精品解析：辽宁省朝阳市建平县实验中学2025届高三第五次模拟数学试卷

建平县实验中学高三第五次模拟数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：高三数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分、共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 4. 将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 72种 5. 已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数 B. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. ， C. ， D. 命题“，”的否定是“，” 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在R上是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设．若，则实数________． 13. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________. 14. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为__________． 四、解答题:本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设函数，，时，求. 16. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; （2）讨论的单调性与极值. 17. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形.点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值. 18. 教育部最近颁发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》中指出，劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．某中学鼓励学生多做家务劳动，提升自理能力和劳动技能，争做家长的好帮手，增进家庭和谐度．学校为了解该校学生参加家务劳动的情况，从中随机抽查了名学生，统计了他们双休日两天家务劳动的时间，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求这名学生双休日两天家务劳动的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）以这名学生双休日两天家务劳动的时间位于各区间的频率代替该校所有学生双休日两天家务劳动的时间位于该区间的概率．从该校所有学生中随机抽取个人，求恰好有个人是“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的概率； （3）用分层抽样的方法从这人中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，表示抽取的是“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的人数，求的分布列及数学期望． 19. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)过的直线分别交椭圆于和且，若，，成等差数列，求出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建平县实验中学高三第五次模拟数学试卷 考试时间：120分钟；命题人：高三数学组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分、共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，再求出即得解. 【详解】由，得，从而，所以的虚部为1． 故选：A 3. 已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点的距离为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求出结果. 【详解】因为到抛物线焦点的距离为， 所以由抛物线定义知，，解得， 故选：A. 4. 将4名志愿者全部安排到某社区参加3项工作，每人参加1项，每项工作至少有1人参加，则不同的安排方式共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】先取2人作为一组，把3组分配取参加3项工作，再由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先取2人为一组有种取法，取出的2人与剩余2人看作三组安排不同工作有种， 根据分步乘法计数原理不同的安排方式共有 故选：B 5. 已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答. 【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上， 因此，即， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 6. 若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，利用判别式即可求出的范围． 【详解】函数，， 若在递增，则在恒成立， 可得,解得， 故选：D 7. 已知向量、满足，且，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，进而得，，再根据夹角公式求解即可. 【详解】解：因为向量、满足， 所以，即 所以，，即. 所以，， 所以， 因为， 所以. 故选：A 8. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形的外接圆圆心为，连接，由勾股定理及球体积公式计算即可． 【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则， 设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则， 所以， 因为该艺术吊灯总高度为14，，所以， 设球半径为，则， 在中，，解得， 所以球的体积为， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知一组各不相同的数据，去掉其中最大和最小两个数据后，剩下的28个数据的22%分位数不等于原来数据的22%分位数 B. 若事件A，B满足，，且，则事件A，B独立 C. 若随机变量服从正态分布，且，则 D. 已知具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本点中心为，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解A,根据相互独立的性质即可求解B，根据正态分布的对称性即可求解C,将样本中心代入回归方程即可求解D. 【详解】对于A，将原来30个数从小到大排列，，则30个数的22%分位数为30个数中的第7个数， 去掉其中最大和最小两个数据后，，故剩下的28个数据的22%分位数为28个数中的第7个数字，也是30个数中的第8个数， 故两者不相等，A正确， 对于B，，所以相互独立，因此也相互独立，B正确， 对于C，由于，则，故C错误， 对于D，将代入可得，故，D错误， 故选：AB 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若幂函数过点，则 B. ， C. ， D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断. 【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误； 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示 由图可知，，故正确； 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示 由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误； 对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确； 故选： 【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在R上是增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确； B：由，，得，， 所以函数的定义域为，故B正确； C：，得，，解得，，故C正确； D：，，解得， 所以函数在上单调递增，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设．若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】令，即可求出的值. 【详解】令，则 解得：. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左焦点为，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为，则F到双曲线的渐近线距离为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】取，解得，根据面积得到，解得渐近线方程，再根据点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】取，则，解得，故， 即，解得或（舍），， 不妨取渐近线方程为，即，到渐近线的距离为. 故答案为： 14. 已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为__________． 【答案】210 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出，再利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】依题意等比数列的各项都为正数，当时， 则，， 所以数列的前20项和为 故答案为：210 四、解答题:本题共5小题、共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角的对边，且. （1）求角的大小； （2）设函数，，时，求. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知条件及余弦定理，可得，结合，即可求解角的大小； （2）利用三角函数恒等变换的应用，化简函数的解析式为，由，解得角的值，利用正弦定理即可求解的值． 【详解】（1）在中，因为， 由余弦定理可得 ∵ ∴ （2）， ，∴， ∵，即：， ∴ 16. 已知函数. （1）若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; （2）讨论的单调性与极值. 【答案】（1） （2） 当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解， （2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值. 【小问1详解】 由题得，的定义域为. . 的图象在点处的切线与直线l:垂直， ， 解得. 【小问2详解】 由（1）知. ①当时，恒成立. 在上为减函数，此时无极值; ②当时，由，得，由，得， 在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 综上可得，当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 17. 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形.点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明：设，因为为直三棱柱，， 所以四边形为正方形，所以，，， 因为，同理，于是， 所以， 同理可得， 因为，OD、平面； 所以平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证出，，利用线面垂直的判定定理即可证明. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，利用线面角的向量求法即可求解. （3）利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）略 （2）由， ，又， 面， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 则，，， 设面的一个法向量为， ，即，令，则，， 所以， 记直线与平面所成角为， 则. （3）设面的一个法向量为， ， 二面角的正弦值为. 【点睛】思路点睛： 解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 18. 教育部最近颁发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》中指出，劳动教育是国民教育体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．某中学鼓励学生多做家务劳动，提升自理能力和劳动技能，争做家长的好帮手，增进家庭和谐度．学校为了解该校学生参加家务劳动的情况，从中随机抽查了名学生，统计了他们双休日两天家务劳动的时间，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求这名学生双休日两天家务劳动的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）以这名学生双休日两天家务劳动的时间位于各区间的频率代替该校所有学生双休日两天家务劳动的时间位于该区间的概率．从该校所有学生中随机抽取个人，求恰好有个人是“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的概率； （3）用分层抽样的方法从这人中抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，表示抽取的是“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的人数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）小时；（2）； （3） 数学期望． 【解析】 【分析】（1）将频率分布直方图中每组的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得出这名学生双休日两天家务劳动的平均时间； （2）计算出“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的概率，利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率； （3）由题意可计算得出所抽取的人中，“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的人数为，由此可得出随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，由此可计算出随机变量的数学期望. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，这名学生双休日两天家务劳动的平均时间为小时； （2）“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的概率为， 所以，从该校所有学生中随机抽取个人，恰好有个人是“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”的概率为； （3）用分层抽样的方法从这人抽取人，其中“双休日两天家务劳动的时间不少于小时”占人， 所以，随机变量的可能取值有、、， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： . 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算平均数、利用独立重复试验的概率公式计算事件的概率以及随机变量分布列与数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19. 已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的方程； (2)过的直线分别交椭圆于和且，若，，成等差数列，求出的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)利用椭圆的定义即可得出，将代入椭圆方程可得； (2)根据直线AC斜率分类讨论，把直线方程代入椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出结论. 【详解】(1)∵，∴，，∴椭圆：. 将代入可得，∴椭圆的方程为. (2)①当的斜率为零或斜率不存在时，； ②当的斜率存在且时，的方程为， 代入椭圆方程，并化简得. 设，，则，. . ∵直线的斜率为，∴. ∴. 综上，，∴. 故存在常数，使得，，成等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $