第4章 第1节 导数的概念、几何意义及运算-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（基础版）

第四章　一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念、几何意义及运算 必备知识—强基础 考点探究—提素养 课时作业 目录 必备知识—强基础 必备知识—强基础 5 3．瞬时变化率 必备知识—强基础 6 f′(x0) 必备知识—强基础 7 必备知识—强基础 8 6．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的______________，即k0＝________． 切线的斜率k0 f′(x0) 必备知识—强基础 9 必备知识—强基础 10 yu′·ux′ 必备知识—强基础 11 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 必备知识—强基础 12 题组一　走出误区——判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　) × × × 必备知识—强基础 13 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 必备知识—强基础 14 必备知识—强基础 15 (3)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编)已知函数f(x)＝x(2025＋ln x)，若f′(x0)＝2026，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 必备知识—强基础 16 必备知识—强基础 17 必备知识—强基础 18 必备知识—强基础 19 考点探究—提素养 导数的概念及运算 考点探究—提素养 21 考点探究—提素养 22 考点探究—提素养 23 1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) 考点探究—提素养 24 考点探究—提素养 25 2．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则f′(0)＝___． 考点探究—提素养 26 导数的几何意义及其应用(多考向探究) 考向1　导数与函数的图象 (2025·福建泉州高三适应性考试)如图是函数f(x)的部分图象，记f(x)的导数为f′(x)，则下列选项中值最大的是(　　) A．f(3) B．3f′(3) C．f(－14) D．f′(8) 考点探究—提素养 27 考点探究—提素养 28 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 考点探究—提素养 29 3.函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 考点探究—提素养 30 考点探究—提素养 31 考向2　求切点的坐标 已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 考点探究—提素养 32 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 考点探究—提素养 33 4.已知直线y＝ex－2是曲线y＝ln x的切线，则切点坐标为(　　) 考点探究—提素养 34 5x－y＋2＝0 考点探究—提素养 35 (2)若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为_________________ ___________． 12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 考点探究—提素养 36 (3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 考点探究—提素养 37 考点探究—提素养 38 5.(2025·贵州贵阳高三模拟)过点P(1，－3)作曲线f(x)＝2x3－3x的切线，写出切线的方程为________________________． 3x＋y＝0或21x－2y－27＝0 考点探究—提素养 39 考向4　求参数的值或取值范围 考点探究—提素养 40 考点探究—提素养 41 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 考点探究—提素养 42 6.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_______________________． (－∞，－4)∪(0，＋∞) 考点探究—提素养 43 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ 考向 导数的概念 导数的 运算 导数的几何意义 导数几何意义的应用 导数的运算 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用 考点 求瞬时速度 导数的四则运算 求切线 方程 比较导数的大小 导数的四则运算，求复合函数的导数 求参数的值 求参数的取值范围 求参数的取值范围 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 导数的运算 导数的 运算 导数几何意义的应用 导数的 概念 导数的几何意义 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用 导数的几何意义 考点 导数的四则运算 导数的四则运算 导数的定义式 求切线方程 求线段长度的最小值 求参数的取值范围 切线方程的求解及应用 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 3．(2024·江苏南京高三二模)曲线y＝ln (x－1)2在原点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝－2x 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 4．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 解析：如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 6．(2025·四川宜宾高三模拟)若曲线y＝ex＋b的一条切线方程是y＝x－1，则b＝(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．e 解析：由y＝ex＋b，得y′＝ex，设切点坐标为(t，et＋b)，由et＝1，得t＝0，所以切点坐标为(0，1＋b)，代入y＝x－1，得1＋b＝－1，即b＝－2.故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 7．若函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在斜率为2的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 －1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 (2ln 2，＋∞) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 　　　　　　　　　　　　　 R 课标解读 考向预测 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数. 3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2026年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，难度中、低档. 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝____________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近的常数． eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 定义式 eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4．导数的概念 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作______或________，即f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx). 注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． y′|x＝x0 5．导函数的概念 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导 函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝_________________________． eq \o(lim,\s\do12(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx) 7．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 8.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)． 9．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_______，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． (2)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T6改编)设f(x)＝eeq \r(x)＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C.eq \f(e＋1,2) D.eq \f(e,2) (4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为______________． y＝－x＋ 解析：因为y＝cosx，所以y′＝－sinx，可得曲线y＝cosx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线斜率为k＝－1，则曲线y＝cosx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为y＝－x＋eq \f(π,2). 6(3x＋1)ln (3x)＋ 3xe-3xln 3－3x+1e-3x (5)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T2改编)填空： (2x＋log2x)′＝____________； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3－1,sinx)))′＝_______________________； [(3x＋1)2ln (3x)]′＝________________________； (3xe－3x)′＝_____________________． 2xln 2＋ 解析：(2x＋log2x)′＝2xln 2＋eq \f(1,xln 2). eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3－1,sinx)))′＝eq \f(（x3－1）′sinx－（sinx）′（x3－1）,sin2x) ＝eq \f(3x2sinx－cosx（x3－1）,sin2x). [(3x＋1)2ln (3x)]′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2[ln (3x)]′＝6(3x＋1)ln (3x)＋eq \f(（3x＋1）2,x). (3xe－3x)′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3x＋1e－3x. (1)(2025·四川内江高三模拟)已知函数f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋ln x，则eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx)的值为(　　) A．e B．－2 C．－eq \f(1,2) D．0 解析：因为f′(x)＝－x＋eq \f(1,x)，所以f′(1)＝－1＋1＝0，所以eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,2Δx) ＝eq \f(1,2) eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq \f(1,2)f′(1)＝0. (2)(多选)下列结论中错误的是(　　) A．若y＝coseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x) B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝eq \f(1,2)xsin2x，则y′＝xsin2x 解析：对于A，y＝coseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，故A错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；对于D，y＝eq \f(1,2)xsin2x，则y′＝eq \f(1,2)sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD. 1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx). (3)得导数f′(x0)＝eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)，简记作：一差、二比、三极限． 2．函数的导数与导数值的区别与联系 导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数． A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,x2)))′＝eq \f(x2－2ln x,x3) B．(x3－5x＋1)′＝3x2－5xln 5 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x)－1)－\f(1,\r(x)＋1)))′＝－eq \f(2,（x－1）2) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))′＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3))) 解析：对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln x,x2)))′＝eq \f(\f(1,x)·x2－2xln x,x4)＝eq \f(1－2ln x,x3)，故A错误；对于B，(x3－5x＋1)′＝3x2－5xln 5，故B正确；对于C，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x)－1)－\f(1,\r(x)＋1)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x－1)))′＝－eq \f(2,（x－1）2)，故C正确；对于D，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))′＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))·2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3)))，故D正确．故选BCD. eq \f(1,3) 解析：因为f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝eq \f(1,3). 解析：由图可知，f(－14)，f′(8)为负数，f(3)，3f′(3)为正数，故排除f(－14)，f′(8)，设f(x)的图象在x＝3处的点为A，显然直线OA的斜率kOA大于f′(3)，则eq \f(f（3）－0,3－0)>f′(3)，故f(3)>3f′(3)，所以f(3)的值最大．故选A. 解析：如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得eq \f(f（3）－f（2）,3－2)＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选C. 解析：设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq \f(1,2)，∴f′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)－1＝2，∴xeq \o\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝xeq \o\al(3,0)－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)． A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，－1)) B．(e，1) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) D．(0，1) 解析：设切点坐标为(t，ln t)，因为(ln x)′＝eq \f(1,x)，所以在点(t，ln t)处切线的斜率为eq \f(1,t)，所以eq \f(1,t)＝e，t＝eq \f(1,e)，所以ln t＝－1，所以切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，－1)).故选A. 考向3　求切线的方程 (1)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为______________． 解析：因为y′＝eq \f(2（x＋2）－（2x－1）,（x＋2）2)＝eq \f(5,（x＋2）2)，所以曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. 解析：易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2.当点P为切点时，切线的斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0；当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3xeq \o\al(2,0)，∵点A在曲线上，∴y0＝xeq \o\al(3,0)，∴3,0)eq \f(x－8,x0－2) ＝3xeq \o\al(2,0)，∴xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0. 解析：当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝eq \f(1,x)，得y′|x＝x0＝eq \f(1,x0)，所以切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝eq \f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即y＝eq \f(1,e)x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝eq \f(1,x)，得y′|x＝x1＝eq \f(1,x1)，所以切线方程为y－ln (－x1)＝eq \f(1,x1)(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝eq \f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝eq \f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq \f(1,e)x. y＝eq \f(1,e)x y＝－eq \f(1,e)x \lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))INCLUDEPICTURE"灰注意.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\杨楠\\课件\\560数学（一轮书（基础版\\灰注意.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\翠芳\\PPT\\数学PPT\\560数学（一轮书（基础版\\灰注意.TIF" \* MERGEFORMATINET “待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 解析：设切点为(a，2a3－3a)，而f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f′(a)＝6a2－3，故切线方程为y－(2a3－3a)＝(6a2－3)(x－a)，因为切线过点(1，－3)，所以－3－(2a3－3a)＝(6a2－3)(1－a)，化简并解得a＝0或a＝eq \f(3,2)，则切点为(0，0)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,4)))，所以切线方程为3x＋y＝0或21x－2y－27＝0. (2025·河北保定十县一中高三期末联考)若函数f(x)＝aln x＋2x的图象在点(1，2)处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq \f(1,6)，则a＝(　　) A．－1 B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．1 解析：由f(x)＝aln x＋2x，得f′(x)＝eq \f(a,x)＋2，f′(1)＝a＋2，则f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为y＝(a＋2)x－a.将x＝0代入切线方程，得y＝－a，将y＝0代入切线方程，得x＝eq \f(a,a＋2).因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为eq \f(1,6)，所以eq \f(1,2)|－a|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋2)))＝eq \f(1,6)，解得a＝1或a＝－eq \f(2,3).当a＝1时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；当a＝－eq \f(2,3)时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意．故a＝1.故选D. 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)e x0＝eq \f(（x0＋a）ex0,x0)，化简，得xeq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 一、单项选择题 1．(2025·重庆十一中高三月考)有一机器人的运动曲线方程为s(t)＝2eq \r(t)＋ln eq \f(1,t)(t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm)，则该机器人在t＝4 s时的瞬时速度为(　　) A.eq \f(1,4) cm/s B.eq \f(1,2) cm/s C.eq \f(3,4) cm/s D．1 cm/s 解析：因为s′(t)＝eq \f(1,\r(t))－eq \f(1,t)，所以v(t)＝s′(t)＝eq \f(1,\r(t))－eq \f(1,t)，所以v(4)＝eq \f(1,\r(4))－eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(1,4).故选A. 2．(2025·湖北高三第一次大联考)已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则(　　) A．f(1)＝－eq \f(e,2) B．f′(1)＝－eq \f(e,2) C．f(2)＝e2－e D．f′(2)＝e2－e 解析：因为f(x)＝ex－f′(1)x，所以f′(x)＝ex－f′(1)，则f′(1)＝e－f′(1)，所以f′(1)＝eq \f(e,2)，则f(x)＝ex－eq \f(e,2)x，f′(x)＝ex－eq \f(e,2)，所以f(1)＝eq \f(e,2)，f′(2)＝e2－eq \f(e,2)，f(2)＝e2－e.故选C. 解析：由题意，令y＝f(x)＝ln (x－1)2，则f′(x)＝eq \f(2,x－1)，则f′(0)＝－2，又f(0)＝0，故切线方程为y＝－2x.故选D. 5．下列求导运算正确的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))′＝coseq \f(π,5) B．(x2sin3x)′＝2xsin3x＋x2cos3x C．(tanx)′＝eq \f(1,cos2x) D．[ln (2x－1)]′＝eq \f(1,2x－1) 解析：对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))′＝0，A错误；对于B，(x2sin3x)′＝(x2)′sin3x＋x2(sin3x)′＝2xsin3x＋3x2cos3x，B错误；对于C，(tanx)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq \f(cosxcosx－sinx（－sinx）,cos2x)＝eq \f(1,cos2x)，C正确；对于D，[ln (2x－1)]′＝eq \f(1,2x－1)×2＝eq \f(2,2x－1)，D错误．故选C. 解析：由题意，函数f(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1,x)＋a.函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在斜率为2的切线，即eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上有解．因为x>0，所以eq \f(1,x)>0，则－eq \f(1,x)<0，2－eq \f(1,x)<2，所以a<2，即实数a的取值范围是(－∞，2)．故选C. 8．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ex，直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，\r(e))) B．(eq \r(e)，＋∞) C．(e，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，＋∞)) 解析：当过原点的直线y＝kx与函数f(x)的图象相切时，设切点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(1,2)em))，由f′(x)＝eq \f(1,2)ex，可得过点P的切线方程为y－eq \f(1,2)em＝eq \f(1,2)em(x－m)，代入点(0，0)可得－eq \f(1,2)em＝－eq \f(1,2)mem，解得m＝1，此时切线的斜率为eq \f(1,2)e，由函数f(x)的图象可知，若直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，＋∞)).故选D. 二、多项选择题 9．函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1，x2(x1≠x2)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq \f(g（x1）＋g（x2）,2)时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”．若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所给定义域上“严格上凹”的是(　　) A．f(x)＝log2x B．f(x)＝2e－x＋x C．f(x)＝－x3＋2x(x∈(－∞，0)) D．f(x)＝sinx－x2(x∈(0，π)) 解析：由题意可知，若函数f(x)在所给定义域上“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立．对于A，f(x)＝log2x，则f″(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xln 2)))′＝－eq \f(1,ln 2)·eq \f(1,x2)<0在(0，＋∞)上恒成立，故A不符合题意；对于B，f(x)＝2e－x＋x，则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，故B符合题意；对于C，f(x)＝－x3＋2x(x∈(－∞，0))，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在(－∞，0)上恒成立，故C符合题意；对于D，f(x)＝sinx－x2(x∈(0，π))，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在(0，π)内恒成立，故D不符合题意．故选BC. 10．已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝eq \f(1,x) C．f(x)＝ln x D．f(x)＝eq \f(sinx,cosx) 解析：对于A，f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－eq \f(1,x2)，令eq \f(1,x)＝－eq \f(1,x2)，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f′(x)＝eq \f(1,x)，令ln x＝eq \f(1,x)，结合y＝ln x与y＝eq \f(1,x)的图象，知方程ln x＝eq \f(1,x)有解，即有“巧值点”；对于D，f′(x)＝eq \f(1,cos2x)，令eq \f(sinx,cosx)＝eq \f(1,cos2x)，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．故选ABC. 11．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1 C．f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,4) D．g′(1)＝eq \f(3,2) 解析：对于A，由题意知，点(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝eq \f(1,2)，故B错误；对于C，f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,4)，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝eq \f(1,2)，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝eq \r(x)，也满足f(1)＝1，f′(1)＝eq \f(1,2)，故C错误；对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，故D正确．故选AD. 三、填空题 12．(2025·江苏如东高级中学高三模拟)已知函数f(x)＝cos2x，则eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),Δx)＝________． 解析：由函数f(x)＝cos2x，可得f′(x)＝－2sin2x，所以eq \o(lim,\s\do12(Δx→0)) eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),Δx)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝－2sineq \f(π,3)＝－eq \r(3). －eq \r(3) 13．(2025·湖北鄂东南教改联盟校高三模拟)若曲线y＝eq \r(1＋2x)＋ex在点P(0，2)处的切线为l，则l在x轴上的截距是________． 解析：因为y′＝eq \f(1,\r(1＋2x))＋ex，所以切线l的斜率kl＝y′|x＝0＝2.则l的方程为y＝2x＋2.令y＝0，得x＝－1，故l在x轴上的截距是－1. 14．(2025·云南昆明一中高三月考)已知A，B分别是曲线y＝ln x－eq \f(1,x)和直线y＝2x上的点，则线段AB长度的最小值为________． 解析：平移直线y＝2x与曲线y＝ln x－eq \f(1,x)相切，设切点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，ln t－\f(1,t)))，由y＝ln x－eq \f(1,x)，求导，得y′＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,x2)，依题意，得eq \f(1,t)＋eq \f(1,t2)＝2，即2t2－t－1＝0，又t>0，解得t＝1，因此切点坐标为(1，－1)，所以线段AB长度的最小值为eq \f(|2×1－（－1）|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(3\r(5),5). eq \f(3\r(5),5) 15．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)|ex－1|.若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为___________． 解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（ex－1），x≥0，,\f(1,2)（1－ex），x<0，))则f′(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ex，x>0，,－\f(1,2)ex，x<0，))若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，根据导数的几何意义可知，f′(x1)f′(x2)＝－1，且x1<x2，所以－a<x1<0<x2<a，则eq \f(1,2)ex2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ex1))＝－1，即ex1＋x2＝4，因为－a<x1＋x2<a，所以e－a<e x1＋x2<ea，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ea>4，,e－a<4，,a>0，))解得a>2ln 2.故实数a的取值范围为(2ln 2，＋∞)． 16．(2025·福建百校联考高三联合测评)如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数f(x)的一个零点为x0，先取定一个初值x1，曲线y＝f(x)在x＝x1处的切线为l1，记l1与x轴交点的横坐标为x2，曲线y＝f(x)在x＝x2处的切线为l2，记l2与x轴交点的横坐标为x3，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到x0的近似值xn(n∈N*)，设函数f(x)＝x3＋x－1，令x1＝1. (1)证明：f(x)存在唯一零点x0，且eq \f(2,3)<x0<1； (2)已知xn>eq \f(2,3)，证明：|xn＋1－x0|<|xn－x0|2； (3)经过4次迭代后，判断x0的近似值x5与x0的差值是否小于10-7. 解：(1)证明：因为f′(x)＝3x2＋1>0， 所以f(x)单调递增， 因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq \f(8,27)＋eq \f(2,3)－1＝－eq \f(1,27)<0，f(1)＝1＋1－1＝1>0， 所以f(x)存在唯一零点x0，且eq \f(2,3)<x0<1. (2)证明：曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))处的切线方程为y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)， 令y＝0，得xn＋1＝xn－eq \f(f（xn）,f′（xn）)＝xn－3,n)eq \f(x＋xn－1,3xeq \o\al(2,n)＋1) ＝3,n)eq \f(2x＋1,3xeq \o\al(2,n)＋1) ， 则|xn＋1－x0|＝3,n)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1,3xeq \o\al(2,n)＋1)－x0)) ＝3,n)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x－3xeq \o\al(2,n)x0＋1－x0,3xeq \o\al(2,n)＋1))) ， 易知xeq \o\al(3,0)＋x0＝1， 所以|xn＋1－x0|＝3,n)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x－3xeq \o\al(2,n)x0＋xeq \o\al(3,0),3xeq \o\al(2,n)＋1))) ＝(xn－x0)2·2,n)eq \f(2xn＋x0,3x＋1) ， 要证|xn＋1－x0|<|xn－x0|2， 只需证2,n)eq \f(2xn＋x0,3x＋1) <1，即证x0<3xeq \o\al(2,n)－2xn＋1， 因为3xeq \o\al(2,n)－2xn＋1＝3xneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn－\f(2,3)))＋1>1>x0， 所以|xn＋1－x0|<|xn－x0|2. (3)由(2)可知，|x2－x0|<|x1－x0|2＝(1－x0)2<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,9)， 所以|x3－x0|<|x2－x0|2<eq \f(1,81)， 所以|x4－x0|<|x3－x0|2<eq \f(1,812)＝eq \f(1,6561)， 所以|x5－x0|<|x4－x0|2<eq \f(1,65612)<eq \f(1,60002)＝eq \f(1,3.6)×10－7<10－7， 所以经过4次迭代后，x0的近似值x5与x0的差值小于10－7. $$