专题1.3 集合的基本运算（高效培优讲义）数学北师大版2019必修第一册

专题1.3 集合的基本运算 教学目标 1.理解交集、并集、补集运算的含义，会利用定义求简单集合的交集、并集和补集； (2)能够用集合语言和图形语言(Venn图和数轴)表示交集、并集和补集； (3)让学生体会到图形(数形结合思想)对理解抽象概念的作用； (4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用． 教学重难点 1.重点 (1)集合的交集、并集与补集概念的理解； (2)求集合的交集、并集和补集． 2.难点 (1)对集合运算概念的理解； (2)利用数形结合思想解决集合中的含参问题． 知识点01 交集 1.交集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 交集 对于两个集合、，由 的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”. 2.交集的性质 ， 【即学即练】 1．已知集合则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点02 并集 1.并集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 并集 对于两个集合、，由 组成的集合，叫做集合与的并集. 记作，读作“A并B”. = 2．并集的性质 ， 【即学即练】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 全集与补集 1.全集与补集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 全集与补集 （1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集，记作. （2）对于一个集合，由全集中 的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）. ＝ 2.补集的性质 （1）补集是全集的子集，即 ; （2）= ， . 【即学即练】 1．设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点04 德·摩根定律（拓展） （1）交集的补集等于补集的并集： ;. （2）并集的补集等于补集的交集： . 利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算. 【即学即练】 1.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则()∩等于(　　)． A．{1} B．{5} C．{2,4} D．{1,2,4,5} 2.设集合U＝R，，则()= . 知识点05 容斥定理——求集合中元素的个数（拓展） 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)= ; (2) card(A∪B∪C)= . 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)= ; card(A∩B)= . 【即学即练】 1共有50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A．50 B．45 C．40 D．35 2．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 题型01 交集、并集或补集运算 【典例1】已知集合， ，则 ( ) A. B. C. D. 【典例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】设全集，集合，则集合的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 在进行集合间的交、并、补运算时，需注意以下两点： （1）集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的确定性、互异性、无序性，因此，在求解含参数的问题时，注意隐含的条件． （2）如果集合间的元素已知，或集合间的关系相对复杂，又涉及集合中的元素问题，解题过程中常借助于 Venn图，这样处理相对来说较形象、直观，且解题时不易出错． 【变式1】已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【变式2】已知集合，集合，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【变式3】若全集，则（   ） A． B． C． D． 题型02 交、并、补混合运算 1.分步求解法 【典例1】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 解决解合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA) ∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行. 【变式1】设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.数形结合法 【典例2】 已知全集U＝R，，P＝， 求 (∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 求涉及含不等式的集合的混合运算时，借助于数轴是常用的方法. 交集找数轴上折线重叠的区域，并集找数轴上折线扫过的所有区域. 【变式】已知全集U＝R， ，，则( ) A． B． C． D． 题型03 由Venn图给出的集合混合运算 【典例】设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 对于给出Venn图的集合混合运算，求解的关键是：通过观图将阴影部分对应的集合转化为已知集合间的混合运算，再进一步求其结果. 【变式1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 题型04 构造Venn图破解集合的混合运算 【典例】已知全集∪={x|x取不大于9的正整数}，A、B是∪的两个子集，且A∩（CuB）={2，4，8}，(CuA) ∩B={1，3}，(CuA) ∩（CuB）={6,9}，求集合A，B. 对于元素是离散型的两个有限集，如果集合间的关系相对繁杂又牵扯到集合中的元素问题，解答过程中常常借助于Venn图来求解，这样处理起问题来，相对来说较形象、直观，且解答时不易出错. 【变式】已知全集∪={x|x取不大于30的质数}，A、B是∪的两个子集，且A∩（CuB）={5，13，23}，(CuA) ∩B={11，19，29}，(CuA) ∩（CuB）={3,7}，求A，B. 题型05 利用集合的运算结果求参 【典例】（1）设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求实数x的值及A∪B； （2）已知全集,，，求实数的值. 对于已知集合的运算结果求参数值的问题，可直接根据集合的交、并、补运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. 