精品解析：天津市新华中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024——2025学年度第二学期高二级部 数学 学科 2025-05 第Ⅰ卷 一、单选题（每题5分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定全集和集合，再求出，最后根据补集的定义求出． 【详解】已知全集，表示自然数集，所以．  对于集合，解不等式，则其解为． 又因为，所以．  已知，，可得．  因为，，所以．  故选：C． 2. 已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对函数进行求导得，进而得时，，在上为增函数，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】因为的定义域是， 所以， 当时，，在上为增函数，即在上单调函数. 所以在上为单调函数，是充分条件； 反之，在上为单调函数或，不是必要条件. 故选：A. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】是不是同一函数，关键看定义域与对应关系是否一致，判断即可. 【详解】对于选项A，因为而一个x对多个y，不是函数，所以它们不是同一函数． 对于选项B，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数． 对于选项C，因为，所以，所以两个函数的定义域均为，又，所以它们是同一函数． 对于选项D，因为的定义域为，而的定义域为，所以它们不是同一函数． 故选：C． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】举例说明可判断，；作差法结合不等式的性质可判断，. 【详解】对于，， 因为，所以，， 所以，即，故错误； 对于，若，，则，，所以，故错误； 对于，， 因为，，所以，所以， 所以，即，故正确； 对于，若，，，， 则，，所以，故错误. 故选：. 5. 若∃x0∈，使得成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由命题为假命题可得非命题为真命题，再分离参数，构造函数转化为最值处理，利用导数求出最值可得结果. 【详解】因为∃x0∈，使得成立是假命题， 所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题， 即∀x∈，恒成立是真命题， 令f(x)＝2x＋，则＝2－， 当x∈时，＜0，当x∈时，>0， 所以当时，取得最小值＝，则λ≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了特称命题的否定，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题. 6. 定义在上的函数满足：对任意的，有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断的单调性，令，结合的单调性，求得答案． 【详解】在上的函数满足：对任意的，有，所以在上单调递减， 令，则在上单调递减，且， 则由，即，得， 所以不等式的解集为． 故选：B． 7. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得函数在上单调递增，结合二次函数单调性，对数函数单调性，分段函数的单调性的性质列不等式求结论. 【详解】当时，，. 在上单调递增，所以 因为函数在上单调递增，在定义域上单调递增， 根据复合函数单调性法则可知， 在上单调递增等价于，所以， 又根据分段函数递增法则可得，所以． ， 故选：A. 9. 宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设有1卦没有阳爻.设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件，然后根据古典概型和条件概率定义求解即可． 【详解】由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件，“另一卦至少有两个阳爻”为事件． 因为，，所以 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分） 10. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，所以， 所以函数定义域为. 故答案为：. 11. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝________；＝________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据题设知服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列和性质即可求出结果. 【详解】依题意服从参数为超几何分布， 所以，. 故答案为：，2 12. 若函数在上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 13. 有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据正态分布概率的对称性求出，再由独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】由生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布， 可得正态分布曲线对称轴为， 所以， 所以恰好有3个尺寸在区间的概率为， 故答案为：. 14. 科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为___________；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先设事件再利用全概率公式和贝叶斯公式即可计算求解； 【详解】设大文进行有氧运动为事件，进行力量训练为事件， 进行平衡性训练为事件，大文出现运动损伤为事件， 由题意知，，， ，，. 由全概率公式知. 由贝叶斯公式知， ， 故答案为：；. 15. 设，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 三、解答题（共25分） 16. 已知函数，且为常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，解得； （2）换元得到在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，由函数单调性求出的最小值，得到. 【小问1详解】 时，， 令，则，，解得， 故，解得，故不等式的解集为； 【小问2详解】 ， ，令，则在上恒成立， 故在上恒成立， 其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为2， 故. 17. 某公司对其开发的 AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. （1）若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率. （2）若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设X表示AI软件回答正确的题数，求X的分布列与期望； （3）若从该指定题库中随机选取几道题让AI软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设Y表示AI 软件回答问题的题数，求. 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）利用独立重复试验的概率及互斥事件的概率公式求解. 【小问1详解】 设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； 小问2详解】 由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ，， ，， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 设“共回答5道题后停止，其中最后2道题AI软件均答对”， “共回答5道题后停止，其中最后3道题AI软件均答错”， 则，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024——2025学年度第二学期高二级部 数学 学科 2025-05 第Ⅰ卷 一、单选题（每题5分） 1. 已知全集，，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知函数，则“”是“函数在上是单调函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列命题中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若∃x0∈，使得成立是假命题，则实数λ的取值范围是（ ） A. B. C D. 6. 定义在上的函数满足：对任意的，有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知函数，且对于都满足，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 9. 宋代著名类书《太平御览》记载：“伏羲坐于方坛之上，听八风之气，乃画八卦、”乾为天，坤为地，震为雷，坎为水，艮为山，巽为风，离为火，兑为泽，象征八种自然现象，以类万物之情.如图所示为太极八卦图，八卦分据八方，中绘太极，古代常用此图作为除凶避灾的吉祥图案.八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“▂”为阳爻，“▂ ▂”为阴爻.现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中至少有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（每题5分） 10. 已知函数的定义域为，则的定义域为______ 11. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝________；＝________． 12. 若函数在上单调递减，则的取值范围是______． 13. 有5条同样生产线，生产的零件尺寸（单位：）都服从正态分布，且，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间的概率为___________. 14. 科学健身倡导综合性训练，但一些健身爱好者由于盲目追求高强度运动且只进行某种单一的运动方式，忽视热身和拉伸等导致运动损伤.大文在某健身房健身，已知他每天只进行一项运动，且每天进行有氧运动、力量训练、平衡性训练的概率分别为0.3，0.5，0.2，他在有氧运动、力量训练、平衡性训练中出现运动损伤的概率分别为0.3，0.4，0.7.则大文出现运动损伤的概率为___________；在大文已经出现运动损伤的条件下，由于力量训练导致他运动损伤的概率为___________. 15. 设，则的最大值为__________. 三、解答题（共25分） 16. 已知函数，且常数． （1）当时，求的解集； （2）当，恒有，求实数的取值范围． 17. 某公司对其开发的 AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. （1）若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率. （2）若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设X表示AI软件回答正确的题数，求X的分布列与期望； （3）若从该指定题库中随机选取几道题让AI软件回答，且每道问题是否答对相互独立，并规定连续答对2题或连续答错3题则停止答题，设Y表示AI 软件回答问题的题数，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $