第二讲：解一元二次方程（一）（配方法）（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二讲：解一元二次方程（一） （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：直接开平方法 1.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 2.形如x2＝p或（nx+m）2＝P（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 3.注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点02：配方法 1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2.把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方. 3.解题步骤 知识点03：一元二次方程根情况判断 一般的，对于可化为 x2 = p 的方程： 考点1：直接开平方法解方程 【典型例题】 解方程： 【变式训练1】 解方程． 【变式训练2】 解方程：． 考点2：配方法 【典型例题】 解方程： 【变式训练1】 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【变式训练2】 将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 考点3：一元二次方程根情况判断 【典型例题】 关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【变式训练1】 如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m>3 B．m≥3 C．m>-4 D．m≥-4 【变式训练2】 若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　） A．4， B．2， C．， D．， 考点4：配方法的应用 【典型例题】 已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【变式训练1】 已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 4．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 5．已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 6．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．方程的根为 ． 9．若关于x的一元二次方程有一个解是0，则 10．对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 12．关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 13．若将一元二次方程化为的形式，则 ． 14．如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 15．将二次三项式配方成的形式，则b的值是 ． 三、解答题 16．解方程： (1)． (2)． 17．把方程配方，得到． (1)求常数与的值； (2)求出此方程的解． 18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，    第二步 ，    ……第三步 ．    ……第四步 由此可得．    ……第五步 解得．    ……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 19．先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第二讲：解一元二次方程（一） （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：直接开平方法 1.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 2.形如x2＝p或（nx+m）2＝P（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 3.注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点02：配方法 1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 2.把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点：常数项等于一次项系数一半的平方. 3.解题步骤 知识点03：一元二次方程根情况判断 一般的，对于可化为 x2 = p 的方程： 考点1：直接开平方法解方程 【典型例题】 解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 【变式训练1】 解方程． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：原方程可变形为． ∵是1的平方根， ∴． 解得，． 【变式训练2】 解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：， 开方得， ∴或， ∴，． 考点2：配方法 【典型例题】 解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．利用配方法进行解方程即可． 【详解】解：， ． ， ， ∴， ∴， 【变式训练1】 用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键； 先将原方程配方得到，即可得出p、q的值，进而可得答案. 【详解】解：方程即为， 所以， 即， ∴， ∴； 故选：A. 【变式训练2】 将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 考点3：一元二次方程根情况判断 【典型例题】 关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据平方的非负性可知，所以可得一元二次方程的两个根是，，所以可知一元二次方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程中， ， ，， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式训练1】 如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m>3 B．m≥3 C．m>-4 D．m≥-4 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程的直接开平方法满足的条件，进行计算即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， ． 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握“只有非负数才会有平方根，才可以开平方”是解此题的关键． 【变式训练2】 若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　） A．4， B．2， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，把代入即可得出，再根据直接开平方法即可得出另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， 则， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 考点4：配方法的应用 【典型例题】 已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 【变式训练1】 已知代数式，用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 【答案】见解析 【分析】先利用配方法将配成，再根据完全平方的非负性即可得证．本题主要考查了利用配方法将一个代数式写成一个数的完全平方加一个正数的形式，以及完全平方的非负性．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】证明： ． 又∵， ∴，即， ∴不论x取何值，这个代数式的值总是正数． 一、单选题 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了解一元二次方程，直接对方程的右边开平方即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 3．用配方法解方程时，若将方程变形为，则（    ） A．9 B．17 C．13 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得得值，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ∴． 故选：A． 4．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用配方法解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 代入到方程，得， 整理得：， ， ， ， ， 解得：，， 关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022． 故选：A． 5．已知一元二次方程配方后可变形为，则k的值为（   ） A．38 B．37 C．36 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：D． 6．某数学兴趣小组的四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤（如图），老师看后，发现最后结果是错误的，并说：“错误是从某位同学负责的步骤开始出现的．”则这位同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把进行移项，再把二次项系数化1，然后配方，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，， 移项得， 整理得， ∴ ∴， ∴ ∴． 观察以及对比，得出错误是从乙同学负责的步骤开始出现的， 故选：B 7．下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，开方得，解得，故本选项不符合题意； D、，开方得，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 二、填空题 8．方程的根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解得． 故答案为：． 9．若关于x的一元二次方程有一个解是0，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出m的值是关键，注意二次项系数不为0； 把代入原方程可得关于m的方程，解方程即可得解，注意. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个解是0， ∴且， 解得：； 故答案为：. 10．对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，熟知题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一定要注意二次项系数不能为0． 根据一元二次方程的定义求m的值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ， 解得， ， ∴， ； 故答案为1 12．关于x的一元二次方程中不含x的一次项，则此方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程中不含x的一次项， 即不含x的一次项， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得：， 故答案为：． 13．若将一元二次方程化为的形式，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了配方法，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方确定m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：40． 14．如果将关于的一元二次方程配方成，那 么 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式将方程配方成，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 15．将二次三项式配方成的形式，则b的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．由题意可得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴b的值是， 故答案为： 三、解答题 16．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 则或， 解得，． （2）解： 方程的两边同加，得， 即， 则或， 所以，． 17．把方程配方，得到． (1)求常数与的值； (2)求出此方程的解． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法， （1）移项，配方即可得出，，即可得解； （2）将的值代入后配方得出，开方得出，即可得解； 解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①将二次项系数化为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数； ②将常数项移到方程的另一边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式； ③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， 解得：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴方程的解是：，． 18．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得……第一步 配方，得，    第二步 ，    ……第三步 ．    ……第四步 由此可得．    ……第五步 解得．    ……第六步 任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______． 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 【答案】任务一：①配方法；②完全平方公式；任务二：见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； 任务一：①根据配方法解方程的步骤可得解方程的方法；②由完全平方公式的含义可得答案； 任务二：先把方程化为可得，再解方程即可． 【详解】解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去． 任务二：正确求解过程如下： 二次项系数化为1，得， 配方，得， ∴， ∴． 由此可得． 解得． 19．先阅读下列问题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵，∴， ∴的最小值是9． (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)小红的爸爸要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形鸡舍，鸡舍一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设；请问：当x取何值时，鸡舍的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)4 (2)4 (3)当时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了配方法的应用： （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可； 熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是4． （2）， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值是4． （3）设，则， 由题意，得花园的面积是， ， ， 的最大值是50，此时，，符合题意， 则当时，花园的面积最大，最大面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $$