假期作业6 对数与对数函数-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（人教B版）

假期作业６　对数与对数函数　　　　　　　 １．对数的概念 (１)对数的定义:如果ax＝N(a＞０,且a≠１), 那么x叫做以a 为底N 的对数,记作　　 　　,其中a 叫 做 对 数 的 底 数,N 叫 做 真数． (２)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为　　 　　 自然对数 底数为　　 　　 ２．对数的性质、换底公式与运算性质 (１)对数的性质:①loga１＝　　　　; ②loga ＝　　;③alogaN＝　　; ④loga b＝　　(a＞０,且a≠１)． (２)对数的运算法则 如果a＞０且a≠１,M ＞０,N＞０,那么 ①loga(MN)＝　　　　; ②loga M N＝　　　　 ; ③logaMn＝　　　(n∈R); ④logamMn＝ n mlogaM (m,n∈R,且m≠０)． (３)对数的重要公式 ①换底公式:　　　　(a,b均大于零且不 等于１); ②logab＝ １ logba ,推广logab􀅰logbc􀅰logcd ＝　　　． ３．对数函数及其性质 (１)概念:函数y＝logax(a＞０,且a≠１)叫做 对数函数,其中x是自变量,函数的定义域 是(０,＋∞)． (２)对数函数的图像与性质 底数 a＞１ ０＜a＜１ 图像 性质 定义域:　　　 值域:　　 当x＝１时,y＝０,即过定点　　　 当x＞１时,　　　; 当０＜x＜１时,　　　 当x＞１时,　　　; 当０＜x＜１时,　　　 在(０,＋∞)上是　　　 在(０,＋∞)上是　　　 ◆[考点一]　对数的基本运算 １．计算:log３２－log３６＝ (　　) A．１ B．－１ C．－log３２ D．－２log３２ ２．已知lg２＝a,lg３＝b,则log３６＝ (　　) A．a＋ba 　B． a＋b b 　C． a a＋b　D． b a＋b ３．已知函数f(x)＝log２(x２＋a),若f(３)＝１, 则a＝　　　　． ４． (lg３)２－lg９＋１(lg ２７＋lg８－lg １０００) lg０．３􀅰lg１．２ ＝　　　　． ◆[考点二]　对数函数的图像及应用 ５．在同一平面直角坐标系中,y＝２x 与y＝ log２(－x)的图像可能是 (　　) ６．(多选)函数f(x)＝loga(x＋２)(０＜a＜１) 的图像过 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ ７．函数y＝logax,y＝logbx,y＝logcx,y＝ logdx 的图像如图所示,则a,b,c,d 的大小 顺序是 (　　) A．c＜d＜１＜a＜b B．１＜d＜c＜a＜b C．c＜d＜１＜b＜a D．d＜c＜１＜a＜b ８．若log０．５(m－１)＞log０．５(３－m),则m 的取 值范围是　　　　． ◆[考点三]　对数函数的性质及应用 ９．已 知 a＝２０２４ １ ２０２３,b＝log２０２４２０２３,c＝ log２０２３ １ ２０２４ ,则a,b,c的大小关系是 (　　) A．a＞b＞c　　　　B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b １０．函数f(x)＝ １－lg(２－x)的定义域为 (　　) A．[－８,２) B．(－８,２) C．(－∞,２) D．[－３,２) １１．设函数f(x)＝loga １－ a x æ è ç ö ø ÷,其中０＜a＜１． (１)证明:f(x)是(a,＋∞)上的减函数; (２)若f(x)＞１,求x的取值范围． １２．已知函数f(x)＝log２(x２－２mx＋３)． (１)当m＝１时,求f(x)的值域; (２)若f(１)＜f(２),求实数m 的取值范围; (３)若f(x)在区间(２,＋∞)上单调递增, 求实数m 的取值范围． １．(２０２２􀅰浙江高考)已知２a＝５,log８３＝b,则 ４a－３b＝ (　　) A．２５ B．５ C．２５９ D． ５ ３ ２．(２０２３􀅰上海卷)已知函数f(x)＝２－x＋１, 且g(x)＝ log２(x＋１),x≥０ f(－x),x＜０{ ,则方程g(x) ＝２的解为　　　　　． 陈景润是一个家喻户晓的数学家,在攻克歌 德巴赫猜想方面作出了重大贡献,创立了著名的 “陈氏定理”,所以有许多人亲切地称他为“数学 王子”．但有谁会想到,他的成就源于一个故事． 一天,清华大学教授沈元老师在数学课上给大家 讲了一故事:“２００年前有个法国人发现了一个有 趣的现象:６＝３＋３,８＝５＋３,１０＝５＋５,１２＝５＋ ７,２８＝５＋２３,１００＝１１＋８９．每个大于４的偶数都 可以表示为两个奇数之和．因为这个结论没有得 到证明,所以还是一个猜想．大数学欧拉说过:虽 然我不能证明它,但是我确信这个结论是正确 的．它像一个美丽的光环,在我们不远的前方闪 耀着眩目的光辉．􀆺􀆺”陈景润瞪着眼睛,听得 入神． 　　因此,陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚 的兴趣．课余时间他最爱到图书馆,不仅读了 中学辅导书,这些大学的数理化课程教材他也 如饥似渴地阅读．因此获得了“书呆子”的雅 号．兴趣是第一老师．正是这样的数学故事,引 发了陈景润的兴趣,引发了他的勤奋,从而引 发了一位伟大的数学家． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１ ＝ ２ (３x１－３x２) (３x１＋１)(３x２＋１) , 由x１＜x２,可知０＜３x１＜３x２,则３x１－３x２＜０, 又因为３x１＋１＞０,３x２＋１＞０, 所以f(x１)－f(x２)＜０,即f(x１)＜f(x２),所以f(x)在定 义域 R上为增函数． [新题快递] １．B　[ １２( ) －１ ＋８ ２ ３ ＋(２０２３)０＝２＋(２３) ２ ３ ＋１＝２＋２２＋１＝ ７．故选B．] ２．解析:①因函数f(x)＝ ax,x≤１ １－２a x ,x＞１{ ,又f(－２)＝９,于是得 a－２＝９,而a＞０,解得a＝１３ , 所以a的值等于１３ ; ②因对任意x１≠x２,都 有 f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０成 立,则 函 数 f(x)在 R上单调递减, 因此, ０＜a＜１ １－２a＞０ a≥１－２a { ,解得１３≤a＜１２, 所以实数a的取值范围是１３≤a＜ １ ２． 答案:①１３　② １ ３≤a＜ １ ２ 假期作业６ 思维整合室 １．(１)x＝logaN　(２)１０　lgN　e　lnN　２．(１)０　１　N　b 　(２)logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM　(３)logbN＝ logaN logab 　logad　３．(２)(０,＋∞)　R　(１,０)　y＞０　y＜０　y ＜０　y＞０　增函数　减函数 技能提升台　素养提升 １．B　[log３２－log３６＝log３ ２ ６＝log３ １ ３＝－１ ,故选B．] ２．B　[log３６＝ lg６ lg３＝ lg２＋lg３ lg３ ＝ a＋b b ． ] ３．解析:根据题意有f(３)＝log２(９＋a)＝１,可得９＋a＝２,所 以a＝－７． 答案:－７ ４．解析:原式＝ (lg３)２－２lg３＋１ ３２lg３＋３lg２－ ３ ２( ) (lg３－１)􀅰(lg３＋２lg２－１) ＝ (１－lg３)􀅰３２ (lg３＋２lg２－１) (lg３－１)􀅰(lg３＋２lg２－１) ＝－ ３ ２． 答案:－３２ ５．B　[因为y＝２x 的图像为过点(０,１)的递增的指数函数图 像,故排除选项 C,D;y＝log２(－x)的图像为过点(－１,０)的 递减的对数型函数图像,故排除选项 A,故选B．] ６．BCD　[作出函数f(x)＝loga(x＋２)(０＜a＜１)的大致图像 如图所示,则函数f(x)的图像过第二、三、四象限．] ７．A　[作 直 线y＝１(图 略),则 １＝logax１,１＝logbx２,１＝ logcx３,１＝logdx４,解得x１＝a,x２＝b,x３＝c,x４＝d,由图可 知x２＞x１＞１＞x４＞x３,即c＜d＜１＜a＜b,故选 A．] ８．解析:∵y＝log０．５x是定义域内的减函数,∴log０．５(m－１)＞ log０．５(３－m)⇔ m－１＞０, ３－m＞０, m－１＜３－m, { 即 m＞１, m＜３, m＜２, { ∴１＜m＜２, 即m 的取值范围是(１,２)． 答案:(１,２) ９．A　[∵a＝２０２４ １ ２０２３＞２０２４０＝１,０＝log２０２４１＜b＝log２０２４２０２３ ＜log２０２４２０２４＝１,c＝log２０２３ １ ２０２４＜log２０２３１＝０ ,∴a＞b＞ c．故选 A．] １０．A　[由 ２－x＞０ , １－lg(２－x)≥０,{ 得 x＜２, ２－x≤１０,{ 解得－８≤x＜２,所以函数f(x)＝ １－lg(２－x)的定义域 为[－８,２),故选 A．] １１．解:(１)证明:任取x１,x２∈(a,＋∞), 不妨令０＜a＜x１＜x２,g(x)＝１－ a x , 则g(x１)－g(x２) ＝ １－ax１( )－ １－ a x２( )＝ a(x１－x２) x１x２ ＜０, ∴g(x１)＜g(x２)． 又∵０＜a＜１,∴f(x１)＞f(x２), ∴f(x)是(a,＋∞)上的减函数． (２)∵loga １－ a x( ) ＞１,且０＜a＜１, ∴０＜１－ax ＜a ,∴１－a＜ax ＜１． ∵０＜a＜１,∴１－a＞０, 从而a＜x＜ a１－a． ∴x的取值范围是 a,a１－a( )． １２．解:(１)当m＝１时,f(x)＝log２(x２－２x＋３) ＝log２[(x－１)２＋２],故f(x)的值域为[１,＋∞)． (２)由f(１)＜f(２),得 log２(４－２m)＜log２(７－４m), 所以 ４－２m＞０, ７－４m＞０, ４－２m＜７－４m, { 解得m＜３２ , 即实数m 的取值范围为 －∞,３２( )． (３)f(x)＝log２(x２－２mx＋３) ＝log２[(x－m)２＋３－m２]． 若f(x)在区间(２,＋∞)上单调递增, 则m≤２且７－４m≥０,所以m≤７４ , 即实数m 的取值范围为 －∞,７４( ]． 新题快递 １．C　[将log８３＝b转化为指数,得到８b＝３．再结合指数的运 算性质,８b＝(２３)b＝２３b＝３,因此２a－３b＝２ a ２３b ＝５３ ,所以４a－３b ＝２５９ ,故本题选 C．] ２．解析:当x≥０时,g(x)＝２⇔log２(x＋１)＝２,解得x＝３; 当x＜０时,g(x)＝f(－x)＝２x＋１＝２,解得x＝０(舍); 所以g(x)＝２的解为:x＝３． 答案:x＝３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４８