第3章 第4节 幂函数与指对运算-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（基础版）

第三章　函数与基本初等函数 第四节　幂函数与指对运算 必备知识—强基础 考点探究—提素养 课时作业 目录 必备知识—强基础 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数_______叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象 y＝xα 必备知识—强基础 5 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点_______和_______ ，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点_______ ，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为_______；当α为偶数时，y＝xα为_______． 2．根式 (1)如果xn＝a，那么___叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (0，0) (1，1) (1，1) 奇函数 偶函数 x 必备知识—强基础 6 根式 a a 必备知识—强基础 7 0 必备知识—强基础 8 4．指数幂的运算性质 aras＝______；(ar)s＝ ____；(ab)r＝ ______ (a>0，b>0，r，s∈R)． 5．对数的概念 (1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数____叫做以a为底N的对数，记作x＝ ______，其中a叫做对数的______，N叫做______． (2)常用对数和自然对数 ①常用对数：以___ 为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为_____ ． ②自然对数：以___为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为______ ． ar＋s ars arbr x logaN 底数 真数 10 lg N e ln N 必备知识—强基础 9 6．对数的性质 (1)_________没有对数； (2)loga1＝____； (3)logaa＝____； (4)对数恒等式：alogaN＝___；logaab＝___(a>0，且a≠1)． 负数和0 0 1 N b 必备知识—强基础 10 logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM 必备知识—强基础 11 1．幂函数的奇偶性 α y＝xα的奇偶性 α为整数 α为偶数 偶函数 α为奇数 奇函数 α＝，其中n≥2，m，n∈N*且m，n互质 m为奇数，n为奇数 奇函数 m为偶数，n为奇数 偶函数 m为奇数，n为偶数 非奇非偶函数 必备知识—强基础 12 必备知识—强基础 13 × × × × × 必备知识—强基础 14 必备知识—强基础 15 必备知识—强基础 16 解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1. 1 必备知识—强基础 17 解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. c<b<a 必备知识—强基础 18 考点探究—提素养 幂函数的图象与性质 解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D. 考点探究—提素养 20 (2)(2025·江苏连云港海滨中学模拟)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________． 3 考点探究—提素养 21 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． (4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)． 考点探究—提素养 22 1.已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 解析：因为2ln 2＝ln 4>ln e＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B. 考点探究—提素养 23 2．幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________________． 考点探究—提素养 24 指数幂的运算 －10y 考点探究—提素养 25 1 考点探究—提素养 26 考点探究—提素养 27 考点探究—提素养 28 47 考点探究—提素养 29 对数的运算 考点探究—提素养 30 考点探究—提素养 31 对数运算的一般思路 利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 考点探究—提素养 32 5.化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 考点探究—提素养 33 6．(多选)若10a＝4，10b＝25，则(　　) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab>(lg 2)2 D．b－a>lg 6 考点探究—提素养 34 与指对运算相关的情境问题 考点探究—提素养 35 对于此类问题要正确理解题目信息，根据题意，列出相应的代数式或方程，灵活使用对数的运算法则和性质进行化简计算． 考点探究—提素养 36 考点探究—提素养 37 考点探究—提素养 38 课时作业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 考向 幂函数的图象 幂函数的性质 指对运算 指对运算 幂函数性质的应用 指对运算 幂函数性质的应用 幂函数的性质 指对运算 幂函数性质的应用 考点 奇偶性、单调性 对数的运算 利用单调性比较大小 对数的运算 利用奇偶性求值 幂函数的单调性 指数幂的运算 利用单调性、奇偶性比较大小 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 40 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 指对运算相关的情景问题 指对运算 幂函数的解析式 指对运算 幂函数性质的应用 幂函数的图象 指对运算 指对运算 指对运算 幂函数性质的应用 考点 指数幂的运算 由幂函数的解析式求值 解对数方程 利用幂函数的单调性求参数值、解不等式 利用幂函数的图象比较大小 与指对运算有关的新定义问题 与指对运算有关的新定义问题 对数的运算 由幂函数的单调性求参数的值、最值 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 解析：根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 45 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 6．(2025·湘豫名校联考)若a>1，则alg (lg a)－(lg a)lg a的值是(　　) A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 7．已知函数f(x)＝(m－1)xm＋1为幂函数，则f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝(　　) A．0 B．－1 C．a2 D．a6－a4 解析：由题意，有m－1＝1，可得m＝2，f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝0.故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 49 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 50 解析：因为f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 51 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 52 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 53 三、填空题 12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________． e 解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 54 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 55 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 56 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 57 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 58 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 59 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 60 17．(2025·重庆一中模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[2]＝2，[－2.1]＝－3，定义：若f(x)＝n在(a，b)上恒成立，则称S＝|n|(b－a)为函数f(x)在[a，b)上的“面积”．函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和与下面哪个数最接近(注意：①“面积不重复计算”；②630≈29.3)(　　) A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 61 解析：因为0≤x<3，所以1≤2x<8，当1≤2x<2，即0≤x<1时，f(x)＝1，当2≤2x<3，即1≤x<log23时，f(x)＝2，当3≤2x<4，即log23≤x<2时，f(x)＝3，当4≤2x<5，即2≤x<log25时，f(x)＝4，当5≤2x<6，即log25≤x<log26时，f(x)＝5，当6≤2x<7，即log26≤x<log27时，f(x)＝6，当7≤2x<8，即log27≤x<3时，f(x)＝7，根据“面积”的定义可知，函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和为S＝1×1＋2×(log23－1)＋3×(log24－log23)＋4×(log25－log24)＋5×(log26－log25)＋6×(log27－log26)＋7×(3－log27)＝18－(log23＋log25＋log26＋log27)＝18－log2630≈8.7.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 62 18．(多选)(2025·云南曲靖模拟)已知集合S，T，定义ST＝{xy|x∈S，y∈T}，则下列命题正确的是(　　) A．若S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，则ST与TS的全部元素之和等于3874 B．若S＝{2021}，R表示实数集，R＋表示正实数集，则SR＝R＋ C．若S＝{2024}，R表示实数集，则RS＝R D．若S＝{2049}，R＋表示正实数集，函数f(x)＝log2024x，x∈(R＋)S，则2049属于函数f(x)的值域 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 63 解析：对于A，因为S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，根据所给定义可得TS＝{0，1}，ST＝{1，1921，1949}，则ST与TS的全部元素之和等于3872，故A错误；对于B，SR＝{y|y＝2021x，x∈R}＝R＋，故B正确；对于C，RS＝{y|y＝x2024，x∈R}，表示幂函数y＝x2024(x∈R)的值域，可知幂函数y＝x2024(x∈R)的值域为[0，＋∞)，即RS＝[0，＋∞)，故C错误；对于D，因为x∈(R＋)S＝{x|x＝t2049，t>0}，当t＝2024时，则x＝20242049，可得f(20242049)＝log202420242049＝2049，故D正确．故选BD. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 64 3 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 65 20．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，对任意x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 66 　　　　　　　　　　　　　 R 课标解读 考向预测 1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up7(\f(1,2))，y＝x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.通过对有理数指数幂aeq \s\up16(\f(m,n))(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 3.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 高考对幂函数与指对运算的考查，常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，难度中档．预计2026年高考对于幂函数的考查会以幂函数的图象和性质的应用为主，对于指对运算的考查会以参数的求解为主，题型一般为选择题、填空题，难度中档. (2)式子eq \r(n,a)叫做_______，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)(eq \r(n,a))n＝_____． 当n为奇数时，eq \r(n,an)＝_____； 当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.)) 3．分数指数幂 正数的正分数指数幂，aeq \s\up7(\f(m,n))＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，a－eq \s\up7(\f(m,n))＝f(m,n))eq \f(1,a) ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂没有意义． 7．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝_____________； (2)logaeq \f(M,N)＝_____________； (3)logaMn＝__________(n∈R)． 8．换底公式 logab＝_____ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． eq \f(logcb,logca) 2.任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个，且互为相反数． 3．对数运算的两个重要结论 (1)logab＝eq \f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)． (2) logambn＝eq \f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)． 题组一　走出误区——判一判 (1)函数y＝－xeq \s\up7(\f(1,2))是幂函数．(　　) (2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) (4)eq \r(n,an)＝(eq \r(n,a))n＝a.(　　) (5)log2x2＝2log2x.(　　) 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第二册习题4－4B T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4eq \r(2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,4) (2)(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A.eq \f(1,2a＋b) B.eq \f(1,a＋2b) C．2a＋b D．2b＋a 解析：log1210＝eq \f(1,lg 12)＝eq \f(1,lg 3＋2lg 2)＝eq \f(1,2a＋b). (3)(人教A必修第一册3.3探究改编)已知α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2))，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________． (4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)． (1)若幂函数y＝x-1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m<eq \f(1,2) C．－1<m<0<n<eq \f(1,2) D．－1<n<0<m<1 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x-m2+m+3在(0，＋∞)上是减函数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,－m2＋m＋3<0.))由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3. xeq \s\up7(\f(2,3))(答案不唯一) 解析：取f(x)＝xeq \s\up7(\f(2,3))，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)eq \s\up7(\f(2,3))＝xeq \s\up7(\f(2,3))＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \r(3,4)，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝xeq \s\up7(\f(2,3))满足题意． (1)已知x，y>0，化简 3,4))eq \f(3x－yeq \s\up7(\f(1,2)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)xeq \s\up7(\f(1,4))y－eq \s\up7(\f(1,3))))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)x－1y－eq \s\up7(\f(1,6))))) ＝__________． 解析：原式＝3,4))eq \f(3x－yeq \s\up7(\f(1,2)),－\f(3,10)x－eq \s\up7(\f(3,4))y－eq \s\up7(\f(1,2))) ＝－10y. (2)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq \s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))－eq \s\up15(\f(2,3))＝________． 解析：原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq \s\up17(\f(1,2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,36)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))－eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(3,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,36)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(－2)＝eq \f(3,2)－eq \f(9,16)＋eq \f(1,36)×eq \f(9,4)＝1. 　3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))-eq \s\up15(\f(1,2))×1,2))eq \f(\r(（4ab-1）3),（0.1）-1（a3b-3）) (a>0，b>0)＝________． 解析：原式＝17(\f(3,2))eq \f(2×4aeq \s\up17(\f(3,2))b－eq \s\up17(\f(3,2)),10aeq \s\up17(\f(3,2))b－eq \s\up17(\f(3,2))) ＝eq \f(8,5). eq \f(8,5) 4．若xeq \s\up7(\f(1,2))＋x－eq \s\up7(\f(1,2))＝3，则x2＋x－2＝________． 解析：由xeq \s\up7(\f(1,2))＋x－eq \s\up7(\f(1,2))＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47. (1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是(　　) A．log53×log32×log25 B．lg eq \r(2)＋eq \f(1,2)lg 5 C．logeq \r(a)a2(a>0，且a≠1) D．eln 3－0.125－eq \s\up7(\f(1,3)) 解析：对于A，原式＝eq \f(lg 3,lg 5)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 5,lg 2)＝1；对于B，原式＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)lg (2×5)＝eq \f(1,2)；对于C，原式＝2logeq \r(a)a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8eq \s\up7(\f(1,3))＝3－2＝1.故选AD. (2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(2eq \r(3))z，则(　　) A.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,z) B.eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,x) C.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2,z) D.eq \f(1,x)＋eq \f(1,z)＝eq \f(2,y) 解析：令3x＝4y＝(2eq \r(3))z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log2eq \r(3)a，故eq \f(1,x)＝loga3，eq \f(1,y)＝loga4，eq \f(1,z)＝loga2eq \r(3)，故eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝loga12＝2logaeq \r(12)＝eq \f(2,z).故选C. 转化 利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化 利用换底公式转化为同底数的对数运算 恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的应用 拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简 合并 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 解析：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq \f(4,3)log23×eq \f(3,2)log32＝2.故选B. 解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；因为b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)<lg 10＝1，故B错误；因为ab＝lg 4×lg 25>lg 2×lg 2＝(lg 2)2，故C正确；因为b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)>lg eq \f(24,4)＝lg 6，故D正确．故选ACD. (2024·北京高考)生物丰富度指数d＝eq \f(S－1,ln N)是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．Neq \o\al(2,2)＝Neq \o\al(3,1) D．Neq \o\al(3,2)＝Neq \o\al(2,1) 解析：由题意，得eq \f(S－1,ln N1)＝2.1，eq \f(S－1,ln N2)＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以Neq \o\al(3,2)＝Neq \o\al(2,1).故选D. 　7.(2025·河南重点中学高三联考)在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐．新能源汽车作为新能源产业中的重要支柱产业之一，取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型y＝eq \f(M,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,y0)－1))e-rt)进行估计，其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，y0为初始值(单位：万辆)．若该省2022年底新能源汽车的保有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2032年底该省新能源汽车的保有量约为(采取四舍五入法，精确到1万辆)(参考数据：ln 0.887≈－0.12，ln 0.30≈－1.2)(　　) A．65万辆 　　　B．64万辆　　　　C．63万辆 　　　　 D．62万辆 解析：由题意知y＝eq \f(1300,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1300,20)－1))e－0.12×10)＝eq \f(1300,1＋64e－1.2)，因为ln 0.30≈－1.2，所以e－1.2≈0.30，所以y≈eq \f(1300,1＋64×0.30)≈64.故选B. 一、单项选择题 1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂 函数可能是(　　) A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y＝xeq \s\up7(\f(5,8)) 2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq \r(3))，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，eq \r(3))的坐标代入解析式，得3α＝eq \r(3)，解得α＝eq \f(1,2)，所以y＝xeq \s\up7(\f(1,2))，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D. 3．lg 4＋2lg 5＋log28＋8eq \s\up7(\f(2,3))＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．1 解析：因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，log28＝log223＝3，8eq \s\up7(\f(2,3))＝(23)eq \s\up7(\f(2,3))＝22＝4，所以lg 4＋2lg 5＋log28＋8eq \s\up7(\f(2,3))＝2＋3＋4＝9.故选B. 4．(2025·辽宁丹东模拟)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝(　　) A．－2 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D．1 解析：由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 5,lg 3)×eq \f(lg 4,lg 5)＝2，则log4(abc)＝log42＝eq \f(1,2).故选B. 5．已知a＝2eq \s\up7(\f(4,3))，b＝4eq \s\up7(\f(2,5))，c＝25eq \s\up7(\f(1,3))，d＝6eq \s\up7(\f(2,3))，则(　　) A．b<a<d<c B．b<c<a<d C．c<d<b<a D．b<a<c<d 解析：由题意，得a＝2eq \s\up7(\f(4,3))＝16eq \s\up7(\f(1,3))，b＝4eq \s\up7(\f(2,5))＝16eq \s\up7(\f(1,5))，c＝25eq \s\up7(\f(1,3))，d＝6eq \s\up7(\f(2,3))＝36eq \s\up7(\f(1,3))，因为幂函数y＝xeq \s\up7(\f(1,3))在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a.故选D. 解析：令b＝lg a，则a＝10b，由a>1，得b>0，所以alg (lg a)－(lg a)lg a＝(10b)lg b－bb＝10lg bb－bb＝0.故选A. 8．已知幂函数f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，则函数y＝f(x2＋2x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 解析：设f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，所以2α＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝－eq \f(1,2)，即f(x)＝x－eq \s\up7(\f(1,2))，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x2＋2x)＝(x2＋2x)－eq \s\up7(\f(1,2))＝eq \f(1,\r(x2＋2x))，由x2＋2x>0，解得x<－2或x>0，则函数y＝x2＋2x在(－∞，－2)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝f(x2＋2x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故选A. 二、多项选择题 9．下列各式中成立的是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝n7meq \s\up7(\f(1,7))(n>0，m>0) B．