精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高一下学期第三次（6月）月考数学试题

2025年上学期高一第三次月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由一元二次函数性质求出集合B，再由交集定义计算即可得解. 【详解】因为， 所以 ，又， 所以. 故选：B. 2. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题得，，在上单调递减，得即可解决. 详解】由题知， 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 因为， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 所以， 所以的最大值为1. 故选：D 3. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题得，在喝酒后，血液中酒精含量与时间的关系为， 建立不等式，则， 所以. 故选：A 4. 设函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】因为和为增函数，所以也为增函数，因为 ，，所以根据零点存在性定理可知的零点一定位于区间内. 故选：C. 5. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：C 6. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将化简为，根据，求出取值范围. 【详解】因为 ， 在锐角中，因为，，即，所以， 所以，即， 所以，即， 所以， 即，因为， 所以， 故选：B. 7. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，，，在中，, 则三角形的周长为. 故选：D 8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为偶函数且在上单调递减，则，且在上单调递增，然后对分情况讨论，从而可求解. 【详解】由函数为偶函数且在上单调递减，且， 所以，且在上单调递增， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，，则，所以. 综上所述：不等式的解集为.故B正确. 故选：B. 9. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可. 【详解】解：因为函数满足对任意的，都有成立， 所以函数是定义在上的减函数， 所以，解得，所以 故选：B 【点睛】本题考查函数单调性的判断、利用分段函数的单调性求参数范围，是中档题. 10. 已知奇函数的定义域为，，当时，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法以及奇函数的性质、函数的周期性进行求解. 【详解】因为，所以，即， 又当时，，则，所以． 所以当时，， 因为是奇函数，所以， 又，所以， 所以，即，即函数的周期为6， 所以．故A，B，C错误. 故选：D. 二、多选题 11. 已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意分析可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解. 【详解】因为，，， 则， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线， 可得，即， 结合选项可知A错误；BCD正确. 故选：BCD. 12. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D. 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量基底的概念与向量和向量间的位置关系逐项判断即可. 【详解】解：对A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能这两个向量为共线向量，即，故A正确； 对B，若非零向量，，满足，，则与的关系不确定，故B错误； 对C，若，，是空间的一组基底，且，则，即,可得A，B，C，D四点共面，故C正确； 对D，因为向量=，所以，，共面，不是空间的一组基底，故D不正确. 故选：AC. 13. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为 C. 当时，恒成立 D. 若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，利用换元法结合正弦函数的性质可判断B的正误，利用导数考虑的单调性后可判断C的正误，对于D，先判断的周期性，再利用导数刻画函数的单调性得到函数图象，结合两根特征就小根的范围分类讨论后可得参数的范围，从而可判断D的正误. 【详解】对选项A：因为 所以A正确； 对选项B：设，则可表为， 因为， 故为上的奇函数，而时，均为增函数， 故为上的增函数，而为上的增函数， 故为上的增函数，故为上的增函数， 因为是增函数，所以， 所以的值域为，所以B不正确； 对选项C：设， 则（不恒为零）， 所以在上递减，所以即，所以C正确； 对选项D：因为， 所以关于对称，又的图象关于原点对称， 故是周期函数且周期，而， 所以在上递增，可作出草图，如下图 设，则，该方程两根满足， 显然均不为0且最多仅有一个属于， 不妨设, 若时，方程在区间[上有1013个实数根； 若时，方程在区间[上有2026个实数根； 若时，区间上有2024个实数根； 若时，方程在区间上有1012个实数根； 代入方程可得：，唯一， 所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：嵌套方程的零点问题，一般可先考虑外方程的根的特征，再考虑内方程的根，本质上就是换元处理. 三、填空题 14. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可知，扇形的面积为. 故答案为：. 15. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 故答案为： 16. 已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】求，由可得的值，求，讨论、、，判断的最值及的单调性，求出的极小值点，由极小值等于即可得的值即可求解. 【详解】由可得， 因为的最小值为， 所以是的极值点，所以，所以； 当时，，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意； 由可得， 令，可得或， 当时，，由可得或；由可得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为， 由题意可得，解得，此时； 当时，当时，，不合题意； 所以. 故答案为：. 四、解答题 17. 在中，，在边上，且. （1）若，求的周长; （2）求周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长； （2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值. 【小问1详解】 若，则， 又，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故的周长为； 【小问2详解】 由（1）知，， 设，则， 由三边关系可得，解得， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 故， 所以的周长为， 令，， 则， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 最大值为. 18. 已知 ，. （1）当 时，求 ; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）{或4} 【解析】 【分析】（1）时，可以求出集合，然后进行并集的运算即可； （2）求解，根据，列不等式即可得出实数的取值范围． 【小问1详解】 解：当时 所以 【小问2详解】 解： ，. 或. ， 4， 故的取值范围为{或4} 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，角的平分线交BC于，求AD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用向量垂直的坐标运算，结合余弦定理可解； （2）运用余弦定理，结合等面积法，用三角形面积公式可解. 【小问1详解】 由得 由余弦定理得：，， 【小问2详解】 由余弦定理：，解得： 又， 所以， 所以． 20. （1），求； （2）已知（），求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，再将式子化为正、余弦的齐次式，代入计算，即可得到结果； （2）由诱导公式化简，即可得到，再由与之间的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由可得，解得， 所以. （2）由可得， 所以， 即，又，所以， 则， 所以， 所以. 21. 已知函数，. （1）讨论在内的零点个数. （2）若存在，使得成立，证明：. 【答案】（1）一个；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，分析得出，可得出在上无零点，在时，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （2）利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，分析得出，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，，此时函数无零点； 当时，， 令，其中，则， 所以，函数在单调递减，所以，， 所以，对任意的，，则， 所以，函数在上为减函数， 因为，， 所以，函数在上只有一个零点. 综上所述，函数在上只有一个零点； （2）由得， 令，，， 令，则， 当时，，所以，函数在上单调递增， 当时，，此时，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在，使得， 变形可得， 当时，，当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， ，其中， 对于函数，，， 所以在递减，则， 故，所以成立. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高一第三次月考 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（ ） A B. C. D. 3. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，） A 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 设函数，则的零点所在的区间为（ ） A B. C. D. 5. 已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个水平放置三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 9. 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知奇函数的定义域为，，当时，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 二、多选题 11. 已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ） A. 0 B. 1 C. D. 12. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则 B. 若非零向量，，满足，，则有 C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D. 若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 13. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为 C. 当时，恒成立 D. 若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 三、填空题 14. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 15. 计算：________． 16. 已知函数的最小值为，函数的零点与极小值点相同，则___________. 四、解答题 17. 在中，，在边上，且. （1）若，求的周长; （2）求周长的最大值. 18. 已知 ，. （1）当 时，求 ; （2）若，求实数的取值范围. 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，角的平分线交BC于，求AD的长． 20. （1），求； （2）已知（），求． 21. 已知函数，. （1）讨论在内的零点个数. （2）若存在，使得成立，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$