2.6 应用一元二次方程 第2课时 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第2课时 营销问题及平均变化率问题 1.会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率 问题.（重点、难点） 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问 题解决问题的能力． 学习目标 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 导入新课 利用一元二次方程解决营销问题 例1 ：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量 = 5000元. 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是（2900 - x）元，每台冰箱的销售利润为（2900- x -2500）元，平均每天销售冰箱的数量为 台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决. 解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得 整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程,得： x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 例2：某超市将进价为30元的商品按定价40元出售时，能卖600件,已知该商品每涨价1元，销售量就会减少10件，为获得10000元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？ 解析：销售利润=（每件售价-每件进价）×销售件数，若设每件涨价x元，则售价为（40+x）元，销售量为（600-10x）件，根据等量关系列方程即可. 解：设每件商品涨价x元，根据题意，得 （40+ x - 30）（600 - 10x）= 10000. 即 x2 - 50x +400 = 0. 解得 x1 = 10，x2 = 40. 经检验, x1=10，x2=40都是原方程的解. 当x = 10时, 售价为: 40+10=50（元）, 销售量为: 600 - 10×10=500（件）. 当x = 40时, 售价为: 40+40=80（元）, 销售量为: 600 - 10×40=200（件）. ∵要尽量减少库存， ∴售价应为80元. 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株? 思考:这个问题设什么为x?有几种设法? 如果直接设每盆植x株,怎样表示问题中相关的量? 如果设每盆花苗增加的株数为x株呢？ 针对练习 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程,得 x1=1, x2=2. 经检验，x1=1 , x2 = 2 都符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株. 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.根据题意,得. (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量 进价 单个利润 平均变化率问题与一元二次方程 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 探究归纳 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 5000(1-x) 5000(1-x)2 例3 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 典例精析 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 下降率不能超过1. 注意 练一练 前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x，则 二月份营业额为：__________________. 三月份营业额为：_______________. 根据： . 作为等量关系列方程为： 200(1+x) 一月、二月、三月的营业额共950万元. 200(1+x)2 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 例4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过1. 平均变化率问题中常见概念 1.增长率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结归纳 利用一元二次方程 解决营销问题 及平均变化率问题 营销问题 平均变化率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 课堂小结 知识点一 利用一元二次方程解决销售问题 1.某药店营业员在卖布洛芬时发现，当布洛芬以每盒50元销售时，每天销售30盒， 若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知布洛芬的成本是每盒30元，设每盒 布洛芬降低 元，如果药店一天能盈利1 000元，可列方程为( ) C A. B. C. D. 当堂练习 23 2.某商场将进货价为30元的台灯，以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明： 这种台灯的售价每上涨1元，其销量就将减少10个.为了实现平均每月10 000元的销 售利润，这种台灯的售价应上涨多少元？ 设这种台灯的售价应上涨 元，此时每个台灯的售价为_________元，每个台灯的 利润为______________元，售价每上涨 元，销量将减少_____个，此时每月能售 出_____________个台灯，每月的利润为_________________________元，因此可列 方程__________________________________. 3.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施.调查发现：每件降价1元，则每天可多售5 件，如果每天要盈利800元，每件应降价多少元？ 24 解：设每件降价元，则每件的销售利润为 元，每天可售出 件. 根据题意，得 ， 解得， . 要尽快减少库存， . 故每件应降价10元. 25 知识点二 利用一元二次方程解决变化率问题 4.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》 显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年 至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为 ，依题意可列方程为( ) B A. B. C. D. 5.李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2 000元，4月份的盈 利达到2 880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同.那么按照这个平 均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到( ) D A.3 320元 B.3 440元 C.3 450元 D.3 456元 26 6.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人， 4月份游客人数为2.5万人. （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； 解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . 由题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 . 27 （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均 增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接 待游客人数最多是多少万人？ 解：设5月份后10天日均接待游客人数是 万人. 由题意，得 ， 解得 . 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人. 28 7.（教材P55习题T4改编）某超市今年一月份总收入为50万元，第一季度总收入为 175万元，问2，3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为 ，根据 题意得方程为( ) D A. B. C. D. 29 8.《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行.《条例》规定，驾驶人和 搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标 准.某商店以每件80元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销 售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数 ，物价部门规定每 件头盔的利润不能超过进价的 .若商店计划每周销售该头盔获利200元，则每件 头盔的售价应为_____元. 100 9.（教材P55习题T1改编）某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品 可以自行定价，设每件商品售价为元，则可卖出 件，但物价局限定每 件商品加价不能超过进价的 .商店计划要赚400元，需要卖出_____件商品，每 件商品应售____元. 100 25 30 10.“抖音直播”一夜之间红遍大江南北，某网络销售平台乘机销售一款户外声卡， 平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降 价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件. （1）设每件商品降价 元，则商场日销售量增加____件，每件商品盈利为_______ ___元；（用含 的代数式表示） 31 （2）在上述条件不变且销售正常的情况下，当每件商品降价多少元时，商场日盈 利可达到2 088元？ 解：根据题意，得 . 整理，得 ， 解得， . 要尽快减少库存， . 答：当每件商品降价21元时，日销售量较大，此时商场日盈利可达到2 088元. 32 11.某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次 降价的百分率相同. （1）求该商品每次降价的百分率； 解：设该商品每次降价的百分率为 . 根据题意，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 答：该商品每次降价的百分率是 . 33 （2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的20件 该商品全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价 至少售出多少件后，方可进行第二次降价？ 解：设第一次降价售出件，则第二次降价售出 件. 由题意，得 ， 解得 . 为整数， 的最小值是6. 答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价. 34 (2)利润率＝×100%； $$