2.6 应用一元二次方程 第1课时 课件 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 行程问题及几何问题 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体 问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识 解决问题． 学习目标 问题：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？ 分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m. 解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885. 导入新课 利用一元二次方程解决行程（几何）问题 例1 ：如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200n mile处有一 目标B,在B的正东方向200n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的 正南方向.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. (1)小岛D与小岛F相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF= AB， ∵AB⊥BC, AB = BC =200n mile, ∴DF⊥BC, DF =100n mile. 东 北 A B C D F (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1海里)？ E 解: 设相遇是补给船航行了x n mile,那么 DE = x n mile , AE + BE = 2x n mile, EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 整理得： 3x2 - 1200x + 100000 = 0 , 解方程得 (不符题意舍去) 例2：《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?” 大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远? 乙:3x 甲: 10 A B C 7x-10 解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得 (7x - 10)2 = (3x) 2 +10 2. 整理得 2x2 - 7x = 0. 解方程,得 x1=3.5, x2=0 (不合题意,舍去). ∴3x=3×3.5 =10.5 , 7x = 7×3.5 = 24.5. 答:甲走了24.5步,乙走了10.5步. 例3：一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800cm2.求截去正方形的边长. 800cm2 x x 解:设截取正方形的边长为 x m,根据题意,得 (60 - 2x)(40 - 2x) = 800. 整理得 x2 - 50x + 400 = 0. 解方程,得 x1=10 , x2= 40 (不合题意,舍去). 答:截取正方形的边长为10cm. (60 - 2x) (40-2x) 1.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后五边形APQCD的面积为64cm2？ A B C D Q P 分析：求五边形APQCD的面积为64cm2时的时间可以转换为求△PQB面积为（6×12 - 64）cm2的时间。 (6 - t) 2t 针对练习 解:设所需时间为 t s,根据题意,得 2t (6 - t) ÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程,得 t1 = 2 , t2 = 4 . 答:在第2秒和第4秒是五边形面积是 64cm2. 利用一元二次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 几何问题 行程问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 知识点一 利用一元二次方程解决几何问题 1.试验园的形状是长15米、宽8米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共 三条等宽的小道，使种植面积为110平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽 为 米，则根据题意列方程为( ) 第1题图 B A. B. C. D. 当堂练习 13 第2题图 2.如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 的住 房墙，另外三边用 长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住 房墙的一边留了一扇宽的门.若要使羊圈的面积为 ，则所围 矩形与墙垂直的一边长为___ . 8 3. 忽略方程根的实际意义 有一个面积为 的长方形，将它的一边剪 短，另一边剪短 ，恰好变成一个正方形，求这个正方形的边长. 解：设这个正方形的边长为，则原长方形的长为，宽为 . 依题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. 这个正方形的边长为 . 14 知识点二 利用一元二次方程解决古代数学问题 4.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了 完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相 去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门 的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为 尺，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 15 5.《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末 折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹 子原高一丈（1丈 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处 离竹根3尺.若设折断处离地面的高度为尺，则可以列出关于 的方程为( ) D A. B. C. D. 6.我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四 步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少十二步）.问阔及长各几 步？若设阔（宽）为步，则 ____. 24 16 知识点三 利用一元二次方程解决动态几何图形问题 第7题图 7.如图，，，，一只蝉从点 沿的方向以 的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一 只螳螂由点沿方向以 的速度爬行，当螳螂和蝉爬 行后，它们分别到达，的位置，此时 的面积 恰好为 ，由题意可列方程( ) D A. B. C. D. 17 第8题图 8.如图，在中， ， ， .动点，分别从点，同时开始移动，点 的 速度为，点的速度为，点移动到点 后停止， 点也随之停止运动.当的面积为时，点 运动 的时间是___ . 3 第9题图 9.已知的长为2，以为边在的下方作正方形.取 边上一 点，以为边在的上方作正方形.过点作 ，垂足 为点，如图.若正方形与四边形的面积相等，则 的长 是( ) B A. B. C. D. 18 10.如图，，，，是矩形的四个顶点，，，动点 从点 出发，以 的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点 出发，以 的速度向点运动，当时间为__________时，点和点之间的距离是 . 或 第10题图 19 11. 语文 读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） 大江东去浪淘尽，千古风流数人物； 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十位恰小个位三，个位平方与寿符； 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 20 解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为，则十位数字为 . 由题意，得 ， 解得， . 当 时，周瑜去世时的年龄为25岁，未过“而立之年”，不合题意，舍去； 当 时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意. 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 21 图1 12. 2022年教育部正式印发《义务教育课程方案 和课程标准（2022年版）》，《劳动教育》成为一门独 立的课程.某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育 基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为）， 用长为的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边 靠院墙，和与 院墙垂直，设的长为 . 22 （1）当围成的矩形养殖园面积为时，求 的长； 解： 篱笆的总长为，且的长为，的长为 . 根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， （不合题意，舍去）. . 答：的长为 . 23 图2 （2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三 种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并 与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到 ？ 若能，求出 的长；若不能，请说明理由. 解：养殖园的面积不能达到 .理由如下： 假设养殖园的面积能达到，设的长为，则的长为 . 根据题意，得 ， 整理，得 . ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即养殖园的面积不能达到 . 24 $$