第3章 第1节 函数的概念及其表示-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（基础版）

第三章　函数与基本 初等函数 第一节　函数的概念及其表示 课标解读 考向预测 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中档偏上．预计2026年高考函数的定义域、值域、解析式仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，分段函数的考查比较灵活，各种题型都可能涉及. 必备知识—强基础 考点探究—提素养 课时作业 目录 必备知识—强基础 1．函数的概念 一般地，设A，B是______的实数集，如果对于集合A中的______一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 非空 任意 唯一确定 必备知识—强基础 5 2．函数的定义域、值域 (1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的______． (2)函数的三要素：________、对应关系、______． (3)如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有_________、________和图象法． 定义域 值域 定义域 值域 定义域 对应关系 解析法 列表法 必备知识—强基础 6 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的______，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． (3)各段函数的定义域区间端点应不重不漏． 并集 并集 必备知识—强基础 7 1．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论． 4．判断两个函数是否相同，要抓住的两点 (1)定义域是否相同． (2)对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性． 必备知识—强基础 8 必备知识—强基础 9 × √ × × 必备知识—强基础 10 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A必修第一册习题3.1 T12改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2 ≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：A中函数的定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数的值域不是[0，2]．故选B. 必备知识—强基础 11 必备知识—强基础 12 必备知识—强基础 13 (－4，4] 必备知识—强基础 14 考点探究—提素养 函数的概念 (1)(多选)(2025·河北部分学校高三摸底)设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，则下列图象能表示集合P到集合Q的函数关系的是(　　) 解析：对于A，由图象可知定义域不是P，不满足题意；对于B，定义域为P，值域为Q的子集，符合函数的定义，满足题意；对于C，集合P中存在元素在集合Q中对应两个值，不符合函数的定义，不满足题意；对于D，由函数的定义可知D满足题意．故选BD. 考点探究—提素养 16 解析：同一个函数应满足①定义域相同，②对应关系相同，只有A，C满足. 考点探究—提素养 17 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 考点探究—提素养 18 1.下列四个图象中，是函数图象的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 解析：根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有②不满足．故选C. 考点探究—提素养 19 考点探究—提素养 20 考点探究—提素养 21 函数的定义域(多考向探究) 考向1　具体函数的定义域 考点探究—提素养 22 解析：由题意可知ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为 (－12，0]. (－12，0] 考点探究—提素养 23 1．求具体函数的定义的策略 已知函数的解析式，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数的解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可. 2．求具体函数的定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化． (2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 考点探究—提素养 24 3．已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题． (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围． 考点探究—提素养 25 (－∞，1)∪(1，2] 考点探究—提素养 26 －3 考点探究—提素养 27 考向2　抽象函数的定义域 (1)已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域； (2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域； (3)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域． 考点探究—提素养 28 求抽象函数的定义域的策略 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围，即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域. 口诀：定义域指的是x的范围，括号内范围相同． 考点探究—提素养 29 5.已知函数y＝f(x－1)的定义域为[1，3]，则函数y＝f(log3x)的定义域为(　　) A．[0，1] B．[1，9] C．[0，2] D．[0，9] 解析：由x∈[1，3]，得x－1∈[0，2]，所以log3x∈[0，2]，所以x∈[1，9]．故选B. 考点探究—提素养 30 [0，1) 考点探究—提素养 31 函数的解析式 (1)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式； 考点探究—提素养 32 考点探究—提素养 33 考点探究—提素养 34 考点探究—提素养 35 求函数解析式的常用方法 配凑法 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法 考点探究—提素养 36 考点探究—提素养 37 7.已知函数f(x2＋1)＝x4，则函数y＝f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝(x－1)2，x≥0 B．f(x)＝(x－1)2，x≥1 C．f(x)＝(x＋1)2，x≥0 D．f(x)＝(x＋1)2，x≥1 解析：因为f(x2＋1)＝x4＝(x2＋1)2－2(x2＋1)＋1，且x2＋1≥1，所以f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x≥1.故选B. 考点探究—提素养 38 8．已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，则f(x)的解析式为______________ ______________. f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1 考点探究—提素养 39 9．已知f(x6)＝log2x，则f(x)＝________． 考点探究—提素养 40 考点探究—提素养 41 分段函数(多考向探究) 考向1　分段函数求值问题 解析：f(f(－2))＝f(3－2)＝log33－2＝－2. －2 考点探究—提素养 42 “分段函数——分段看”，遇到分段函数要时刻盯住自变量的范围，并根据自变量的范围选择合适的解析式代入，若自变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论．解题思路如下： (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 考点探究—提素养 43 解析：∵g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.故选B. 考点探究—提素养 44 考点探究—提素养 45 (0，＋∞) 考点探究—提素养 46 求解分段函数与方程、不等式问题的解题思路 (1)分类讨论，先在分段函数每一段上分别求解，并与该段自变量的取值范围取交集，最后将各段的结果取并集． (2)若分段函数每一段的解析式便于作图，则作出分段函数的图象，通过数形结合求解． 考点探究—提素养 47 考点探究—提素养 48 考点探究—提素养 49 0(答案不唯一) 1 考点探究—提素养 50 考点探究—提素养 51 当分段函数中的分段点含有参数时，分段函数的间断点是随着参数的变化而变化的，其动态模型不易建立，解决此类问题的最好方法是先不考虑分段点，将各段函数的完整图象绘制在同一个坐标系中，再取一些特殊的参数值作为分段点来辅助分析，建立数形结合分析问题的模型． 考点探究—提素养 52 考点探究—提素养 53 考点探究—提素养 54 课时作业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ 考向 函数的定义域、 值域 函数的概念　 函数的定义域 函数的概念　 函数的定义域、 值域 函数的 定义域 分段 函数 分段 函数 函数的概念 考点 具体函数的定义域、值域 函数的概念的理解 具体函数的定义域 同一个函数的判断 抽象函数的定义域、值域 由函数的定义域求参数的取值范围 分段函数求值问题 动态分段点 问题 函数的概念的理解 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 56 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 难度 ★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 函数的解析式 分段 函数 函数的定义域 函数的概念 分段函数 分段 函数 函数的概念 函数的解析式 分段函数 考点 配凑法求函数的解析式 分段函数求值问题 具体函数的定义域 函数求值问题 分段函数与方程、不等式 问题 分段函数与不等式 问题 函数新定义 问题 待定系数法求函数的解析式 分段函数求值问题 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 57 解析：由题设，得M＝{x|x≥1，或x≤－1}，N＝{y|y≤0}，所以M∩N＝(－∞，－1].故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 58 2．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　) 解析：根据函数的定义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足．故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 59 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 60 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 61 5．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，那么函数f(x＋2)的定义域和值域分别是(　　) A．[0，1]，[1，2] B．[2，3]，[3，4] C．[－2，－1]，[1，2] D．[－1，2]，[3，4] 解析：令x＋2∈[0，1]，得x∈[－2，－1]，即为函数y＝f(x＋2)的定义域，而将函数y＝f(x)的图象向左平移2个单位长度即得y＝f(x＋2)的图象，故其值域不变．故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 63 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 65 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 66 二、多项选择题 9．下列对应关系f满足函数定义的是(　　) A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x C．f(cosx)＝x D．f(ex)＝x 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 67 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 68 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 69 [－4，1)∪(1，4] 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 70 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 71 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 72 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 73 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 74 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 75 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 76 17．(多选)(2025·云南昆明联考)已知定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y满足f(x＋f(x＋y))＋f(xy)＝x＋f(x＋y)＋yf(x)，下列说法正确的是(　　) A．若f(x)为一次函数，则f(0)＝0 B．若f(x)为一次函数，则f(1)＝1 C．若f(x)不是一次函数且f(0)＝0，则f(－1)＝－1 D．若f(x)不是一次函数且f(0)＝0，则f(1)＝1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 77 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 78 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 79 　　　　　　　　　　　　　 R 5．常见函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于0. (2)偶次根式函数的被开方式非负． (3)零次幂的底数不能为0. (4)对数函数中，真数大于0. (5)正切函数y＝tanx中，x≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)． 题组一　走出误区——判一判 (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　) (3)f(x)＝eq \f(x,x)，h(x)＝x0表示同一个函数．(　　) (4)若A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的函数．(　　) (2)(人教A必修第一册复习参考题3 T7改编)设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x>10，,f（x＋5），x≤10，))则f(5)的值为(　　) A．16 B．18 C．21 D．24 (3)(人教A必修第一册3.1.1例3改编)下列函数中与函数y＝x(x∈R)是同一个函数的是(　　) A．y＝(eq \r(x))2 B．u＝eq \r(3,v3) C．y＝eq \r(x2) D．m＝eq \f(n2,n) 解析：对于A，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两函数的对应关系、定义域都相同，所以是同一个函数；对于C，y＝eq \r(x2)＝|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，x<0，,x，x≥0，))当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于D，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．故选B. (4)(人教B必修第一册3.1.1例1改编)函数f(x)＝eq \f(3x,x＋4)＋eq \r(16－x2)的定义域是________． (2)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1 B．f(x)＝x－1，g(x)＝eq \f(x2－1,x＋1) C．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0)) D．f(x)＝eq \r(－x3)，g(x)＝xeq \r(－x) 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x0与g(x)＝1 B．f(x)＝x与g(x)＝eq \f(x2,x) C．f(x)＝eq \r((x－2026)2)与g(x)＝x－2026 D．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))与g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0)) 解析：对于A，二者定义域不同，不是同一个函数；对于B，二者定义域不同，不是同一个函数；对于C，因为f(x)＝eq \r(（x－2026）2)＝|x－2026|与g(x)＝x－2026的对应关系不同，故二者不是同一个函数；对于D，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))与f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,－1，x<0))的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一个函数．故选D. (1)函数y＝eq \r(lg x)＋lg (5－3x)的定义域是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))) 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,lg x≥0，,5－3x>0，))得1≤x<eq \f(5,3)，故所求函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).故选C. (2)已知函数f(x)＝eq \f(3x－1,ax2＋ax－3)的定义域是R，则实数a的取值范围是_________． 3.函数f(x)＝eq \f(1,x－1)＋eq \r(2－x)的定义域是_________________． 解析：由已知，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,2－x≥0，))解得x≤2且x≠1，即函数f(x)＝eq \f(1,x－1)＋eq \r(2－x)的定义域是(－∞，1)∪(1，2]． 4．若函数y＝eq \r(x2＋2x＋a)＋ln (x＋2)的定义域为[1，＋∞)，则a＝_______． 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a≥0，,x＋2>0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋a≥0，,x>－2，))则上式的解集为[1，＋∞)，所以x＝1为方程x2＋2x＋a＝0的一个根，即1＋2＋a＝0，解得a＝－3.经检验符合题意，故a＝－3. 解：(1)由1≤2x＋1≤2，得0≤x≤eq \f(1,2)，所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))). (2)因为y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2， 所以3≤2x＋1≤5，即函数f(x)的定义域为[3，5]． (3)因为函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，所以3≤2x＋1≤5. 由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，所以函数y＝f(2x－1)的定义域为[2，3]． 6．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝eq \f(f（2x）,x－1)的定义域为_______． 解析：由题意，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤2x≤2，,x－1≠0，))解得0≤x<1，所以函数g(x)的定义域是[0，1)． (3)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)解法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝eq \f(t－1,2)， 所以f(t)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))eq \s\up12(2)－6·eq \f(t－1,2)＋5＝t2－5t＋9(t∈R)， 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 解法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． 解法三(待定系数法)：易知f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝－6，,a＋b＋c＝5，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－5，,c＝9，)) 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)． (2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2). 所以f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R. (3)(配凑法)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))－2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(2)－2， 所以f(x)＝x2－2(|x|≥2)． (4)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝3x，① 所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 换元法 主要用于解决已知复合函数f(g(x))的解析式，求解函数f(x)的解析式的问题，先令g(x)＝t解出x并用含t的代数式表示x，然后代入f(x)中即可求得f(t)，从而求得f(x)，要注意新元的取值范围 解方程组法 已知关于f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1. 解析：令x6＝t，t>0，则x＝teq \s\up7(\f(1,6))，则f(t)＝log2teq \s\up7(\f(1,6))＝eq \f(1,6)log2t，故f(x)＝eq \f(1,6)log2x. eq \f(1,6)log2x 10．(2025·河北衡水中学高三模拟)设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2026,x)))＝3x，则f(x)＝___________． 解析：∵f(x)＋2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2026,x)))＝3x，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2026,x)))＋2f(x)＝eq \f(3×2026,x)，联立，得－3f(x)＝3x－eq \f(3×2×2026,x)，∴f(x)＝－x＋eq \f(4052,x). －x＋eq \f(4052,x) eq \a\vs4\al()已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,log3x，x>0，))则f(f(－2))＝________． 11.设f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))则f(g(π))的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．π 考向2　分段函数与方程、不等式问题 (1)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　) A．2 B.eq \r(2) C．1 D．0 解析：由题意，知a－3≤0，a＋2>0，所以a－3＋3＝eq \r(a＋2)，即a2＝a＋2且a≥0，解得a＝2，所以f(a)＝f(2)＝eq \r(2).故选B. (2)(2025·河北廊坊部分重点高中调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0，,0，x<0，))则满足f(x－1) <f(2x)的x的取值范围是________． 解析：解法一：由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1<0，,2x>0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,2x>0，,x－1<2x，))解得0<x<1或x≥1.故x的取值范围是(0，＋∞)． 解法二：画出函数f(x)的图象，由图可知，要使f(x－1) <f(2x)，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x>0，,2x>x－1，))解得x>0，故x的取值范围是(0，＋∞)． 解析：当a>0时，1－a<1，1＋a>1，所以2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－eq \f(3,2)<0，舍去；当a<0时，1－a>1，1＋a<1，所以－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－eq \f(3,4)<0.故a的值为－eq \f(3,4). 12.已知实数a≠0，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝ f(1＋a)，则a的值为________． －eq \f(3,4) 13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x>0，))则满足f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))>1的x的取值范围是_____________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)) 解析：当x>eq \f(1,2)时，2x＋2 x－eq \s\up7(\f(1,2))>1恒成立，即x>eq \f(1,2)符合题意；当0<x≤eq \f(1,2)时，2x＋x－eq \f(1,2)＋1>1恒成立，即0<x≤eq \f(1,2)符合题意；当x≤0时，由题意，得x＋1＋x－eq \f(1,2)＋1>1，解得x>－eq \f(1,4)，即－eq \f(1,4)<x≤0.综上所述，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)). 考向3　动态分段点问题 设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ax＋1，x<a，,（x－2）2，x≥a.))若f(x)存在最小值，则a的一个取值为_________________，a的最大值为______． 解析：若a＝0，则f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x<0，,（x－2）2，x≥0，))∴f(x)min＝0；若a<0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求；若a>0，当x<a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)>f(a)＝－a2＋1，当x>a时，f(x)min＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0<a<2，,（a－2）2，a≥2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜2，,－a2＋1≥0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥2，,－a2＋1≥（a－2）2，))解得0<a≤1.综上可得，0≤a≤1.故a的一个取值为0(答案不唯一)，a的最大值为1. 14.(2025·四川成都蓉城名校联考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x<t，,x，x≥t，))若存在m使得关于x的方程f(x)＝m有两个不同的根，则t的取值范围为(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：由函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x<t，,x，x≥t，))可得函数y＝f(x)在(－∞，t)和[t，＋∞)上为增函数，当x<t时，f(x)max→t3，当x≥t时，f(x)min＝t，若存在m使得关于x的方程f(x)＝m有两个不同的根，只需t3>t，解得－1<t<0或t>1，所以t的取值范围为(－1，0)∪ (1，＋∞)．故选B. 一、单项选择题 1．若M＝{x|y＝eq \r(x2－1)}，N＝{y|y＝－x2}，则M∩N＝(　　) A．(－∞，－1] B．[－1，0] C．(－∞，0] D．[0，1] 3．函数f(x)＝eq \f(\r(3－x),lg x)的定义域是(　　) A．(0，3) B．(0，1)∪(1，3) C．(0，3] D．(0，1)∪(1，3] 解析：∵f(x)＝eq \f(\r(3－x),lg x)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x>0，,lg x≠0，))解得0<x<1或1<x≤3，故函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，3]．故选D. 4．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝eln x，g(x)＝x B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2 C．f(x)＝eq \f(sin2x,2cosx)，g(x)＝sinx D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2) 解析：对于A，f(x)的定义域是(0，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；对于C，f(x)的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，g(x)的定义域是R，故不是同一个函数；D中的函数是同一个函数．故选D. 6．已知函数f(x)＝eq \r(（m＋1）x2－（m＋1）x＋\f(3,4))的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－1，2] C．[－1，2] D．[－1，2) 解析：由题意，得(m＋1)x2－(m＋1)x＋eq \f(3,4)≥0在R上恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，eq \f(3,4)≥0恒成立，符合题意；当m＋1≠0时，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1>0，,Δ＝(m＋1)2－3(m＋1)≤0，))解得－1<m≤2.综上，实数m的取值范围是[－1，2]．故选C. 7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－1，x<0，,－log2（x＋1），x≥0，))若f(a)＝1，则f(a＋1)＝(　　) A．－1 B．－eq \f(1,2) C．0 D．1 解析：当a<0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(a)－1＝1，解得a＝－1；当a≥0时，－log2(a＋1)＝1，解得a＝－eq \f(1,2)(舍去)，故f(a＋1)＝f(0)＝－log21＝0.故选C. 8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x≤0，,（x－2）2，0<x≤a))的定义域和值域的交集为空集，则正数a的取值范围是(　　) A．(0，1] B．(0，1) C．(1，4) D．(2，4) 解析：因为f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x≤0，,（x－2）2，0<x≤a，))所以f(x)的定义域为(－∞，a]，a>0，当x≤0时，f(x)∈(3，4]．要使函数f(x)的定义域和值域的交集为空集，显然0<a≤3，当0<x≤a时，f(x)＝(x－2)2，若a≥2，则f(2)＝0，此时显然不满足函数f(x)的定义域和值域的交集为空集，若0<a<2，f(x)∈[(a－2)2，4)，则f(x)∈[(a－2)2，4)∪(3，4]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<(a－2)2，,0<a<2，))解得0<a<1，即正数a的取值范围为(0，1)．故选B. 解析：对于A，令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±eq \r(t)|＝eq \r(t)，符合函数定义；对于B，令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±eq \r(t)，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；对于C，设t＝cosx，当t＝eq \f(1,2)时，x可以取eq \f(π,3)，－eq \f(π,3)等无数多的值，不符合函数定义；对于D，令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，符合函数定义．故选AD. 10．已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，则(　　) A．f(eq \r(2))＝1 B．f(x)＝x2－1(x∈R) C．f(x)的最小值为－1 D．f(2x－3)的定义域为[2，＋∞) 解析：依题意，得f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＝(eq \r(x)＋1)2－1，则f(x)＝x2－1，x≥1，B错误；f(eq \r(2))＝2－1＝1，A正确；当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，C错误；在f(2x－3)中，令2x－3≥1，得x≥2，因此f(2x－3)的定义域为[2，＋∞)，D正确．故选AD. 11．函数D(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∉Q))被称为狄利克雷函数，则下列结论正确的是(　　) A．函数D(x)的值域为[0，1] B．若D(x0)＝1，则D(x0＋1)＝1 C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈Q D．∃x∈R，D(x＋eq \r(2))＝1 解析：函数D(x)的值域为{0，1}，A错误；若D(x0)＝1，则x0∈Q，x0＋1∈Q，则D(x0＋1)＝1，B正确；D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π∉Q，C错误；当x＝－eq \r(2)时，D(x＋eq \r(2))＝D(－eq \r(2)＋eq \r(2))＝D(0)＝1，则∃x∈R，D(x＋eq \r(2))＝1，D正确．故选BD. 三、填空题 12．(2025·四川南充模拟)函数f(x)＝eq \f(\r(16－x2),x－1)的定义域为__________________． 解析：因为f(x)＝eq \f(\r(16－x2),x－1)，所以16－x2≥0且x－1≠0，解得－4≤x≤4且x≠1，故函数f(x)的定义域为[－4，1)∪(1，4]． 13．已知函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋eq \f(1,x)f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝_____． 解析：令x＝2，得feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋eq \f(1,2)f(－2)＝4，令x＝－eq \f(1,2)，得f(－2)－2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1，解得f(－2)＝eq \f(7,2). eq \f(7,2) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(6),2))) 14．已知a>0，且a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga（2x2＋1），x≥0，,ax，x<0，))若f(f(－1))＝2，则a＝______，f(x)≤4的解集为____________． 解析：由题可知，f(f(－1))＝f(a－1)＝loga(2a－2＋1)＝2，则a2＝2a－2＋1，即a4－a2－2＝0，解得a2＝2，故a＝eq \r(2).当x≥0时，由f(x)＝logeq \r(2)(2x2＋1)≤4，解得0≤x≤eq \f(\r(6),2)，当x<0时，f(x)＝(eq \r(2))x≤4恒成立．故不等式f(x)≤4的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(6),2))). eq \r(2) 15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－a，x≥0，,0，x＜0，))则满足f(a)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))的a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞)) B．(－∞，－1]∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2)))∪(1，＋∞) 解析：当a＜0时，f(a)＝0，－eq \f(a,3)＋eq \f(1,6)＞eq \f(1,6)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))eq \s\up12(2)－a＝eq \f(a2,9)－eq \f(10,9)a＋eq \f(1,36)＝eq \f(1,9)(a－5)2－eq \f(11,4)＞eq \f(1,36)，故f(a)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))无解；当a＝0时，f(a)＝f(0)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))＝eq \f(1,36)，故f(a)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))无解；当a＞0时，要使f(a)＞feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))，则有两种情况：第一种情况， －eq \f(a,3)＋eq \f(1,6)≥0，即0＜a≤eq \f(1,2)时，由于函数y＝x2－a在[0，＋∞)上单调递增，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a≤\f(1,2)，,a＞－\f(a,3)＋\f(1,6)，))解得eq \f(1,8)＜a≤eq \f(1,2)；第二种情况，－eq \f(a,3)＋eq \f(1,6)＜0，即a＞eq \f(1,2)时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)＋\f(1,6)))＝0，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,2)，,f（a）＝a2－a＞0，))解得a＞1.综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,2)))∪(1，＋∞)．故选D. 16．(2025·湖南岳阳模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数．下列为“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝－eq \f(1,x) B．g(x)＝x2－x＋3 C．h(x)＝eq \r(x2＋4)＋x＋3 D．φ(x)＝eq \f(1,x)－x 解析：依题意得，若存在x，使得f(x)＝x成立，则函数f(x)为“不动点”函数．对于A，令f(x)＝－eq \f(1,x)＝x，可得x2＝－1，该方程无解，所以f(x)不是“不动点”函数，A不符合题意；对于B，令g(x)＝x2－x＋3＝x，即x2－2x＋3＝0，由Δ＝4－12＝ －8<0可得，该方程无解，所以g(x)不是“不动点”函数，B不符合题意；对于C，令h(x)＝eq \r(x2＋4)＋x＋3＝x，得eq \r(x2＋4)＋3＝0，显然eq \r(x2＋4)＝－3无解，所以h(x)不是“不动点”函数，C不符合题意；对于D，令φ(x)＝eq \f(1,x)－x＝x，得x＝±eq \f(\r(2),2)，所以φ(x)为“不动点”函数，D符合题意．故选D. 解析：若f(x)为一次函数，令f(x)＝ax＋b，则f(x＋f(x＋y))＋f(xy)＝f(x＋a(x＋y)＋b)＋f(xy)＝ax＋a2x＋a2y＋ab＋b＋axy＋b，x＋f(x＋y)＋yf(x)＝x＋a(x＋y)＋b＋axy＋by，因为f(x＋f(x＋y))＋f(xy)＝x＋f(x＋y)＋yf(x)，所以a2x＋a2y＋(a＋1)b＝x＋(a＋b)y，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a2＝a＋b，,（a＋1）b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，))当a＝1，b＝0时，f(x)＝x；当a＝－1，b＝2时，f(x)＝2－x，所以当f(x)为一次函数时，f(0)＝0或f(0)＝2，所以A不正确；令x＝1，可得f(1)＝1，所以B正确；令y＝1，则f(x＋f(x＋1))＝x＋f(x＋1)，因为f(0)＝0，令x＝－1，所以f(－1)＝－1，所以C正确；令y＝－1，则f(x＋f(x－1))＋f(－x)＝x＋f(x－1)－f(x)，由f(0)＝0，令x＝1，所以f(1)＝1，故D正确．故选BCD. 18．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋a，－1＜x＜0，,be2x，0≤x≤1，))其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则eq \f(a,b)的取值范围为___________. 解析：因为f(x＋2)＝eq \r(2)f(x)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋4))＝(eq \r(2))2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2eb，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝eq \r(2)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq \r(2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋a))＝eq \r(2)(a－1)，因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，所以eq \r(2)(a－1)＝2eb，所以a＝eq \r(2)eb＋1，因为b为正实数，所以eq \f(a,b)＝eq \f(\r(2)eb＋1,b)＝eq \r(2)e＋eq \f(1,b)∈(eq \r(2)e，＋∞)．故eq \f(a,b)的取值范围为(eq \r(2)e，＋∞)． (eq \r(2)e，＋∞) $$