【变式1】已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}． (1)若A∩B＝，求a的取值范围； (2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围． 题型06 利用集合的运算性质求参 【典例】已知集合 (1)若,求实数的取值范围; (2)若,求实数的取值范围. 利用集合的交、并集运算，容易推得以下性质成立： 合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为上一节我们所学习过的题型,最后再化归为常见的方程、不等式问题. 【变式1】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． （1）当用m＝5时，求A∩B，A∪B； （2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围． 【变式2】已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+3}． （1）当m＝0时，求∁R（A∩B）； （2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 题型07 利用补集思想求参 【典例】已知集合A＝{x|x2－4x＋6－2a＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为 . 对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.. 【变式】若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为 . 题型08 求集合中元素的个数 【典例】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？ 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 【变式1】为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【变式2】某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型09 与集合运算有关的开放题 【典例】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 与集合运算有关的开放题常以结构不良型解答题的形式出现，对于这类问题，要注意从中挑选一个不易出错甚至得满分的条件进行作答. 【变式】设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 题型10 与集合运算有关的新定义题 【典例】任意两个集合M、N，定义新运算“－”，其运算结果为Venn图中阴影部分表示的集合，定义新运算“”，且，若，，则 . 1 U N 与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解． 【变式1】已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合间的运算，则集合A＋B中元素的最大值是________． 【变式2】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【变式3】集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 1、 单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．设全集，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 7．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 8．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2、 多选题 9．下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，且，若实数的取值集合为，则（   ） A． B． C． D． 11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题 12．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 13．已知集合.若，则m的取值范围是 14.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若A∩（∁RB）有三个元素，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若中整数元素的个数为3，写出的一个值. 16．若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 18．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3) 若，求实数的取值范围. 19．已知集合是实数集的非空子集，若对任意都有，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算 教学目标 1.理解交集、并集、补集运算的含义，会利用定义求简单集合的交集、并集和补集； (2)能够用集合语言和图形语言(Venn图和数轴)表示交集、并集和补集； (3)让学生体会到图形(数形结合思想)对理解抽象概念的作用； (4)会利用数轴求无限集的交集、并集的运算，体会数形结合在解决问题中的作用． 教学重难点 1.重点 (1)集合的交集、并集与补集概念的理解； (2)求集合的交集、并集和补集． 2.难点 (1)对集合运算概念的理解； (2)利用数形结合思想解决集合中的含参问题． 知识点01 交集 1.交集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 交集 对于两个集合、，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集.记作，读作“A交B”. 2.交集的性质 A ， B 【即学即练】 1．已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故， 故选：D. 2．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合，则. 故选：C. 知识点02 并集 1.并集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 并集 对于两个集合、，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做集合与的并集. 记作，读作“A并B”. 2．并集的性质 ， 【即学即练】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 故. 故选：B. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ， 所以 故选： D 知识点03 全集与补集 1.全集与补集的概念 知识点 自然语言 符号语言 图形语言(Venn图) 全集与补集 （1）全集：如果一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作. （2）对于一个集合，由全集中所有不属于的元素组成的集合，叫做中子集的补集（或余集）. ＝ 2.补集的性质 （1）补集是全集的子集，即; （2）= . 【即学即练】 1．设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【解析】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，故. 故选：B. 知识点04 德·摩根定律（拓展） （1）交集的补集等于补集的并集： ;. （2）并集的补集等于补集的交集： . 利用这些性质能简化集合的交、并、补的综合运算. 【即学即练】 1.设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{2,3,4}，则()∩等于(　　)． A．{1} B．{5} C．{2,4} D．{1,2,4,5} 【答案】B 【分析】本题可按先后顺序直接计算,也可利用德·摩根定律求解. 【解析】解法1：={2,4,5}和＝{1,5}，故()∩=｛5｝. 解法2：A∪B＝{1,2,3,4}，由德·摩根定律得 ()∩. 2.设集合U＝R，，则()= . 【答案】 【解析】因为，所以由德·摩根定律得 (). 知识点05 容斥定理——求集合中元素的个数（拓展） 1.容斥定理 在部分有限集中,我们经常遇到有关集合中元素的个数问题,我们常用Venn图表示两集合的交、并、补,如果用card表示有限集合中元素的个数,即card(A)表示有限集A的元素个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2) card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 这一结论被称为容斥定理. 2．容斥定理的两种重要变形 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B). 【即学即练】 1共有50 名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为 A．50 B．45 C．40 D．35 【答案】B 【分析】思路1：先转化为集合语言，再用Venn图来分析解决问题；思路2：先转化为集合语言，再利用上述结论：求解. 【解析】解法1： A∩B A 30-x x B 25-x 设集合A，B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则A有30个元素，B有25个元素，A∪B有50个元素，设A∩B中元素的个数为x个.由Venn图可知，A∪B的元素有三部分：（1）属于A但不属于B的元素,有（30-x）个；（2）属于B但不属于A的元素,有（25-x）个；（3）A、B的公共元素,有x个.所以（30-x）+（25-x）+x=50，解得x=5，所以仅参加一项活动的学生人数为50-x=45. 解法2:设集合A，B分别表示参加甲项、乙项活动的学生的集合，则 所以，即两项活动都参加的学生人数为5，所以仅参加了一项活动的学生人数为45. 2．高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【解析】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 题型01 交集、并集或补集运算 【典例1】已知集合， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】先求出集合B中的元素，再找A与B的公共元素. 【解析】∵， ， ∴A与B中的公共元素有1，4，即． 【典例2】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两个集合中的所有元素合并在一起即得并集. 【解析】因为， 所以. 故选：D 【典例3】设全集，集合，则集合的子集的个数是（ ） A. 16 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】因为， ，所以，集合的子集的个数是 ，故选B. 在进行集合间的交、并、补运算时，需注意以下两点： （1）集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的确定性、互异性、无序性，因此，在求解含参数的问题时，注意隐含的条件． （2）如果集合间的元素已知，或集合间的关系相对复杂，又涉及集合中的元素问题，解题过程中常借助于 Venn图，这样处理相对来说较形象、直观，且解题时不易出错． 【变式1】已知集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据集合并集的概念与运算，求得，进而求得其子集的个数，得到答案. 【解析】因为，所以， 所以的子集的个数为. 故选：D. 【变式2】已知集合，集合，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，结合各选项知B正确． 【变式3】若全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集，补集与子集的意逐项判断即可. 【解析】因为，，所以，，故AD错误； 所以，，所以，，故B正确，C错误. 故选：B. 题型02 交、并、补混合运算 1.分步求解法 【典例1】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【解析】依题意得，，所以． 故选：C. 解决解合的交、并、补混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(CuA) ∩B）时，可先求出(CuA)，再求交集;求Cu(AB)时，可先求出AB,再求补集，即将集合的混合运算分成多步分别进行. 【变式1】设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，． 【变式2】已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求U，再结合集合并集和补集概念，求出结果. 【解析】由题知解得， 所以全集， 因为，，所以， 所以. 故选：D. 2.数形结合法 【典例2】 已知全集U＝R，，P＝， 求 (∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)． 【答案】(∁UB)∪P=.，(A∩B)∩(∁UP) ={x0＜x＜2}． 【分析】 本题考查应用交集、并集的定义进行集合的运算．因给定的集合满足的条件是不等式，故可借助于数轴求解． 【解析】∵∁UB＝{x≤－1或x＞3}，∁UP＝ 在数轴上表示集合A，B，∁UB,∁UP如下图. 图（1） 图（2） 由图（1）可知(∁UB)∪P＝. 由图（2）可知(A∩B)∩(∁UP)＝{0＜x＜2}． 求涉及含不等式的集合的混合运算时，借助于数轴是常用的方法. 交集找数轴上折线重叠的区域，并集找数轴上折线扫过的所有区域. 【变式】已知全集U＝R， ，，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用数轴表示集合，如图所示， 取所有元素，得,故． 题型03 由Venn图给出的集合混合运算 【典例】设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合的交集，然后求出集合的并集，最后求出阴影部分的元素组成. 【解析】因为， 所以， 所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 对于给出Venn图的集合混合运算，求解的关键是：通过观图将阴影部分对应的集合转化为已知集合间的混合运算，再进一步求其结果. 【变式1】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得， 所以， 又因为，所以，图中阴影部分表示的集合为， 故选：A 【变式2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【解析】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 题型04 构造Venn图破解集合的混合运算 【典例】已知全集∪={x|x取不大于9的正整数}，A、B是∪的两个子集，且A∩（CuB）={2，4，8}，(CuA) ∩B={1，3}，(CuA) ∩（CuB）={6,9}，求集合A，B. 【答案】 【分析】根据补集的定义，A,B都是全集U的子集，可以利用集合交集、并集的关系求出A，B中的元素，从而解决问题，也可以用Venn图直接得到结果. 【解析】解法1：解法1： ， ， ， ， 解法 2： ， 画出 Venn 图，如图所示，由图可知 ． 对于元素是离散型的两个有限集，如果集合间的关系相对繁杂又牵扯到集合中的元素问题，解答过程中常常借助于Venn图来求解，这样处理起问题来，相对来说较形象、直观，且解答时不易出错. 【变式】已知全集∪={x|x取不大于30的质数}，A、B是∪的两个子集，且A∩（CuB）={5，13，23}，(CuA) ∩B={11，19，29}，(CuA) ∩（CuB）={3,7}，求A，B. 【答案】A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29} 【解析】依题意得，∪={2，3，5，7，11，13，17，19，23，29} 用Venn表示出A∩(CuB)，(CuA) ∩B及(CuA) ∩（CuB） 5 13A 23 U 2 17 11 19B 29 3 7 观图可得Cu(A∪B)={3，7}，A∩B={2，17}, ∴A={2，5，13，17，23}，B={2，11，17，19，29} . 题型05 利用集合的运算结果求参 【典例】（1）设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求实数x的值及A∪B； （2）已知全集,，，求实数的值. 【答案】（1）x=-3，A∪B＝{－8，－7，－4，4，9}；（2）2或8. 【分析】(1)根据A∩B＝{9}，列出关于x的方程，求出x；（2）先根据补集的定义确定 A，再看|a-5|与哪个元素相等. 【解析】（1）由于9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5. ①当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违背了互异性，舍去． ②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}，符合题意，故A∪B＝{－7，－4，－8，4，9}． ③当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，A∩B＝{－4，9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去． 综上所述，x=-3，A∪B＝{－8，－7，－4，4，9}． (2) 根据补集的定义知，且A与，故，所以，或8. 对于已知集合的运算结果求参数值的问题，可直接根据集合的交、并、补运算的概念得到不同集合中元素之间的关系，再列方程组求解.这类有时也可借助数形结合思想转化求解. 【变式1】已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得或．又，所以，故． 【变式2】集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}． (1)若A∩B＝，求a的取值范围； (2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围． 【答案】（1）a≤－1；（2）－1＜a≤1 【分析】 本题主要考查有关集合的交集与并集的运算问题．A∩B＝，那么集合A，B中没有公共部分．利用数轴可以直观、形象地表现出数集A，B所表示的范围，从而求出a的值． 【解析】 (1)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝，∴数轴上点a在－1的左侧(含点－1)．∴a≤－1. (2)如图所示，A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，∴数轴上点a在－1和1之间(含点1，但不含点－1)，∴－1＜a≤1. 题型06 利用集合的运算性质求参 【典例】已知集合 (1)若,求实数的取值范围; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉. 【解析】(1)因为,所以 当时,,解得; 当或时,,解得,此时; 当时,是方程的两个根, 则有,解得 综上所述,实数的取值范围是或 (2)因为,所以.因为，且集合中至多有两个元素,所以. 由(1)知 利用集合的交、并集运算，容易推得以下性质成立： 合理运用上述性质，可以把转化为集合之间的关系,便转化为上一节我们所学习过的题型,最后再化归为常见的方程、不等式问题. 【变式1】已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． （1）当用m＝5时，求A∩B，A∪B； （2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围． 【答案】（1）A∩B＝{x|6≤x≤7}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤9}；（2）（﹣∞，4]． 【分析】（1）求出集合B，由此能求出A∩B，A∪B． （2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围． 【解析】（1）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}． m＝5时，B＝{x|6≤x≤9}， ∴A∩B＝{x|6≤x≤7}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤9}． （2）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}， 若A∩B＝B，则B⊆A， ∴当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2， 当B≠∅时，，解得2≤m≤4， 综上，实数m的取值范围是（﹣∞，4]． 【变式2】已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+3}． （1）当m＝0时，求∁R（A∩B）； （2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞2}；（2）{m|m＞4或m＝﹣1}. 【分析】（1）当m＝0时，求出集合B＝{x|﹣1≤x≤3}，进而求出A∩B，由此能求出∁R（A∩B）； （2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+3，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围． 【解析】（1）当m＝0时，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|﹣1≤x≤3}， A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}， ∴∁R（A∩B）＝{x|x＜﹣1或x＞2}； （2）∵A∪B＝A，∴B⊆A， 当B＝∅时，2m﹣1＞m+3，解得m＞4， 当B≠∅时，， 解得m＝1， 综上，实数m的取值范围是{m|m＞4或m＝﹣1}． 题型07 利用补集思想求参 【典例】已知集合A＝{x|x2－4x＋6－2a＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为 . 【答案】a＞3 【分析】由集合A，B及A∩B≠可知，方程x2－4x＋6－2a＝0有实数根，且至少有一个负根，即有两个负根，或一个负根和一个零根，或一个负根和一个正根三种情况．如果分别求解会比较麻烦，可以先求出方程有实数根时实数a的取值范围作为全集，然后考虑方程的两根都非负时a的取值范围，最后利用补集求得符合条件的实数a的取值范围． 【解析】设全集U＝{a|16－4(6－2a)≥0}＝. 若方程x2－4ax＋2a＋6＝0的两根都非负，则a∈U，且 解得1≤a≤3，即方程两根都非负时，实数a的值组成的集合为. 其在全集U＝中的补集为{a|a＞3}． ∴满足题意的实数a的取值范围是a＞3. 对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的问题，在解题时，应及时调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.. 【变式】若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则 解得a＜且a≠0， ∴实数a的取值范围是. 在全集U＝R中，集合的补集是. ∴满足题意的实数a的取值范围是。 题型08 求集合中元素的个数 【典例】在开秋季运动会时，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的同学，问：同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？ 【答案】同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的同学有9人. 【分析】 本题考查集合命题中的实际应用问题，涉及元素个数问题时，可用公式card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)的推广形式card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)，或利用Venn图解决． 【解析】 解法一：设同时参加田赛和球类比赛的共有x人，参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C， 则有card(A)＝15，card(B)＝8，card(C)＝14， 由条件知card(A∩B)＝3，card(A∩C)＝3，A∩B∩C＝，即card(A∩B∩C)＝0. 故有15＋8＋14－3－3－x＋0＝28，解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的共有3人． 只参加径赛的有15－3－3＝9(人)． 解法二：设参加径赛的为集合A，参加田赛的为集合B，参加球类比赛的为集合C，根据题意画出Venn图，如图所示． 在图中相应的位置填上数字，设同时参加田赛和球类比赛的人数为x.由题意得 9＋3＋3＋(8－3－x)＋x＋(14－3－x)＝28， 解得x＝3. 即同时参加田赛和球类比赛的人数为3人，只参加径赛的人数为9人． 对于这类问题，一般有两种策略：一是画出Venn图，设出未知数，借助Venn图列出方程（组）求解；二是利用容斥定理速解. 【变式1】为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【解析】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 【变式2】某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【解析】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 题型09 与集合运算有关的开放题 【典例】已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 与集合运算有关的开放题常以结构不良型解答题的形式出现，对于这类问题，要注意从中挑选一个不易出错甚至得满分的条件进行作答. 【变式】设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【解析】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述. 题型10 与集合运算有关的新定义题 【典例】任意两个集合M、N，定义新运算“－”，其运算结果为Venn图中阴影部分表示的集合，定义新运算“”，且，若，，则 . 1 U N 【答案】或. 【分析】由Venn图可知，，从而把问题转化为集合的运算问题. 【解析】，， ∴， ∴，， 又∵， ∴或. 与集合的运算有关的新定义题求解的关键是：通过读题、审题，充分挖掘问题中所隐含的信息，弄懂运算的规律，进而求解． 【变式1】已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合间的运算，则集合A＋B中元素的最大值是________． 【答案】5 【解析】集合是由中的一个元素与中的一个元素相加构成，故集合中元素最大值是中的最大元素与中的最大元素相加而成，即，故答案为． 【变式2】已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【解析】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 【变式3】集合为进入高中数学的第一章节，在高中数学数学知识中占据一定的地位.已知集合为非空数集，我们根据数学知识和定义，规定如下， (1)若集合，直接写出集合（请写出计算过程）； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)1348 【分析】（1）根据集合的定义，即可求解； （2）首先写出集合，再根据，推理集合中元素的对应关系，即可证明； （3）根据，，以及，再由不等式的关系得到的取值范围，即可证明. 【解析】（1）根据题意，由,则，； （2）由于集合，且， 所以中也只包含四个元素，即， 于是，剩下的， 由于 所以， 注意到，于是； （3）设满足题意，其中， 则， ， ， ， ， 中最小的元素为，最大的元素为， ， ， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则， 依题意有，即， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是． 1、 单选题 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，利用并集运算求解即可. 【解析】由题得，所以． 故选: B． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，然后由交集运算可得. 【解析】因为，所以，所以. 故选：C 3．设全集，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案． 【解析】全集，， ，又， 则． 故选：B． 4．设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意有即． 5．设全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义以及补集的定义即可求解. 【解析】由，可得，，故， 故选：B 6．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的运算即可表示出阴影部分，然后代入计算，即可得到结果. 【解析】，且， 则， 阴影部分表示的集合是在集合中去掉的元素， 则阴影部分表示的集合为. 故选：D 7．若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【解析】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 8．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【解析】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 2、 多选题 9．下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【解析】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 10．已知集合，，且，若实数的取值集合为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由可知，解方程可得，即可得集合，进而判断各选项. 【解析】由已知， 又，即， 则方程有且只有一解， 即，解得，， 则， 故ACD正确； 故选：ACD. 11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【解析】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 三、填空题 13．已知全集 ，集合 ，集合 ，则 【答案】 【分析】化简集合，根据集合的运算求解. 【解析】由已知得，所以. 14．已知集合.若，则m的取值范围是 【答案】 【分析】根据列式运算得解. 【解析】因为，所以，即且，解得， 所以m的取值范围是. 15.已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若A∩（∁RB）有三个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】[2，3） 【分析】由集合B可得∁RB，又由A∩（∁RB）有三个元素，由交集的意义分析可得m的取值范围，即可得答案． 【解析】∵集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，∴∁RB＝{x|x≤m}， 若A∩（∁RB）有三个元素，则有2≤m＜3，即实数m的取值范围是[2，3）； 四、解答题 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若中整数元素的个数为3，写出的一个值. 【答案】(1)；(2)（答案不唯一） 【来源】吉林省洮北区九校联考2024-2025学年高一上学期期中数学测试卷 【分析】（1）求出集合后可求 （2）根据整数的个数可得三个整数为，故可求的取值范围. 【解析】（1）， 当时，，故. （2），， 因为中整数元素的个数为3，故的整数为， 故，故. 所以的一个值可以为（答案不唯一）. 16．若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可；（2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【解析】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出集合，然后利用集合的运算求解； （2）若，则，分，，两种情况讨论，列出不等式求解. 【解析】（1）当时，， 所以或，又， 所以. （2）因为，所以， ①当时，，解得，成立； ②当时，，解得， 综上所述：的取值范围为：． 18．在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 已知集合或，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3) 若，求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) ;(3) 【分析】根据题意，求得，结合集合的运算，即可求解； 【解析】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， (1)由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； (2)由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； (3)由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19．已知集合是实数集的非空子集，若对任意都有，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析；(2)不一定，举例见解析；(3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【解析】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$