人．] ２．ABD　[对于 AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式可 知 AB正确:对于 C,三次传输译码为１,则可能是三次全部 译为１,或者有两次译为１,则概率为 C２３β(１－β) ２＋(１－β) ３, 故C错误;对于 D,可以采用特值法或者作差法计算．三次传 输方案译为０的概率为 C２３α(１－α)２＋(１－α)３,单次传输译 为０的概率为１－α,而 C２３α(１－α)２＋(１－α)３－(１－α)＝(１ －α)α(１－２α)＞０,所以 D正确．] 假期作业１２ 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)相同　(３)１个单位　(４)相反　(５)方向　 (６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[如图,因为AO→,OC→方向相同,长 度相等,故AO→＝OC→,故 A 正确;因为 AO→,BO→方 向 不 同,故AO→≠BO→,故 B 错误;因为B,O,D 三点共线,所以BO→ ∥DB→,故 C 正 确;因 为 AB∥CD,所 以AB→与CD→共线,故 D正确．] ３．解析:如图所示,设AB→＝a,BC→＝b,则AC→＝a＋ b,且△ABC为等腰直角三角形,则|AC→|＝ ８ ２,∠BAC＝４５°． 答案:８ ２　北偏东４５° ４．解析:此题中,马在 A 处 有 两 条 路可 走,在 B 处 有 三 条 路 可 走, 在C处有八条路可走．如图,以B 为起点 作 有 向 线 段 表 示 马 走 了 “一步”的向量,符 合 题 意 的 共３ 个;以C为起点作有向线段表示 马走了“一步”的向量,符合题意的共８个．所以共有１１个． 答案:１１ ５．B　[因为点 D 在边AB 上,BD＝２DA,所以BD→＝２DA→,即 CD→－CB→＝２(CA→－CD→), 所以CB→＝３CD→－２CA→＝３n－２m＝－２m＋３n．故选B．] ６．AB　[A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中, 若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则m,n没有 关系,错误．] ７．C　[∵AD＝DB,AE＝EC,∴F 是△ABC 的重心,则DF→＝ １ ３DC →,∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋ １３DC →＝AD→＋ １３ (AC →－ AD→)＝２３AD →＋１３AC →＝ １３AB →＋ １３AC →＝ １３a＋ １ ３b ,∴x＝ １ ３ ,y＝１３． ] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中 点,点E 为CD 的中点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １２ (AD →＋ AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．B　[因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝３a＋６b＝３(a＋２b)＝３AB→, 又AB→,AD→有公共点A,所以A,B,D 三点共线．] １１．解:(１)因为２AC→＋CB→＝０,所以２(OC→－OA→)＋(OB→－OC→) ＝０,２OC→－２OA→＋OB→－OC→＝０,所以OC→＝２OA→－OB→． (２)证明:如图,DA→＝DO→＋OA→＝－１２OB →＋OA→ ＝１２ (２OA→－OB→)． 由 (１)知 DA→ ＝ １２ OC →．即 DA ∥ OC,且 DA≠OC,故四边形OCAD 为梯形． １２．解:(１)OG→＝OP→＋PG→＝OP→＋λPQ→＝OP→＋λ(OQ→－OP→) ＝(１－λ)OP→＋λOQ→． (２)由(１)及OP→＝xOA→,OQ→＝yOB→,得OG→＝(１－λ)OP→＋ λOQ→＝(１－λ)xOA→＋λyOB→．① ∵G 是△OAB 的重心, ∴OG→＝２３OM →＝２３× １ ２ (OA→＋OB→)＝１３OA →＋１３OB →．② 由①②得 (１－λ)x－１３[ ]OA →＝ １３－λy( )OB →, 而OA→,OB→不共线, ∴ (１－λ)x＝１３ λy＝１３ ì î í ïï ï ,解得 １ x＝３－３λ １ y＝３λ ì î í ïï ï , ∴１x＋ １ y＝３ ,即１ x＋ １ y 是定值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９８ 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向量, 满足“|a|＝|b|”,满足“a与b 都是单位向量”,但是a∥b不 成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量平行,可知 |a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于C:因为a＝－２b, 所以a∥b．故 C正确．] ２．解:设AF＝mAD,BF＝nBE, 根据向量共线定理,得:AF→＝mAD→, AF→＝nAE→＋(１－n)AB→,３AE→＝AC→, 所以AF→＝n３AC →＋(１－n)AB→, 又因为AD→＝１２(AB →＋AC→), 所以n ３AC →＋(１－n)AB→＝m２(AB →＋AC→), 解得: n ３＝ m ２ １－n＝m２ ì î í ïï ï ,即 m＝１２ n＝３４ ì î í ïï ï , 代入BF→＝nBE→＝n(AE→－AB→)＝ ３４ １ ３AC →－AB→( ) ＝ １４AC → －３４AB →, 解得:λ＝－３４ ,μ＝ １ ４ , (１)λ＋μ＝－ １ ２ ,(２)AFAD＝ １ ２． 假期作业１３ 思维整合室 ２．不共线　xa＋yb　基底 ３．两个互相垂直 ４．单位向量　xa＋yb ５．(１)x１＋x２,y１＋y２　(２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy ６．(１)a＝λb　(２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B ２．D　[连接CD,OD(图略),∵点C,D 是半圆弧AB︵的两个三 等分点,∴AC︵＝BD︵,∴CD∥AB,∠CAD＝∠DAB＝３０°, ∵OA＝OD,∠ADO＝∠DAO＝３０°,∴∠CAD＝∠ADO＝ ３０°,∴AC∥DO,∴四边形ACDO 为平行四边形,AD→＝AO→＋ AC→．∵AO→＝１２AB →＝１２a,AC →＝b,∴AD＝１２a＋b．故选 D．] ３．D　[由题意,BE→＝AE→－AB→＝４５AD →－a＝４５(AB →＋BD→)－a ＝４５BD →－１５a＝ ４ ５× ２ ３BC →－１５a＝ ８ １５ (b－a)－１５a ＝－１１１５a＋ ８ １５b． ] ４．解析:由条件可知 λ＋μ＝２ λ－μ＝３{ ,解得 λ＝５２ μ＝－ １ ２ ì î í ïï ï ． 答案:５ ２　－ １ ２ ５．D　[２a＋b＝２(２,４)＋(－１,１)＝(３,９)．故选 D．] ６．A　[设c＝xa＋yb,则 ０,５２( )＝(２x－y,x＋２y), 所以 ２x－y＝０, x＋２y＝５２ ,{ 解得 x＝ １ ２ , y＝１, { 则c＝１２a＋b．] ７．A　[根据题意,向量a＝(３,１),b＝(０,－１),则a－２b＝ (３,３);若(a－２b)∥c,且c＝(k,３),则有３k＝ ３× ３,解 可得k＝１．] ８．解析:设C(x,y),因为A(０,１),B(３,－２),所以AC→＝(x,y－ １),CB→＝(３－x,－２－y), 又因为AC→＝２CB→,所以 x＝２ (３－x) y－１＝２(－２－y){ , 解得 x＝２ y＝－１{ ,所以AC →＝(x,y－１)＝(２,－２)． 答案:(２,－２) ９．A　[如图,以 A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标 系,则B 点 的 坐 标 为(１,０),C 点 的 坐 标 为 (０,２),因为∠DAB＝６０°,所以设D 点的坐 标为(m,３m)(m≠０)． AD→＝(m,３m)＝λAB→＋μAC→＝λ(１,０)＋μ(０,２)＝(λ,２μ), 则λ＝m,且μ＝ ３ ２m ,所以λ μ ＝２ ３３ ． ] １０．解析:以点A 为坐标原点,AB、AD 所在直 线分别为x、y 轴建立如图所示的平面直 角坐标系, 则点A(０,０)、B(２,０)、C(２,２)、D(０,２), AP → ＝１２ (AB → ＋AC →)＝１２(２,２)＋ １ ２ (２,０) ＝(２,１), 则点P(２,１),∴PD → ＝(－２,１),PB → ＝(０,－１), 因此|PD → |＝ (－２)２＋１２＝ ５, PB →􀅰PD→＝０×(－２)＋１×(－１)＝－１． 答案:５　－１ １１．解:(１)证明:若a,b共线,则存在λ∈R,使a＝λb,则e１－２e２＝λ (e１＋３e２)．由e１,e２ 不共线得, λ＝１, ３λ＝－２,{ 即 λ＝１, λ＝－２３．{ 所以 λ不存在,故a与b不共线,可以作为一组基底． (２)设c＝ma＋nb(m,n∈R),得 ３e１－e２＝m(e１－２e２)＋n(e１＋３e２)＝(m＋n)e１＋(－２m＋３n)e２． 所以 m＋n＝３, －２m＋３n＝－１{ ,解之得 m＝２, n＝１．{ 所以c＝２a＋b． (３)由４e１－３e２＝λa＋μb,得 ４e１－３e２＝λ(e１－２e２)＋μ(e１＋３e２)＝(λ＋μ)e１＋(－２λ＋ ３μ)e２．所以 λ＋μ＝４, －２λ＋３μ＝－３{ ⇒ λ＝３, μ＝１．{ 故所求λ,μ的值分别为３和１． １２．解:(１)a－２b＝(１,２)－２(－４,３)＝(１,２)－(－８,６)＝(１＋ ８,２－６)＝(９,－４)． (２)由已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１),可得 １２MN →＝ １ ２ (－５－３,－１＋２)＝ －４,１２( ) , 设点P 的坐标是(x,y),则MP→＝(x－３,y＋２)． 由已知MP→＝１２MN →,可得(x－３,y＋２)＝ －４,１２( ) , ∴ x－３＝－４, y＋２＝１２ ,{ 解得 x＝－１, y＝－３２ ,{ ∴点P 的坐标是 －１,－３２( )． 新题快递 １．D　[根据题意可得|n|＝|k|,已知该图形是由以正方形中 心为中心逆时针旋转４５°后的正方形与原正方形组合而成, 如图,由对称性可得|AB|＝|BC|＝|CD|＝|DE|＝|EQ|＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ 假期作业１２　平面向量及其线性运算　　　　　　　 １．向量的有关概念 (１)向量:既有大小又有　　　　的量叫向量; 向量的大小叫做向量的　　　　． (２)零向量:始点和终点　　　　的向量,其方 向是任意的． (３)单位向量:模等于　　　　的向量． (４)平行向量:方向相同或　　　　的非零向量, 又叫共线向量,规定:０与任一向量共线． (５)相等向量:大小相等且　　　　相同的 向量． (６)相反向量:大小相等且　　　　相反的 向量． ２．向量的线性运算 (１)向量的加法和减法 ①加法法则:服从三角形法则,平行四边形 法则．运算性质:a＋b＝b＋a;(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c)． ②减法与加法互为逆运算;服从三角形法则． (２)数乘向量 ①实数λ与任意一个向量a 的积是一个向 量,记作λa,规定: a．长度:|λa|＝|λ||a|; b．方向:当λ＞０时,λa与a的方向相同;当 λ＜０时,λa 与a 的方向相反;当λ＝０时, λa＝０． ②运算律:设λ、μ∈R,则:λ(μa)＝(λμ)a; (λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb． ◆[考点一]　平面向量的基本概念 １．下列各命题中假命题的个数为 (　　) ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等; ②向量a与向量b 平行,则a与b 的方向相 同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点 必相同; ④两 个 有 共 同 终 点 的 向 量,一 定 是 共 线 向量; ⑤向量AB → 与向量CD → 是共线向量,则点A, B,C,D 必在同一条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段． A．２　　B．３　　C．４　　D．５ ２．设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结 论错误的是 (　　) A．AO → ＝OC → B．AO → ＝BO → C．BO → ∥DB → D．AB → 与CD → 共线 ３．若a 等于“向东走８km”,b等于“向北走 ８km”,则|a＋b|＝　　　　km,a＋b的方 向是　　　　． ４．中国象棋中规定:马走 “日”字,象走“田”字． 如图,在中国象棋的半 个棋盘(４×８的矩形中每个小方格都是单 位正方形)中,若马在A 处,可跳到A１ 处, 也可跳到A２ 处,用向量AA１ →,AA２ → 表示马走 了“一步”．若马在B 处或C 处,则表示马走 了“一步”的向量共有　　　　个． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ ◆[考点二]　平面向量的线性运算 ５．(２０２２􀅰新高考Ⅰ卷)在△ABC 中,点D 在 边AB 上,BD＝２DA,记CA → ＝m,CD → ＝n,则 CB → ＝ (　　) A．３m－２n　　　　　B．－２m＋３n C．３m＋２n D．２m＋３n ６．(多选)已知m,n是实数,a,b是向量,则下 列说法中正确的是 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n ７．如图,在△ABC 中,AD＝ DB,AE＝EC,CD与BE交 于点F．设AB → ＝a,AC → ＝b, AF → ＝xa＋yb,则(x,y)为 (　　) A．１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ B．２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ C．１３ ,１ ３ æ è ç ö ø ÷ D．２３ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ ８．(２０２３􀅰天津卷)在△ABC 中,∠A＝６０°, |BC → |＝１,点D 为线段AB 的中点,点E 为 线段CD 的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b,则AE → 可用a,b表示为　　　　． ◆[考点三]　向量的共线及其综合应用 ９．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R), d＝a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且d与c反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且d与c反向 １０．已知AB → ＝a＋２b,BC → ＝－５a＋６b,CD → ＝７a－２b, 则下列一定共线的三点是 (　　) A．A,B,C B．A,B,D C．B,C,D D．A,C,D １１．已知O,A,B 是平面上不共线的三点,直线 AB 上有一点C,满足２AC → ＋CB → ＝０． (１)用OA →,OB → 表示OC →; (２)若点 D 是OB 的中点,证明:四边形 OCAD 是梯形． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３ １２．如图,G 是△OAB 的重心, OG 的 延 长 线 交 AB 于 点 M,P,Q 分别是边OA,OB 上的动点,且P,G,Q 三点共线． (１)设PG → ＝λPQ →,将OG → 用λ,OP →,OQ → 表示; (２)设OP → ＝xOA →,OQ → ＝yOB →,证明:１ x＋ １ y 是定值． １．(多选)以下选项中,能使a∥b 成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a与b都是单位向量 ２．如图,在△ABC 中,点 D 是BC 的中点,点E 在边AC 上,且满足３ AE → ＝AC →,BE 交 AD 于点F,设BF → ＝λAB → ＋μAC →(λ,μ∈R),求 (１)λ＋μ的值;(２) AF AD 的值． 一 男 子 和 老 婆 在 火 锅 店,边 吃 边 聊,正 高 兴 时,有 个 少妇走过来,直视着 他说:“我 怀 孕 了!”那 个 男 人 的 老 婆 先 是 一 愣,紧接着甩手给了他一耳光,又拉又扯,连哭 带闹．全火锅楼的目光都聚焦在他俩身上,那 哥们欲哭无泪! 这时,少妇又幽幽的来了一句:“麻烦你 把烟掐了,谢谢!” 哥们捂住脸哭都哭不出来􀆺􀆺 吃饭有风险,抽烟需谨慎! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３