－eq \r(12,34)＝eq \r(3,－3) C.eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3) D．[(a3)2(b2)3]－eq \s\up7(\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0) 解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝eq \f(n7,m7)＝n7m－7(n>0，m>0)，故A错误；－eq \r(12,34)＝－3eq \s\up7(\f(4,12))＝－3eq \s\up7(\f(1,3))＝eq \r(3,－3)，故B正确；eq \r(\r(3,9))＝eq \r(\r(3,32))＝2,3))eq \r(3) ＝eq \r(3,3)，故C正确；[(a3)2(b2)3]－eq \s\up7(\f(1,3))＝(a6b6)－eq \s\up7(\f(1,3))＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正确．故选BCD. 10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0 C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能 11．(2025·湖南娄底模拟)我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰、碳中和，我国将继续坚持贯彻落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e-kt，其中P0，k是常数．已知在前5 h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是(参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105)(　　) A．k＝eq \f(1,5)ln 0.9 B．过滤10 h后还剩余81%的污染物 C．污染物减少50%所需要的时间为31 h D．污染物减少50%所需要的时间为33 h 解析：由题意知，当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝(1－10%)P0＝0.9P0，于是有0.9P0＝P0e－5k，解得k＝－eq \f(1,5)ln 0.9，故A错误；当t＝10时，P＝P0e－10k＝P0e2ln 0.9＝P0×0.92＝81%P0，故B正确；当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝eq \f(ln 0.5,\f(1,5)ln 0.9)≈eq \f(－0.693,0.2×（－0.105）)＝33，故C错误，D正确．故选BD. 13．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝eq \f(1,2)，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝____． eq \f(1,5) 解析：设f(x)＝xα，则4α＝eq \f(1,2)，所以α＝－eq \f(1,2)，因此f(x)＝x－eq \s\up7(\f(1,2))，从而a－eq \s\up7(\f(1,2))＝4(a＋3)－eq \s\up7(\f(1,2))，解得a＝eq \f(1,5). 14．(2024·全国甲卷)已知a>1，eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝－eq \f(5,2)，则a＝________． 解析：由eq \f(1,log8a)－eq \f(1,loga4)＝eq \f(3,log2a)－eq \f(1,2)log2a＝－eq \f(5,2)，整理，得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 四、解答题 15．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm+1在(0，＋∞)上是减函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若(5－a)eq \s\up16(\f(1,m))>(2a－1) eq \s\up16(\f(1,m))，求实数a的取值范围． 解：(1)由幂函数的定义，知m2＋m－1＝1， 即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1. 因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2. 故f(x)＝x－1＝eq \f(1,x). (2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x－eq \s\up7(\f(1,2))， 则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数， 因为(5－a)－eq \s\up7(\f(1,2))>(2a－1)－eq \s\up7(\f(1,2))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,2a－1>0，,5－a<2a－1，))解得2<a<5. 故实数a的取值范围为(2，5)． 16．设函数f(x)＝eq \f(1,x)，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 解析：令f(x)＝g(x)，得eq \f(1,x2)＝ax＋b.设F(x)＝eq \f(1,x2)，y＝ax＋b，根据题意F(x)与直线y＝ax＋b只有两个交点，不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时，如图1，y＝ax＋b与F(x)左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝eq \f(1,x2)>eq \f(1,－x1)＝－y1，所以y1＋y2>0，同理可得，当a<0时，如图2，x1＋x2>0，y1＋y2<0，故选B. 19．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为______． 解析：因为ax＝by＝3，所以x＝loga3，y＝logb3.又loga3·log3a＝eq \f(lg 3,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝1，logb3·log3b＝eq \f(lg 3,lg b)·eq \f(lg b,lg 3)＝1，所以eq \f(1,x)＝log3a，eq \f(1,y)＝log3b.因为a>1，b>1，根据基本不等式，有3ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝81，当且仅当3a＝b，即a＝3，b＝9时，等号成立，所以ab≤27，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为3. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,3))) 解析：因为f(x)＝(m－1)2x m2－4m＋2为幂函数，则(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，舍去，故f(x)＝x2.当x∈[1，5)时，f(x)∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，所以t≤eq \f(7,3)；g(1)＝2－3t≤1，所以t≥eq \f(1,3).综上所述，t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(7,3))). $$