第一讲：一元二次方程（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）（学生版+教师版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第一讲：一元二次方程 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a≠0). 2. 知识点03：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 知识点04：思维导图 考点1：一元二次方程的定义 【典型例题】 下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点2：一元二次方程的一般形式 【典型例题】 将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【变式训练1】 一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式训练2】 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典型例题】 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C．2 D．4 【变式训练1】 是关于的一元二次方程的解，则等于（   ） A．1 B． C．5 D． 【变式训练2】 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 考点4：由一元二次方程的定义求参数 【典型例题】 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【变式训练2】 关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 一、单选题 1．下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 3．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 6．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 8．一元二次方程常数项为（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 9．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 10．已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 11．若是方程的根，则代数式的值是 ． 12．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 13．已知为方程的根，则 ． 14．若是关于x的方程的解，则的值是 15．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 16．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 三、解答题 17．判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 18．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 19．当m为何值时，关于x的方程是一元二次方程？ 20．已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 21．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第一讲：一元二次方程 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：一元二次方程的概念 1.等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式：ax2 + bx + c = 0 (a≠0). 2. 知识点03：一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 知识点04：思维导图 考点1：一元二次方程的定义 【典型例题】 下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A． ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C． ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；     D． ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 下列方程是一元二次方程的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：①，是一元二次方程； ②，是一元二次方程； ③，不是整式方程，不是一元二次方程； ④，含有两个未知数，并且未知数的最高次数是，不是一元二次方程； 故选：B． 是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴； 故选A． 考点2：一元二次方程的一般形式 【典型例题】 将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．1，2，6 B．1，，6 C．1，， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 【变式训练1】 一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 【变式训练2】 把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 考点3：由一元二次方程的解求参数 【典型例题】 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程解的概念，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键； 将代入一元二次方程即可求得答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴把代入得 解得：． 故选：C． 【变式训练1】 是关于的一元二次方程的解，则等于（   ） A．1 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中计算求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练2】 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 考点4：由一元二次方程的定义求参数 【典型例题】 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练1】 已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（    ） A． B．4 C．2或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 故选：C． 【变式训练2】 关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 一、单选题 1．下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 3．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 5．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 7．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A．2 B． C． D．2或0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．一元二次方程常数项为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键，解题时要注意查看是否是一元二次方程一般形式． 任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：把化成一般式， 得， ∴常数项是 故选：D 二、填空题 9．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 10．已知关于的方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 11．若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到，再将整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 12．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．已知为方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴ ∴． 故答案为：． 14．若是关于x的方程的解，则的值是 【答案】2021 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解得到，将其代入中求解，即可解题． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 整理得， 则， 故答案为：． 15．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 16．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将代入， 得，即， ∵， ∴， 故答案为：1． 三、解答题 17．判断下列方程是否为一元二次方程？ （1）3x＋2＝5y－3 （2） （3） （4） 【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是 【解析】略 18．当为什么数时，关于的方程是一元二次方程？写出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，， 【分析】先把方程化成一般形式，再根据一元二次方程的定义得出当时，方程是一元二次方程，再求出答案即可． 【详解】解：， ， 关于的方程是一元二次方程， ， 即当时，关于的方程是一元二次方程，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，，． 19．当m为何值时，关于x的方程是一元二次方程？ 【答案】m≠1 【分析】先把方程变形为（m﹣1）x2﹣（3﹣m）x﹣1=0，然后根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，然后解不等式即可． 【详解】方程变形为（m﹣1）x2﹣（3﹣m）x﹣1=0． ∵关于x的方程mx2﹣3x=x2﹣mx+1是一元二次方程，∴m﹣1≠0，∴m≠1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程叫一元二次方程． 20．已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 21．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$