精品解析：江苏省扬州中学教育集团树人学校2024-2025学年高二下学期5月第二次阶段检测数学试题

扬州市树人高级中学 2024-2025-2高二年级第二次阶段检测 数学 2025.05 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3 2. 展开式中的第三项为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ） A. 48 B. 60 C. 120 D. 240 5. 函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 6. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X分布列为 1 3 5 7 9 0.2 0.1 0.3 0.1 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知且，则下列等式中正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 在上单调递减 C. 对任意两个正实数，且，若，则 D. 若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为______． 13. 已知函数，过原点作曲线的切线，则该切线的方程为__________. 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 16. 已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有项的系数为1120. （1）求展开式中偶数项的二项式系数之和； （2）求的展开式中含项的系数. 17. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为中点，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）过作与垂直的平面，平面交直线于点，求线段的长度． 19. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市树人高级中学 2024-2025-2高二年级第二次阶段检测 数学 2025.05 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：D. 2. 展开式中的第三项为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式通项公式写出第三项即可. 【详解】由题设，展开式通项为， 第三项有，则. 故选：D 3. 已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 4. 2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ） A. 48 B. 60 C. 120 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】先安排2人去A场馆，再安排剩余的人去其它场馆即可. 【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为. 故选：B． 5. 函数的图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于所以函数不是偶函数，判处选项．当时，，排除选项，故选． 点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性来选取正确的函数图像．考查了特殊值法解选择题的技巧．首先根据奇偶性来排除，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称．然后利用特殊点来排除．也可以利用导数来判断，注意到极值点的位置，可以令导数为零，求得极小值点对应的横坐标为负数来选出正确选项． 6. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 7. 函数在处取得极值10，则（ ） A. 5 B. C. 0 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】由在处取得极值10，求得或，再结合函数的极值的概念检验得解. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得，解得或， 当时，，函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当时，得， 当或时，；当时，， 因此是函数的极小值点，符合题意，所以. 故选：B 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量X的分布列为 1 3 5 7 9 0.2 0.1 0.3 0.1 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由随机变量分布列的性质可得，进而判断各选项即可. 【详解】由随机变量分布列的性质可得，知，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知且，则下列等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，结合排列数与组合数的公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由排列数的计算公式，可得，所以A错误； 对于B中，由排列数的计算公式，可得，所以B正确； 对于C中，根据组合数的计算公式，可得，所以C正确； 对于D中，根据组合数的性质，可得成立，所以D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 函数的最大值是 B. 在上单调递减 C. 对任意两个正实数，且，若，则 D. 若关于x的方程有3个不等实数根，则m的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接求导得出函数单调性，继而可得函数最值情况判断AB；利用函数值相等，结合极值点偏移构造函数判断C；结合函数图象，数形结合将的范围转换成复合型二次函数的值域求解判断D. 【详解】对于AB，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，函数在上单调递增， 在上单调递减，，A正确，B错误； 对于C，依题意，，，则， 不等式，令 ，令， 求导得， 而当时，， 于是，函数在上单调递增，，即， 因此，又在上单调递减，则，C正确； 对于D，令，若关于的方程有3个不等实数根， 则关于的方程有两个不相等的实数根，， 解得或，且，则或， 当时，，解得，与矛盾； 当时，，，整理得， 则的取值范围是，因此的取值范围是，D正确. 故选：ACD 三､填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 将7张相同的电影票分给10个人，每人最多分到1张，则不同的分法种数为______． 【答案】120 【解析】 【分析】从10个人中选出7人得到电影票即可. 【详解】解：依题意可得不同的分法种数为． 故答案为：120 13. 已知函数，过原点作曲线的切线，则该切线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设所求切线切点为，利用导数几何意义结合两点间斜率公式求得方程，解方程求出即可求解. 【详解】设所求切线切点为，由题， 所以所求切线斜率为，又切线过原点， 所以，故切点为，切线斜率为， 所以切线方程为. 故答案为： 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数. 【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种； 第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况： 男男男：种； 女男男：种； 男女男：种； 女女男：种； 所以，第三次取出为男生的方法数： ， 综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率， 所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率， 则，即，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，再根据切线斜率为0计算求参； （2）先求函数的导函数，再求解函数的单调性进而得出函数的极小值即可. 【小问1详解】 由可得， 则， 由于，故， 【小问2详解】 ， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 16. 已知（是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有项的系数为1120. （1）求展开式中偶数项的二项式系数之和； （2）求的展开式中含项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二项式的开式的二项式系数之和为结合条件可得的值，再由通项公式结合展开式中含有项的系数为1120可得的值，再求展开式中偶数项的二项式系数之和. （2）利用二项展开式直接求解即可. 【小问1详解】 因为（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256， 所以＝256，解得n＝8， ∴二项展开式的通项为， 则项的系数为， 解得或（舍去），故的值分别为， 所以展开式中偶数项的二项式系数之和为. 【小问2详解】 ∵， ∴含x2项的系数为. 17. 某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 【答案】（1）480 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解； （2）①利用古典概型的概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 先将4名男生全排列，形成5个空，再从5个空中选出2个位置排列2名女生， 所以2名女生互不相邻得排法有种. 【小问2详解】 ①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 18. 如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为中点，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）过作与垂直的平面，平面交直线于点，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，通过求平面和平面的法向量即可求二面角； （3）根据平面，由确定Q的位置即可得. 【小问1详解】 因为是等腰直角三角形，且为斜边， 所以，为中点， 所以； 又由，可知， 因为平面, 故平面. 【小问2详解】 因为为正三角形，为中点， 所以， 由（1）知，平面， 平面， 所以，， 如图以为原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则， 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量， 且， 所以， 不妨设，则， 所以. 设平面与平面的夹角为， 又， 即. 由图可知，即二面角余弦值为. 【小问3详解】 设，， 则， 所以， 所以, 又因为为中点， 所以， 所以， 因为过作与垂直的平面，交直线于点， 所以，则， 所以， 解得， 所以，则， 所以， 即. 19. 已知函数，为的导数 （1）讨论的单调性； （2）若是的极大值点，求的取值范围； （3）若，证明：． 【答案】（1） 当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2） （3） 要证， 只要证， 只要证，， 因为，则， 所以只要证对任意，有， 只要证对任意，有（※）， 因为由（2）知：当时，若，则， 所以，即①， 令函数，则， 所以当时，所以在单调递增； 则，即， 由①②得， 所以（※）成立， 所以成立. 【解析】 【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解； （3）利用分析法可得只需证，，只需证对任意，有，结合（2）只需证明，构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，且， 由（1）知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以是函数的极小值点，不符合题意； 当时，，则当时，在上单调递增， 所以无极值点，不合题意； 当时，，且； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 所以是函数的极大值点，符合题意； 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $