第1章 第1节 集合-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（基础版）

第一章　集合与常用逻辑用语 第一节　集合 课标解读 考向预测 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、符号语言刻画集合. 2.理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义. 3.理解集合之间的交、并、补的含义，能求两个集合的并集与交集，能求给定子集的补集. 4.能使用Venn图表达集合之间的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 集合是高考必考内容，重点考查集合的基本运算，以小题形式出现，难度较低.2026年备考仍以小题为主训练，在注重集合概念的基础上，牢固掌握集合的基本关系与运算，适当加强与函数、不等式等知识的联系，借助数轴和Venn图等工具解决相关问题. 必备知识—强基础 考点探究—提素养 课时作业 目录 必备知识—强基础 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：_________、_________、_________． (2)元素与集合的关系：如果a是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作_______． (3)集合的三种表示方法：________、________、图示法． (4)常用数集及记法 确定性 互异性 无序性 属于 a∈A 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 _____ ________ _____ _____ _____ 不属于 a∉A 列举法 描述法 N*或N＋ N Z Q R 必备知识—强基础 5 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中______一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作A____B(或B_____A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A____B(或B____A)． (3)相等：若A⊆B，且B____A，则A＝B. (4)空集：不含________的集合，记为____．规定：___________________． 任意 ⊆ ⊇ 存在   ⊆ 任何元素 ∅ 空集是任何集合的子集 必备知识—强基础 6 运算 自然语言 符号语言 Venn图 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝_________ _________ 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝_________ __________ 补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝__________ ________ 3．集合的基本运算 {x|x∈A， {x|x∈A， {x|x∈U， 或x∈B} 且x∈B} 且x∉A} 必备知识—强基础 7 必备知识—强基础 8 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3．集合元素个数公式：若用card表示有限集中元素的个数，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)． 必备知识—强基础 9 √ × √ 必备知识—强基础 10 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A必修第一册习题1.2 T1改编)若集合M＝{x|x3＝x}，N＝{x|x2＝1}，则下列式子正确的是(　　) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ 必备知识—强基础 11 (2)(人教B必修第一册1.1.2练习B T1改编)已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．8 D．7 必备知识—强基础 12 (3)(人教B必修第一册习题1－1B T7改编)已知全集U＝R，集合A＝{－2， －1，1，2，4，6}，B＝{－2，1，2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．{－2，1，2} B．{－1，4，6} C．{3，5} D．{－2，－1，1，2，3，4，6} 解析：由图可知阴影部分表示的是A∩B，又A∩B＝{－2，1，2}，故阴影部分表示的集合是{－2，1，2}．故选A. 必备知识—强基础 13 (4)(人教A必修第一册习题1.3 T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝__________________，(∁RA)∩B＝_____________ _____________． {x|x≤2，或x≥10} {x|2＜x＜3， 或7≤x＜10} 必备知识—强基础 14 考点探究—提素养 集合的基本概念 (1)下列说法正确的是(　　) A．10以内的素数集合是{1，3，5，7} B．0与{0}表示同一个集合 C．方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} D．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} 解析：10以内的素数有2，3，5，7，A错误；0是集合{0}中的一个元素，B错误；由集合中元素的互异性可知，C错误；由集合中元素的无序性可知，D正确．故选D. 考点探究—提素养 16 (2)若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________． 解析：①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}；②当2a－1＝－3时，a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，舍去；③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2，1，－3}．综上，a＝0或1. 0或1 考点探究—提素养 17 解答与集合中元素有关的问题的三个关键点 考点探究—提素养 18 1.已知集合A＝{x∈R|x2＋a>0}，且2∉A，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤4} B．{a|a≥4} C．{a|a≤－4} D．{a|a≥－4} 解析：由题意可得22＋a≤0，解得a≤－4.故选C. 考点探究—提素养 19 {2，4，5} 考点探究—提素养 20 2 考点探究—提素养 21 集合间的基本关系 考点探究—提素养 22 解析：因为A⊆B，所以a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝2或a＝1.若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B. 考点探究—提素养 23 1．判断集合间关系的三种方法 (1)用列举法表示集合，从元素中寻找关系． (2)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系． (3)利用数轴，在数轴上表示出两个集合(集合为数集)，从而确定集合与集合的关系． 2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以把端点值代入进行验证，以免增解或漏解． 　　　空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情况，否则易造成漏解． 考点探究—提素养 24 　　　　　4.设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是(　　) A．M＝P B．P∈M C．MP D．PM 解析：因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，所以PM. 考点探究—提素养 25 5．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为___________． (－∞，3] 考点探究—提素养 26 集合的基本运算(多考向探究) 考向1　集合间的交、并、补运算 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 考点探究—提素养 27 考点探究—提素养 28 解决集合运算问题的三个技巧 看元素构成 集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键 对集合化简 有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决 应用数形 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；连续型数集的运算常借助数轴求解 考点探究—提素养 29 6.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．2 解析：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C. 考点探究—提素养 30 7．设全集U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪(∁UM) C．∁U(M∩N) D．M∪(∁UN) 解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪(∁UM)＝{x|x>－1}，B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，C错误；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪(∁UN)＝{x|x<1，或x≥2}，D错误．故选A. 考点探究—提素养 31 考向2　利用集合的运算求参数 已知集合A＝{x∈Z|－1<x<3}，B＝{x|3x－a<0}，且A∩(∁RB)＝{1，2}，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，4) B．(0，4] C．(0，3] D．(0，3) 考点探究—提素养 32 利用集合的运算求参数的方法 确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“＝”，另外千万不要忘记考虑空集． 考点探究—提素养 33 8.(2025·湖北武汉模拟)设集合A＝{x||x－a|<1}，B＝{x|1<x<5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是__________________． 解析：因为A＝{x||x－a|＜1}＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝{x|1＜x＜5}，要使得A∩B＝∅，需满足a－1≥5或a＋1≤1，解得a≤0或a≥6，故实数a的取值范围是{a|a≤0，或a≥6}． {a|a≤0，或a≥6} 考点探究—提素养 34 集合新定义 (多选)(2025·河南安阳模拟)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续两千多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．下列结论中可能正确的是(　　) A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}是一个戴德金分割 B．M中没有最大元素，N中有一个最小元素 C．M中有一个最大元素，N中有一个最小元素 D．M中没有最大元素，N中也没有最小元素 考点探究—提素养 35 考点探究—提素养 36 　　　　　　解决集合新定义问题的两个策略 紧扣新定义 先分析新定义的特点，常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，是解答新定义问题的关键所在 用好集合性质 集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础和突破口，在解题时，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件，在关键之处用好集合的性质 考点探究—提素养 37 考点探究—提素养 38 考点探究—提素养 39 课时作业 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考向 集合的基本运算 集合的基本运算 集合的 基本运算 集合的 基本运算 集合的 基本运算 集合的 基本运算 集合的 基本运算 考点 并集运算 交集运算 交集运算；元素与集合的关系 并集运算；已知集合间的关系求集合 并集、补集运算 交集运算；计算真子集的个数 根据并集结果求参数的取值范围 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 41 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ ★ 考向 Venn图的实际应用 集合间的 关系与运算 集合的 基本运算 集合间的 关系与运算 集合间的基本关系 集合的 基本运算 集合的 基本运算 考点 子集；并集、补集运算 交集、并集运算 子集；交集、并集、补集运算 计算子集的个数 根据交集结果求并集 根据交集结果求参数最值 题号 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 集合的 基本运算 集合间的基本关系 Venn图的实际应用 集合间的基本关系 集合的 新定义 集合的 新定义 考点 交集运算 根据集合的包含关系求集合的个数 根据集合的包含关系求参数的取值范围 元素与集合的关系 空集；补集 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 42 一、单项选择题 1．(2024·北京高考)已知集合M＝{x|－4<x≤1}，N＝{x|－1<x<3}，则M∪N＝(　　) A．{x|－4<x<3} B．{x|－1<x≤1} C．{0，1，2} D．{x|－1<x<4} 解析：由题意，得M∪N＝{x|－4<x<3}．故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 43 2．(2024·全国甲卷)若集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{1，2，9} 解析：依题意，得对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x＝0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，所以A∩B＝{1，2，3，4}．故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 44 3．(2025·河北保定高三期末)若集合A＝{x|0<x＋1<3}，B＝{x|x2＋x＝0}，则(　　) A．－1∈(A∩B) B．0∈(A∩B) C．B⊆A D．A∩B＝∅ 解析：因为A＝{x|0<x＋1<3}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0}，所以B⊆A不成立，A∩B＝{0}≠∅，则－1∉(A∩B)，0∈(A∩B)，故A，C，D错误，B正确．故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 45 4．(2025·江苏扬州宝应县安宜高级中学高三期末)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，且A∪B＝B，则集合B可以是(　　) A．{1，2，3，4} B．{x|x2>1} C．{x|2x>1} D．{x|log2(x－2)<2} 解析：因为A∪B＝B，所以A⊆B.A中集合{1，2，3，4}显然不符合题意；B中集合为{x|x2>1}＝{x|x<－1，或x>1}，不符合题意；C中集合为{x|2x>1＝20}＝{x|x>0}，符合题意；D中集合为{x|log2(x－2)<2＝log24}＝{x|0<x－2<4}＝{x|2<x<6}，不符合题意．故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 5．设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 47 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 48 7．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：因为A＝{x|x2－2x>0}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝R，所以a<0.故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 49 8．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每名学生都参加除草、植树两项劳动．依据劳动表现，评定为“优秀”“合格”两个等级，结果如下表： 若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为(　　) A．5 　　　　　 B．10　　　　　　C．15 　　　　D．20 等级 项目 优秀 合格 合计 除草 30 15 45 植树 20 25 45 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 50 解析：用集合A表示除草优秀的学生，集合B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁UA表示除草合格的学生，∁UB表示植树合格的学生，作出Venn图，如图．设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都合格的人数为y，由图可得20－x＋x＋30－x＋y＝45，即x＝y＋5，因为ymax＝10，所以xmax＝10＋5＝15.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 51 二、多项选择题 9．已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝∅，则(　　) A．A⊆∁RB B．∁RA⊆B C．A∪B＝R D．(∁RA)∪(∁RB)＝R 解析：如图，根据Venn图可得A⊆∁RB，故A正确；由于B⊆∁RA，故B错误；A∪B⊆R，故C错误；(∁RA)∪(∁RB)＝∁R(A∩B)＝R，故D正确．故选AD. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 52 10．(2025·河北邢台高三质检)设集合A＝{x|x2－x≤6}，B＝{xy|x∈A，y∈A}，则(　　) A．A∩B＝B B．B∩Z的元素个数为16 C．A∪B＝B D．A∩Z的子集个数为64 解析：对于A，B，C，因为A＝{x|x2－x≤6}＝{x|－2≤x≤3}，所以B＝{xy|x∈A，y∈A}＝{x|－6≤x≤9}，即A⊆B，所以A∩B＝A，A∪B＝B，B∩Z有6＋1＋9＝16个元素，故A错误，B，C正确；对于D，A∩Z有2＋1＋3＝6个元素，所以A∩Z的子集个数为26＝64，故D正确．故选BCD. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 53 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 54 8 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 55 13．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝_______________． {－5，－2，4} 解析：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2，4}；若m－3＝－2，则m＝1，∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，∴A∩B＝{1，－2}(舍去)．综上，A∪B＝{－5，－2，4}． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 56 14．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 5 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 57 15．已知A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，M＝A∩B，则M中元素的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 58 16．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}，B＝{x∈N|0<x<5}＝{1，2，3，4}．因为A⊆C⊆B，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合{3，4}的子集个数，即有22＝4个．故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 59 17．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记A＝{x|x是听了数学讲座的学生}，B＝{x|x是听了历史讲座的学生}，C＝{x|x是听了音乐讲座的学生}．用card(M)来表示有限集合M中元素的个数，若card(A∩B)＝17，card(A∩C)＝12，card(B∩C)＝9，A∩B∩C＝∅，则(　　) A．card(A∪B)＝143 B．card(A∪B∪C)＝166 C．card(B∪C)＝129 D．card(A∩B∩C)＝38 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 60 解析：将已知条件用Venn图表示出来如图，对于A， card(A∪B)＝46＋42＋17＋12＋9＝126，故A错误；对于B，card(A∪B∪C)＝46＋42＋40＋17＋12＋9＝166，故B正确；对于C，card(B∪C)＝42＋40＋17＋12＋9＝120，故C错误；对于D，card(A∩B∩C)＝0，故D错误．故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 63 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 65 20．已知集合U＝{1，2，…，n}(n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝∅，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)，那么f(n)＝_________________． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 66 　　　　　　　　　　　　　 R 4.集合的运算性质 (1)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)并集的性质：A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)补集的性质：A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题组一　走出误区——判一判 (1)eq \f(1,3)∈Q.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　　) 2．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,6－x)∈N))))，则用列举法表示集合A＝___________． 解析：由eq \f(8,6－x)∈N，得6－x可取1，2，4，8，即x可取5，4，2，－2，又x∈N，故A＝{2，4，5}． 3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则a2026＋b2026＝________． 解析：由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，所以a＋b＝0，则eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2026＋b2026＝1＋1＝2. (1)(2025·江苏南通模拟)已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))))，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ 解析：M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝k＋\f(1,2)，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋1,2)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋1，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋2,2)，k∈Z))))，因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，k＋2，k∈Z表示所有的整数，所以M⊆N.故选A. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C．eq \f(2,3) D．－1 解析：∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若B≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.综上，实数m的取值范围为(－∞，3]． 解析：因为A＝{x|－eq \r(3,5)<x<eq \r(3,5)}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且1<eq \r(3,5)<2，所以A∩B＝{－1，0}．故选A. (2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|eq \r(x)∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|eq \r(x)∈A}，所以B＝{1，4，9，16，25，81}，则A∩B＝{1，4，9}，∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 解析：由集合A＝{x∈Z|－1<x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|3x－a<0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(a,3)))))，可得∁RB＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(a,3)))))，因为A∩(∁RB)＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，所以0<eq \f(a,3)≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0，3]．故选C. 解析：对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，所以M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，设M＝{x|x<0，x∈Q}，N＝{x|x≥0，x∈Q}，满足戴德金分割，此时M中没有最大元素，N中有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M中有一个最大元素，N中有一个最小元素，则不能同时满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x|x<eq \r(2)，x∈Q}，N＝{x|x≥eq \r(2)，x∈Q}，满足戴德金分割，此时M中没有最大元素，N中也没有最小元素，故D正确．故选BD. 9．(2025·黑龙江佳木斯调研)十九世纪下半叶集合论的创立奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))，记为第一次操作；再将剩下的两个区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第四个区间为(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,27)，\f(1,9))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(25,27))) 解析：第一次操作剩下：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))；第二次操作剩下：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(1,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，1))；第三次操作剩下：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,27)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,27)，\f(1,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,9)，\f(7,27)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，\f(1,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(19,27)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(20,27)，\f(7,9)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,9)，\f(25,27)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(26,27)，1))，即从左到右第四个区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,27)，\f(1,3))).故选C. 6．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝eq \r(x)}，则A∩B的真子集个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝\r(x)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴A∩B＝{(0，0)，(1，1)}，即A∩B有2个元素，∴A∩B的真子集个数为22－1＝3.故选C. 11．若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))，则下列结论正确的是(　　) A．A∪B＝B B．∁RB⊆∁RA C．A∩B＝∅ D．∁RA⊆∁RB 解析：因为A＝{x|sin2x＝1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))))＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，显然集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))))⊆eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))))，所以A⊆B，则A∪B＝B，所以A正确；∁RB⊆∁RA，所以B正确，D错误；A∩B＝A，所以C错误．故选AB. 三、填空题 12．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(6,x－1)∈N，x∈A))))，则集合B的子集个数是__________． 解析：由eq \f(6,x－1)∈N，得x－1＝6，x－1＝3，x－1＝2，x－1＝1，且x∈A，故B＝{2，3，4}，则集合B的子集个数为23＝8. 解析：由A∩B＝A，得A⊆B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4≤m＋3，,－2≥－m＋3，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1，,m≥5，))即m≥5，故m的最小值为5. 解析：因为A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x2＋2y2＝1}，所以集合A是直线x＋y＝0上的点的集合，集合B是椭圆x2＋2y2＝1上的点的集合．因为M＝A∩B，所以若要求M中元素的个数，只需联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,x2＋2y2＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),3)，,y＝－\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)，,y＝\f(\r(3),3)，))即椭圆和直线有两个交点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，所以M中元素的个数是2.故选C. 18．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤a}，A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B．[1，＋∞) C．[eq \r(2)，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：集合A为圆x2＋y2＝1内部和圆周上的点集，集合B为直线x＋y＝a，x－y＝a，－x＋y＝a，x＋y＝－a围成的正方形内部和边上的点集，画出图象，如图所示．当直线EF与圆O相切时，设切点为C，连接OC.∵△EOF为等腰直角三角形，OE＝OF，∠EOF＝90°，OC⊥EF，∴OC为Rt△EOF斜边上的中线，∴OC＝eq \f(1,2)EF，即EF＝2OC＝2，∴OE＝OF＝eq \f(\r(2),2)EF＝eq \r(2)，此时a＝eq \r(2).∵A⊆B，即圆O在正方形内，∴a≥eq \r(2). 19．(多选)(2025·广东新改革适应性训练)设P是一个数集，且至少含有两个数．若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab∈P，且若b≠0，则eq \f(a,b)∈P，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列说法正确的是(　　) A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集Q⊆M，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 解析：因为P是一个数集，且至少含有两个数，所以P中必有一个非零实数．对于A，当a＝b≠0时，a－b＝0，eq \f(a,b)＝1∈P，故A正确；对于B，例如a＝1，b＝2，但eq \f(1,2)∉Z，不满足条件，故B错误；对于C，例如M＝Q∪{eq \r(2)}，取a＝1，b＝eq \r(2)，但1＋eq \r(2)∉M，所以数集M不是一个数域，故C错误；对于D，由A项分析可知，数域必含有0，1两个数，根据数域的性质可知，数域必含有0，1，2，3，…，必为无限集，故D正确．故选AD. eq \f(1,2)(3n－2n+1＋1) 解析：根据题意，任意一个元素只能在集合A，B，C＝∁U(A∪B)之一中，则这n个元素在集合A，B，C中共有3n种．其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，故可得A，B均为非空子集的种数为3n－2n＋1＋1，又因为(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，故f(n)＝eq \f(1,2)(3n－2n＋1＋1)． $$