第3章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（基础版）

第三章　函数与基本初等函数 第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性 课标解读 考向预测 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 2.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2026年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等相结合来综合考查，以多选题的形式呈现. 必备知识—强基础 考点探究—提素养 课时作业 目录 必备知识—强基础 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于____对称 1．函数的奇偶性 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 必备知识—强基础 5 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_______正周期． 最小 必备知识—强基础 6 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性； (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 必备知识—强基础 7 必备知识—强基础 8 必备知识—强基础 9 × √ × √ 必备知识—强基础 10 必备知识—强基础 11 (2)(人教A必修第一册习题5.4 T18改编)已知定义域是R的函数f(x)满足：∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2027)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－3 解析：因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故选B. 必备知识—强基础 12 (3)(人教B必修第一册第三章复习题B组 T5改编)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________． (4)(北师大版必修第二册习题1.1 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________． －1 解析：因为f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1. 必备知识—强基础 13 考点探究—提素养 函数奇偶性的判断 考点探究—提素养 15 考点探究—提素养 16 考点探究—提素养 17 (4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数． 考点探究—提素养 18 1．判断函数奇偶性的方法 考点探究—提素养 19 考点探究—提素养 20 考点探究—提素养 21 考点探究—提素养 22 函数奇偶性的应用(多考向探究) 考向1　利用函数的奇偶性求解析式、函数值 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋1 解析：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故选A. 考点探究—提素养 23 解析： ∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1. －1 考点探究—提素养 24 (1)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (2)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． 考点探究—提素养 25 考点探究—提素养 26 3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________． 解析：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. 1 考点探究—提素养 27 考点探究—提素养 28 考点探究—提素养 29 对于利用函数的奇偶性求参数的问题，一是考虑定义域是否关于原点对称，若定义域含参数，求出参数；二是借助奇偶性的定义求解，对于在x＝0处有定义的奇函数，利用f(0)＝0求参数，通常也可以有效简化运算． 考点探究—提素养 30 ln 2 考点探究—提素养 31 考向3　“奇函数＋常数”模型 设函数F(x)＝ax5－bx3＋cx＋4且F(3)＝10，则F(－3)＝________． 解析：因为F(－x)＋F(x)＝(－ax5＋bx3－cx＋4)＋(ax5－bx3＋cx＋4)＝8，所以F(－3)＝8－F(3)＝8－10＝－2. －2 考点探究—提素养 32 对于F(x)＝f(x)＋c，其中f(x)为奇函数，有 (1)F(a)＋F(－a)＝2c； (2)若F(x)的最大值与最小值分别为m，n，则m＋n＝2c. 考点探究—提素养 33 5.已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，M，m分别为g(x)＝f(x)＋x＋3的最大值与最小值，则M＋m＝________． 解析：由题意，得g(x)－3＝f(x)＋x为奇函数，所以(M－3)＋(m－3)＝0，即M＋m＝6. 6 考点探究—提素养 34 函数的周期性 考点探究—提素养 35 根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用． 考点探究—提素养 36 解析：当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1. －1 考点探究—提素养 37 函数图象的对称性 3 考点探究—提素养 38 考点探究—提素养 39 考点探究—提素养 40 (1)函数图象的对称性，本质上是点的对称，即对于y＝f(x)图象上的任意一点(x，y)关于对称轴或对称中心的对称点仍在y＝f(x)上． (2)对称性与周期性的关系 ①若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|； ②若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|； ③若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|. 考点探究—提素养 41 考点探究—提素养 42 课时作业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 考向 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的周期性 函数图象的对称性 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数的奇偶性与周期性的综合 考点 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的判断 判断函数的周期性 判断函数图象的对称中心 由函数的奇偶性求参数的值 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的判断 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数图象的对称性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 考点 由函数的奇偶性求参数的值 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的判断 函数图象对称性的应用 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 45 一、单项选择题 1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递减且最小值为－5 C．单调递增且最大值为－5 D．单调递减且最大值为－5 解析：因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 3．下列函数是奇函数的是(　　) A．g(x)＝sinx＋1 B．g(x)＝x2＋2x C．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x 解析：对于A，g(x)＝sinx＋1为非奇非偶函数，故A不符合题意；对于B，g(x)＝x2＋2x为非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，g(x)＝x3－x为奇函数，故C符合题意；对于D，g(x)＝ex＋e－x为偶函数，故D不符合题意．故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列函数是周期函数的是(　　) A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x 解析：依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 49 5．(2025·河北名校联考)已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 解析：因为函数y＝f(x＋1)为奇函数，所以其图象关于点(0，0)对称，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 50 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 51 7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(　　) A．(－∞，0]∪[4，＋∞) B．[0，4] C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2] 解析：当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2，∴f(x)＝x|x|，∴4f(x)＝4x|x|＝f(2x)，∴f(x2)≥4f(x)可化为f(x2)≥f(2x)，当x≥0时，f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增．∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增，∴x2≥2x，解得x≥2或x≤0.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 52 8．(2025·河南郑州部分重点高中联考)设函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－1)＋1为奇函数，y＝f(x－2)为偶函数，若f(2028)＝1，则f(－2)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 解析：因为y＝f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)＝－1.因为y＝f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称．由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)，所以f(x－2)＝－2－f(x)，则f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2－f(－x－2)＝f(x)，则f(x)的周期为4，f(2028)＝f(0)＝－2－f(－2)＝1，则f(－2)＝－3.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 53 二、多项选择题 9．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．|f(x)|一定是偶函数 B．f(x)f(－x)一定是偶函数 C．f(x)f(－x)≥0 D．f(－x)＋|f(x)|＝0 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．对于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；对于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C错误；对于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D错误．故选AB. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 54 10．已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　) A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5) C．f(x＋3)＝f(x－1) D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1 解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质，得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．故选ABC. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 55 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 56 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 57 2 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 58 13．已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________． 4 解析：令g(x)＝asinx＋btanx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 59 14．已知函数y＝f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(－x)＝2，则f(2026)＋f(2028)＝____． 2 解析：因为函数y＝f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)　①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，则f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)　②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)　③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2026)＋f(2028)＝f(2)＋f(0)，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2026)＋f(2028)＝f(2)＋f(0)＝2. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 60 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 63 16．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于(2，0)对称 C．4是f(x)的一个周期 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4是f(x)的一个周期，故C正确；∵4是f(x)的一个周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 65 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 66 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 67 0 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 68 解：(1)由f(x＋2)＝f(－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝1对称． 因为x∈[1，2]， 所以－x＋2∈[0，1]，f(－x＋2)＝logax， 又f(－x＋2)＝f(x)，故函数f(x)的解析式为f(x)＝logax，x∈[1，2]． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 69 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 70 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 71 　　　　　　　　　　　　　 R 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； (3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a； (4)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； (5)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a. 3．函数图象对称性的四个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称； (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 题组一　走出误区——判一判 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) (2)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　) (3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．(　　) 题组二　回归教材——练一练 (1)(多选)(人教A必修第一册3.2.2例6改编)下列给出的函数是奇函数的是(　　) A．y＝eq \f(1,x) B．y＝eq \f(x2＋1,x) C．y＝x3＋1 D．y＝sinx －eq \f(5,2) eq \a\vs4\al()判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)； (2)f(x)＝eq \f(lg （1－x2）,|x－2|－2)； (3)f(x)＝(x＋1)eq \r(\f(1－x,1＋x))； (4)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0.)) 解：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，))得x2＝3，解得x＝±eq \r(3)， 即函数f(x)的定义域为{－eq \r(3)，eq \r(3)}， 从而f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，))得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝eq \f(lg （1－x2）,－x). 又f(－x)＝eq \f(lg [1－（－x）2],x)＝－eq \f(lg （1－x2）,－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． (3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)≥0，,1＋x≠0，))得－1<x≤1， ∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 2．一些重要类型的奇偶函数模型 (1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数． (2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数． (3)函数f(x)＝eq \f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函数． (4)函数f(x)＝logaeq \f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函数． (5)函数f(x)＝loga(eq \r(1＋m2x2)±mx)(a>0且a≠1)是奇函数． 　1.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝eq \f(ex－x2,x2＋1) B．y＝eq \f(cosx＋x2,x2＋1) C．y＝eq \f(ex－x,x＋1) D．y＝eq \f(sinx＋4x,e|x|) 解析：对于A，设f(x)＝eq \f(ex－x2,x2＋1)，函数的定义域为R，由f(－1)＝eq \f(e－1－1,2)，f(1)＝eq \f(e－1,2)，得f(－1)≠f(1)，则f(x)不是偶函数；对于B，设g(x)＝eq \f(cosx＋x2,x2＋1)，函数的定义域为R，且g(－x)＝eq \f(cos（－x）＋（－x）2,（－x）2＋1)＝eq \f(cosx＋x2,x2＋1)＝g(x)，则g(x)为偶函数；对于C，设h(x)＝eq \f(ex－x,x＋1)，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则h(x)不是偶函数；对于D，设φ(x)＝eq \f(sinx＋4x,e|x|)，函数的定义域为R，由φ(1)＝eq \f(sin1＋4,e)，φ(－1)＝eq \f(－sin1－4,e)，得φ(1)≠φ(－1)，则φ(x)不是偶函数．故选B. (2)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），x<0，,2x－3，x>0))为奇函数，则f(g(－1))＝________． eq \f(x,x2－1) 　2.若f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，则f(x)＝________，g(x)＝________． 解析：由题意，得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）＝\f(1,x－1)，,f（－x）＋g（－x）＝f（x）－g（x）＝－\f(1,x＋1)，))解得f(x)＝eq \f(1,x2－1)，g(x)＝eq \f(x,x2－1). eq \f(1,x2－1) 考向2　利用函数的奇偶性求参数的值 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A．－1 　　　　　B．0 　　　　　C.eq \f(1,2) 　　　　　　D．1 解析：解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)，则其定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln eq \f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝(－x)ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1))) eq \s\up12(－1)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：设g(x)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln eq \f(－2x－1,－2x＋1)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. 　4.若f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝_____，b＝_____． 解析：因为函数f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋eq \f(1,1－x)≠0，可得(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq \f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq \f(1,2)，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln 2＝ln eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． －eq \f(1,2) 已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2028)＝(　　) A．1 B.eq \f(13,2) C．13 D.eq \f(1,2) 解析：∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)，∵f(x＋4)＝eq \f(13,f（x＋2）)＝eq \f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2028)＝f(4)＝eq \f(13,f（2）)＝eq \f(13,2).故选B. 　6.若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x>0，))则f(25)＝______． (1)(2025·湖南郴州高三期末)已知函数f(x)＝eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)的图象关于直线x＝b对称，则b－a＝________． 解析：由f(x)＝eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)知2x－2≠0，即x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}，又函数f(x)＝eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)的图象关于直线x＝b对称，所以b＝1，且f(x)＝f(2－x)恒成立，即eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)＝eq \f(（1－x）（22－x－a）,22－x－2)＝eq \f(（1－x）（2－a·2x－1）,2－2x)，所以2x－a＝2－a·2x－1，整理得(a＋2)(2x－1－1)＝0，所以a＝－2，故b－a＝1＋2＝3. (2)(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln eq \f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3，证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：因为f(x)＝ln eq \f(x,2－x)＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，且f(1)＝a， 设点P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点， 则点P(m，n)关于点(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)， 因为点P(m，n)在y＝f(x)的图象上， 故n＝ln eq \f(m,2－m)＋am＋b(m－1)3， 而f(2－m)＝ln eq \f(2－m,m)＋a(2－m)＋b(2－m－1)3＝ －eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ln \f(m,2－m)＋am＋b（m－1）3))＋2a＝－n＋2a，所以点Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上， 由点P的任意性可得y＝f(x)的图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)． 　7.(2025·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq \o(∑,\s\up6(m),\s\do6(i＝1)) (xi＋yi)＝(　　) A．0 　　　　B．m 　　　　C．2m 　　　　D．4m 解析：∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝eq \f(x＋1,x)＝1＋eq \f(1,x)，∴函数y＝f(x)与y＝eq \f(x＋1,x)的图象都关于点(0，1)对称，∴eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1))xi＝0，eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1))yi＝eq \f(m,2)×2＝m，∴eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1)) (xi＋yi)＝0＋m＝m. 2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2) B．f(2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1) C．f(2)<f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D．f(－1)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2) 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－eq \f(3,2)<－1，所以f(－2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)，所以f(2)<feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)．故选B. 6．已知f(x)＝eq \f(xex,eax－1)是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为f(x)＝eq \f(xex,eax－1)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝eq \f(xex,eax－1)－eq \f(（－x）e－x,e－ax－1)＝eq \f(x[ex－e（a－1）x],eax－1)＝0，因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 11．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知定义域为R的函数f(x)，对任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(x)不恒为0，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．若f(1)＝0，则f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 D．若f(1)＝0，则eq \o(∑,\s\up16(2028),\s\do14(i＝1)) f（i）＝0 解析：对于A，令x∈R，y＝0，有2f（x）＝2f（x）f（0），而f（x）不恒为0，则f（0）＝1，A错误；对于B，由A项分析知f（0）＝1，令x＝0，y∈R，有f（y）＋ f（－y）＝2f（0）f（y）＝2f（y），即f（－y）＝f（y），则函数f（x）为偶函数，B正确；对于C，若f（1）＝0，令x＝1，y∈R，有f（1＋y）＋f（1－y）＝2f（1）f（y）＝0，则f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，C正确；对于D，由C项分析知f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又f（x）为偶函数，则f（1＋x）＝－f（1－x）＝－f（x－1），即f（x＋2）＝－f（x），因此f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，显然f（1）＋f（3）＝0，f（2）＋f（4）＝0，即f（1）＋f（2）＋ f（3）＋f（4）＝0，所以eq \o(∑,\s\up16(2028),\s\do14(i＝1)) f（i）＝507×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，D正确．故选BCD. 三、填空题 12．若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))为偶函数，则a＝________． 解析：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝(x－1)2＋ax＋cosx为偶函数，定义域为R，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－1))eq \s\up12(2)－eq \f(π,2)a＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq \s\up12(2)＋eq \f(π,2)a＋coseq \f(π,2)，则πa＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋1))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－1))eq \s\up12(2)＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. 15．已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，则函数f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) C．f(x)＝sin4x D．f(x)＝x2 解析：由函数奇偶性的定义，若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，由函数单调性的定义，若函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，则函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，选项中四个函数的定义域均为R，∀x∈R，都有－x∈R.对于A，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，因为y＝ex与y＝－e－x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq \s\up12(x)均在R上单调递增，所以f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，满足性质②；对于B，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)为非奇非偶函数， 在R上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝ －f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，令－eq \f(π,2)＋2kπ≤4x≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)＋\f(kπ,2)，\f(π,8)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故f(x)在(0，1)上不单调，不满足性质②；对于D，f(x)＝x2为偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选A. 17．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，若f(x＋y)＋f(x)·f(y)＝4xy，则(　　) A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0 B．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2 C．函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是偶函数 D．函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是减函数 解析：令x＝eq \f(1,2)，y＝0，则有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))×f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))[1＋f(0)]＝0，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，令x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，则有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即f(0)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，由f(0)＝－1，可得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≠0，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，故A正确；令y＝－eq \f(1,2)，则有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋f(x)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝4x×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝－2x，故函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))是奇函数，故C错误；由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1－\f(1,2)))＝－2(x＋1)＝－2x－2，即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝－2x－2，得函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是减函数，故D正确；对于feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＝－2x，令x＝1，有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×1＝－2，故B正确．故选ABD. 18．(2025·八省联考)已知曲线C：y＝x3－eq \f(2,x)，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPM的面积为eq \r(2)，则△MNQ的面积为________． 解析：由于(x，y)和(－x，－y)都符合y＝x3－eq \f(2,x)，x≠0，所以曲线C的图象关于原点对称，当x>0时，函数y＝x3－eq \f(2,x)单调递增，由此大致画出曲线C的图象如图所示，两条直线l1，l2均过坐标原点O，所以M，N两点关于原点对称，P，Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设M，N，P，Q的位置如图，可知|OP|＝|OQ|，|OM|＝|ON|，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌△OQN，所以S△OQN＝S△OPM＝eq \r(2)，而△OQM和△OQN等底等高，面积相同，所以S△OQM＝eq \r(2)，所以S△MNQ＝2eq \r(2). 2eq \r(2) 19．设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则eq \o(∑,\s\up16(2027),\s\do14(k＝1))g(k)＝________． 解析：由g(x＋1)为偶函数，则函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，则有 g(－x)＝g(2＋x)，由函数g(x＋2)为奇函数，则函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，则－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2)，设t＝x＋2，则g(t＋2)＝－g(t)，从而函数g(x)是周期为4的函数，又由函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，可得g(1)＋g(3)＝0且g(2)＝0，由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0，因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以eq \o(∑,\s\up16(2027),\s\do14(k＝1))g(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2027)＝506×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝506×0＋0＝0. 20．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>eq \f(1,2)的解集． (2)因为f(x)是R上的偶函数， 所以f(x＋2)＝f(x)， 即函数f(x)是以2为周期的函数． 因为a>1，由函数f(x)的最大值为1， 知f(x)max＝f(0)＝loga2＝1，即a＝2. 若x∈[0，1]，则log2(2－x)>eq \f(1,2)， 所以0≤x<2－eq \r(2)， 当x∈[－1，0]时，由f(x)是R上的偶函数， 可得eq \r(2)－2<x≤0， 所以此时满足不等式的解集为(eq \r(2)－2，2－eq \r(2))； 因为f(x)是以2为周期的周期函数， 所以当x∈[－2，－1]时，f(x)>eq \f(1,2)的解集为[－2，－eq \r(2))； 当x∈[1，2]时，f(x)>eq \f(1,2)的解集为(eq \r(2)，2]． 综上所述，不等式f(x)>eq \f(1,2)的解集为[－2，－eq \r(2))∪(eq \r(2)－2，2－eq \r(2))∪(eq \r(2)，2]． $$