5.1.2 等式的性质 教学设计 2024—2025学年人教版七年级数学上册

5.1.2 等式的性质 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册第五章“一元一次方程”中的5.1.2等式的性质。主要内容是理解等式的两个基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。并运用这些性质解简单的一元一次方程，为后续系统学习方程的解法奠定基础。 2.内容解析 等式是数学表达数量关系的基本工具，解方程的核心依据就是等式的性质。学生在小学已接触过等式的基本变形（限于正数），本节课在引入负数后，将等式性质的适用范围扩展到全体有理数，实现知识的完整化和系统化。掌握等式的性质，不仅能帮助学生理解方程变形的原理，培养其逻辑推理能力，更是未来学习更复杂的方程（组）、不等式及函数的重要基础。基于此，本节课的教学重点为：探索并掌握等式的两条性质，并运用性质解简单的一元一次方程。 二、目标和目标解析 1.目标 (1) 通过观察天平平衡、生活实例（如购物找零）和具体数字运算，抽象概括出等式的两条基本性质，发展数学抽象能力。 (2) 经历用具体数字验证、字母符号表示和逻辑推理说明等式性质的过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想，提升推理能力。 (3) 能依据等式的性质对等式进行变形，并熟练运用于解简单的一元一次方程，发展运算能力和应用意识。 2.目标解析 达成目标(1)意味着学生能从现实情境或数学操作中剥离出等式的核心特征，准确表述两条性质，并理解其普遍适用性（含负数）。达成目标(2)意味着学生能理解性质的推导逻辑，认同其必然性，并初步形成用符号语言进行数学表达和推理的习惯。达成目标(3)意味着学生能正确识别解方程过程中每一步变形的依据（性质1或性质2），规范书写步骤，并解决相关实际问题，为后续学习复杂方程的解法（移项、系数化1）提供坚实的理论支撑和操作范式。 三、教学问题诊断分析 1. 负数的引入带来认知冲突： 小学阶段等式性质的运用局限于正数。当涉及负数运算（如两边同乘/除负数）时，学生可能因不熟悉符号规则或对性质普适性存疑而出错。 1. 性质应用的混淆与依据不清： 在解方程过程中，学生容易混淆性质1（加减运算）和性质2（乘除运算），不清楚何时该加/减、何时该乘/除同一个数，对选择哪个数进行操作感到迷茫。书写变形步骤时，容易遗漏说明依据或表述不规范。 1. 抽象符号理解的障碍： 从具体的数字等式过渡到用字母 表示的一般等式，部分学生理解抽象符号表示的数量关系存在困难，影响对性质本质的把握。 1. 检验步骤的忽视： 学生可能忽略解方程后“检验”的重要性，或检验过程不规范。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 观察下图描述的天平状态（左盘：2个苹果和1个50g砝码；右盘：4个50g砝码。天平平衡）。如果我在左右两盘各放上1个相同的橙子，天平还会平衡吗？如果我从左右两盘各拿走1个50g砝码呢？这反映了什么数学关系？ 问题2 小华去商店买文具，他付给收银员20元，买了一个单价为 元的笔记本，收银员找回 元。这个过程中蕴含的相等关系是什么？如果小华决定再买一个同样的笔记本（即再付 元），那么收银员总共应找回多少钱？这个变化体现了什么规律？ 问题3 已知等式 成立。 · 两边同时加上3：左边 ，右边 ，结果 仍成立。 · 两边同时减去2：左边 ，右边 ，结果 仍成立。 · 两边同时乘以4：左边 ，右边 ，结果 仍成立。 · 两边同时除以5（不为0）：左边 ，右边 ，结果 仍成立。 思考：如果两边同时加（或减、乘、除）的是同一个负数（例如 ），结果还会相等吗？请尝试计算验证（如从 开始，两边加 ： ， ， 成立）。 设计意图： 通过直观的天平实验（问题1）和贴近生活的购物实例（问题2），激发兴趣，引导学生感知“等式两边进行相同操作，结果仍相等”的核心思想。问题3通过具体数字运算，回顾小学知识并自然引入负数情境，打破认知局限，为抽象概括等式性质做铺垫。此环节对应目标(1)，旨在发展学生的数学抽象能力和应用意识。 （二）合作探究1 探究1 观察上面的例子，你能用一般的数学语言总结出等式保持不变的规律吗？ 答：规律1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 规律2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 追问： 如何用数学符号简洁地表示这两条规律？（引导学生用字母表示一般等式） 答：如果 ，那么 · 性质1： （ 是任意数或式子） · 性质2： （ 是任意数）; 如果 ，那么 （三）巩固练习1 1. 填空： · 如果 ，那么 （依据等式性质 ）。 · 如果 ，那么 （依据等式性质 ）。 · 如果 ，那么 （依据等式性质 ）。 · 答案与解析： · （性质1：两边加5）。 · （性质1：两边加3）。 · （性质2：两边除以2）。 1. 判断对错并说明理由： · 由 ，可得 。 （ ） · 由 ，可得 。 （ ） · 由 ，可得 。 （ ） · 由 ，可得 。 （ ） · 答案与解析： · 对。依据性质2，两边除以3。 · 错。应为 ，依据性质1，两边减2。 · 对。依据性质2，两边除以-4。 · 对。依据性质2，两边乘以5。 （四）合作探究2 探究2 利用等式的性质，如何解方程 ？ 答：目标是让方程左边只剩 。当前左边是 。根据性质1，等式两边同时加上8（即 ），可以消去左边的 。 解：两边加8： 追问： 为什么选择加8而不是其他数？解方程 应该运用哪条性质？如何操作？ 猜想： 选择加8是为了抵消左边多余的 。解 需要消去 的系数 ，应该运用性质2（乘除运算）。 验证： 尝试两边乘以 （即系数 的倒数）： 解：两边乘以 ： 检验：将 代入原方程左边： ，等于右边。解正确。 探究3 你能用等式的性质解释为什么“如果 且 ，那么 ”（传递性）和“如果 ，那么 ”（对称性）成立吗？ 说明： · 传递性： 由 ，根据性质1，两边加 ： 。由 ，代入上式右边： ，即 。但这并非直接得到 。更严谨的表述：传递性和对称性是等式本身具有的逻辑关系，是等式定义的一部分（即“相等”关系的基本属性），等式的性质1和2是在等式成立的前提下对等式进行变换操作的规则。教材中提到的“两个基本事实”是作为已知接受的。 设计意图： 探究2通过具体方程示范如何运用性质解方程，引导学生思考操作的目的（“消元”）和选择依据（抵消加/减项用性质1，抵消系数用性质2），解决目标(3)和应用难点。追问、猜想、验证环节强化对性质2（尤其涉及负数、分数）的理解和操作能力。探究3旨在澄清“等式基本事实”与“等式性质”的区别，深化对等式逻辑结构的认识，对应目标(2)的推理能力培养。 （五）典例分析 例1 (教材例3改编) 根据等式的性质填空，并说明依据： (1) 如果 ，那么 ; (2) 如果 ，那么 ; (3) 如果 ，那么 ; (4) 如果 ，那么 。 解与依据分析： (1) 。依据：性质1。观察原式 ，右边有 ，要使右边变为5，需要消去 。根据性质1，等式两边同时加 ： => 。但题目要求填 ，故应填 (左边加 后变成 ，右边加 后变成5)。 (2) 。依据：性质1。等式两边同时减去 ： => 。 (3) 。依据：性质2。已知 ，目标是得到某数乘 等于28。计算 。故等式两边需乘以 ： => 。 (4) 。依据：性质2。观察目标左边 是原左边 的一半 ()。根据性质2，等式 两边除以2： => 。故填 。 例2 (教材例4) 利用等式的性质解下列方程并检验： (1) ; (2) ; (3) . 解与步骤分析： (1) · 目标： 分离 (形式 )。 · 操作： 运用性质1消去左边+7。两边同时减7。 · 步骤： · 依据：等式性质 · 检验： 左边 右边。解正确。 (2) · 目标： 分离 。 · 操作： 运用性质2消去系数-5。两边同时除以-5。 · 步骤： · 依据：等式性质 · 检验： 左边 右边。解正确。 (3) · 目标： 分离 。需先处理常数项-5，再处理系数 。 · 操作1： 运用性质1消去左边-5。两边同时加5。 · 依据：等式性质 · 操作2： 运用性质2消去系数 。两边同时乘以-3 ( 的倒数)。 · 依据：等式性质 · 检验： 左边 右边。解正确。 设计意图： 通过典例，系统示范如何运用等式性质进行等式变形（例1）和规范解方程（例2）。强调每一步操作的目的（消去什么）和依据（性质1还是性质2），明确书写规范（写“解”、写变形步骤及依据、写结果、写检验）。解决目标(3)，培养学生严谨的代数运算习惯和逻辑表达能力，为后续解更复杂方程打下坚实基础。 （六）巩固练习 1. 根据等式的性质填空： · (1) 如果 ，那么 . · (2) 如果 ，那么 . · (3) 如果 ，那么 . · (4) 如果 ，那么 . · 答案与知识点： (1) 3 (性质1)。 (2) b (性质1)。 (3) 3 (性质2)。 (4) 6 (性质2，乘以倒数)。 1. 利用等式的性质解方程并检验： · (1) (2) (3) · 解与知识点： · (1) · 性质 · 检验： 成立。 · (2) · 性质 · 检验： 成立。 · (3) · 性质性质 · 检验： 成立。知识点：分步应用性质1和性质2。 1. 生活应用： 一桶水的重量是整桶水重量的 加上桶本身重量的 2 倍，已知桶重 1kg。设整桶水重 kg，列出方程并求解。 · 解与知识点： · 列方程： (理解题意：水重 = 总重 + 2倍桶重？ 题目表述有歧义。应理解为：水重 = × (水重 + 桶重) + 2 × 桶重。设水重 kg，桶重1kg，则总重为 kg。方程为： ) · 修正方程： · 解方程： · 去括号性质：两边减性质：两边乘 · 检验：总重 kg。 kg (等于水重)，成立。知识点：建立方程模型，综合运用运算律和等式性质解稍复杂的方程。 设计意图： 练习1强化对性质本身的理解和直接应用。练习2巩固解方程的基本步骤、依据书写和检验习惯。练习3创设实际情境（修正后），体现等式性质在建模和解决问题中的作用，增强应用意识。所有练习均紧扣教学重点和诊断出的易错点（负数、分数、步骤依据），促进目标(3)达成，并渗透目标(1)的抽象和应用。 （七）归纳总结 知识点 内容描述 数学符号表示 应用要点 等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 如果 ，那么 用于消去等式一边的加数或减数（移项的基础）。 等式的性质2 等式两边乘同一个数，结果仍相等；等式两边除以同一个不为0的数，结果仍相等。 如果 ，那么 ； 如果 ，且 ，那么 用于消去等式一边的系数（系数化1的基础）。乘除负数时需注意符号变化。 解简单一元一次方程 目标：把方程变形为 (常数)的形式。 步骤：1. 利用性质1消去常数项；2. 利用性质2消去未知数的系数；3. 求出解；4. 代入原方程检验。 例：解 () 1. (性质1) 2. (性质2) 明确每一步操作的依据（性质1或性质2）。注意运算的准确性（尤其负数、分数）。 （八）感受中考 1. (2023·北京海淀区一模) 已知 ，下列等式不一定成立的是 ( ) · A. B. C. D. · 答案： C · 解析： 本题考查对等式性质的理解。选项A、B依据性质1，一定成立。选项D依据性质2（乘法），一定成立。选项C依据性质2（除法），但要求 。若 ，则 无意义，等式不一定成立。故选C。知识点： 等式性质2中除数不能为0。 1. (2022·浙江杭州) 利用等式的性质解方程 时，可在方程的两边先 __________ ，得到方程 ，再在方程的两边 __________ ，得到方程的解 。 · 答案： 加1；除以2 · 解析： 解 ：第一步，运用性质1，两边加1，消去常数项-1： => 。第二步，运用性质2，两边除以2，消去系数2： => 。知识点： 解一元一次方程的基本步骤及依据（性质1和性质2）。 1. (2024·江苏苏州模拟) 若 ，且 ，则 __________ 。 · 答案： 0 · 解析： 由 和 求 。将 代入 ： 。又因为 ，根据等式的传递性（或直接代入）， ，所以 。知识点： 等式的传递性（基本事实）在求值中的应用。 1. (2023·四川成都) 方程 的解是 ( ) · A. B. C. D. · 答案： A · 解析： 解方程 。运用性质2，两边乘以 (系数 的倒数)： · 检验：左边 右边。故选A。知识点： 运用等式性质2解系数为分数的方程，涉及负数乘法运算。 设计意图： 在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 核心概念 相互关系与作用 等式 表示相等关系的数学基础。 等式性质1 作用： 对等式进行加减操作（移项的理论基础）。 关系： 与性质2共同构成等式变换的完整规则体系。 等式性质2 作用： 对等式进行乘除操作（系数化1的理论基础）。 关系： 与性质1共同构成等式变换的完整规则体系。特别强调除数/乘数不为0的限制条件。 解一元一次方程 过程： 本质是运用等式性质1和2，通过一系列同解变形，将复杂方程逐步化简为最简形式 。 核心： 每一步变形必须有据可依（依据性质1或2），保证变形的等价性（同解性）。 关键步骤： 消常数项(性质1) -> 消系数(性质2) -> 检验。 （十）布置作业 必做题： 1. (教材P117 练习1) 根据等式的性质填空： · (1) 如果 ，那么 . · (2) 如果 ，那么 . · (3) 如果 ，那么 . · (4) 如果 ，那么 . 1. (教材P117 练习2) 利用等式的性质解下列方程，并检验： · (1) (2) (3) (4) 1. (教材P118 习题5.1 第4题) 利用等式的性质解下列方程： · (1) (2) (3) (4) 选做题： 1. 已知关于 的方程 的解是 ，求代数式 的值。(提示：先把解 代入原方程求出 的值) 1. 小明的储蓄罐里有若干枚5角和1元的硬币，共15枚，总金额为10元5角。设5角硬币有 枚。 · (1) 用含 的代数式表示1元硬币的枚数。 · (2) 用含 的代数式表示总金额（单位：元）。 · (3) 根据(2)列出方程，并求出5角硬币的数量。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$