第9章 高考解答题专项突破（5） 第1课时 定点、定值、定线问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 高考解答题专项突破（五） 圆锥曲线的综合问题 [考情分析]从近几年的新高考试题来看，解析几何是高考的重点，通常以一大两小的模式 命题.对解析几何大题的考查综合性较强、难度较大，通常作为两道压轴题之一，下面我们 重点讲解一下解析几何部分常考问题的解题方法. 第1课时 定点、定值、定线问题 考点白 定点问题 例1己知点A2,0,B在椭圆M:+=1(a>b>0)上 (1)求椭圆M的方程： (2)直线I与椭圆M交于C,D两个不同的点（异于A,B),过C作x轴的垂线分别交直线 AB,AD于点P,Q,当P是CQ的中点时，证明：直线I过定点. 解：(1)由题意知a=2,又椭圆经过B,代入可得×+×=1，解得b=1, 故椭圆M的方程为+y2=1. (2)证明：由题意知，当I⊥x轴时，不符合题意，故1的斜率存在，设直线1的方程为y=a +m, 联立 消去y,得(4K2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 则4=642m2-16(m2-1)(4K2+1)=16(42-m2+1)>0, 即42+1>m2. 设Cx,),D2,), 则+x2=,x2=. 直线AB的方程为y=(x-2), 令x=,得y=,所以P, 直线AD的方程为y=(x-2), 令x=,得y=2, 所以Q, 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由P是CQ的中点，得=片+， 即+=， 即(c1+m)x2-2)+(kx2+m)x1-2) =[x2-2(x1+x)+4], 即(1-4k)x32+(4k-2m-2)x1+x)+4+8m=0, 即4m2+(16k+8)m+16k2+16k=0, 所以(m+2k)(m+2k+2)=0, 得m=-2k-2或m=-2k 当m=-2k-2时，由42+1>m2, 得心-，符合题意； 当m=·2k时，直线/经过点A,与题意不符，舍去 所以直线1的方程为y=c-2k-2, 即y=kx-2)-2, 所以直线1过定点(2，-2). ·(名师点拨) 定点问题的解题策略 1.直接推理法求定点问题：探索直线过定点时，注意讨论直线的斜率是否存在，若直线的 斜率存在，可设直线方程为y=kx+m,然后利用条件建立m,k之间的等量关系，消元后借 助于直线系的思想找出定点， 2.逆推法求定点问题：先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊（或极端）位置猜 想，如直线的水平位置、竖直位置，即斜率k=0或斜率不存在时.找出定点，再证明该点 符合题意（运用斜率相等或者三点共线）或证明与变量无关， 变式圈1.已知定点4-1,0，F2,0,定直线：x=,不在x轴上的动点P与点F的 距离是它到直线/的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点，直 线AB,AC分别交I于点M,N (1)求E的方程： (2)试判断以线段MN为直径的圆是否过定点.若过定点，求出定点的坐标：若不过定点， 说明理由。 解：(I)设Px,y),依题意有=2，化简可得E的方程为2·=10≠0). (2)假设以线段MN为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x轴上， 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 若BCLx轴，不妨令B(2,3),则直线AB的方程为y=x+1, 所以点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，此时以MN为直径的圆的方程为+y=, 该圆与x轴交于点D(2,0)和D(-1,0).下面进行验证： 设直线BC的方程为x=my+2, 由 消去x,得(3m2-1y2+12my+9=0, 由题意，知3m2-1≠0，>0. 设Bx,C, 则为+=·，必=， 因为直线AB的方程为y=(x+I), 所以点M的坐标为， 同理可得，点N的坐标为. 因为D1M=,D1N=, 所以D1MD1N=+ =+ =+=0. 同理可得，D2MD2N=0. 所以以线段MN为直径的圆过定点(2,0)和(~1,0). 考点已 定值问题 例2已知椭圆C:十=1(a>b>0)的长轴的两个端点分别为A(一2,0)，B2,0),离心率为. ()求椭圆C的标准方程： (2)M为椭圆C上除A,B外任意一点，直线AM交直线x=4于点N,O为坐标原点，过点O 且与直线BN垂直的直线记为1，直线BM交y轴于点P,交直线1于点Q,求证：为定值. 解：(1)由已知，得a=2, 又e===,所以c=, 所以b==1, 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)证明：设M,),h≠0， 则+y=1,x+4y=4, 直线AM的方程为y=(x+2), 令x=4,得y=, 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 即N,kay==, 因为1LBN,所以k=-,直线1的方程为y=-x 因为直线BM的方程为y=G-2), 令x=0,得y=·,即P. 由及x+4y=4, 得，即Q. 所以===，为定值， ·《方法总结)· 定值问题的常见类型及解题策略 ()证明代数式为定值.依题设条件得出与代数式参数有关的等式，代入所求代数式，化简 得出定值 (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条 件化简、变形. (3)求某线段长度为定值.利用两点间距离公式求得表达式，再根据条件对其进行化简、变 形即可. (4)证明某角为定值.将角转化为斜率或向量的夹角进行求解. 变式训练 2.已知双曲线C:一=1(a>0,b>0)与双曲线一=1有相同的焦点，且C的一条 渐近线与直线x一2y+2=0平行. (1)求双曲线C的方程： (2)若直线I与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且1分别交双曲线C的两条渐近线于点 A,B,O为坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值，若是，求出定值：若不是，请说 明理由。 解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0), 由题意可得则 则双曲线C的方程为-y2=1。 (2)由于直线1与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），则直线1的斜率存在，设直线1的方程 为y=x+m, 由 得(4-1)x2+8kr+4m2+4=0, 则4=642m2-442-1)(4m2+4)=0,可得1-42=-m2. 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设I与x轴的交点为D, 则S△oa=S△op+S△aoD=ODy4-Jya=·krA-x=rA-x 又双曲线两条渐近线的方程为y=士x, 联立解得 不妨令A, 同理可得B, 则SAOg=x4-x=·=·=·=2, 所以△AOB的面积为定值2. 考点白 定线问题 例3(2023新课标Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一2,0），离心率为. ()求C的方程： (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点（一4,0）的直线与C的左支交于M,N两点，M在 第二象限，直线MA1与NA交于点P.证明：点P在定直线上 解：(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0), 由焦点坐标可知c=2, 则由e==可得a=2,b==4, 故C的方程为·=1. (2)证法一：由(1)可得A1(-2,0),A(2,0),设Mx,y),N2,), 显然直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4,且-<m<, 与-=1联立可得(4m2-1)y2-32my+48=0,且4=644m2+3)）>0, 则片+2=，2=， 直线MA,的方程为y=(x+2), 直线NA的方程为y=(x-2), 联立直线MA与直线NA:的方程可得， 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由=-可得x=·1,即xp=·1, 据此可得，点P在定直线x=·1上 证法二：由题意得A1(-2,0),A(2,0) 设Mx,),Nx,,直线MN的方程为x=my-4, 则-=1，即4x-y=16 如图，连接MA2, ka1k2=·===4.① 由-=1，得4x2-y2=16,4[x-2)+2-2=16, 4(x-2)2+16x-2)+16-y2=16,4x-2)2+16(x-2)-y2=0. 由x=my-4,得x-2=my-6,my-(x-2)=6,[my-(x-2)】=1. 4(x-2)}2+16(x-2)[my-(x-2]-y2=0,4x-2)y2+(x-2)my-x-2)}2-y2=0, 两边同时除以(x-2),得+··=0， 即-·=0 k2=,k2=, 由根与系数的关系得k2kv2=-,② 由①②可得k1=-3kw2 Ia1:y=k1(x+2)=-3kw2x+2), lx2:y=k2(-2). 由解得x=·1. 所以点P在定直线x=-1上， ·《名师点拨)· 定线问题的求解思路 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 定线问题是指因图形的变化或点的移动而产生的动点在定线上的问题.这类问题的核心在于 确定点的轨迹，一般先求出点的坐标，看横、纵坐标是否为定值，或者找出横、纵坐标的关 系 变式训练 3.如图，过抛物线y2=4r的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点， AM,AN,BC,BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M,N,C,D. (I)若矩形ANOM和矩形BDOC的面积分别为S,S,求SS的值： (2)求证：直线MN与直线CD的交点在定直线上. 解：(1)抛物线y2=4x的焦点F(1,0),显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=y+1, 由 消去x,整理得y2-4my-4=0. 设A(x1,),Bx2,, 则片+为=4m,y=-4, 矩形ANOM和矩形BDOC的面积分别为 S1=xy=,S2=x2以=， 所以SS2=·==4. (2)证明：由(1)得Mx,0),N0,y),C2,0),D0,, 于是得直线MN的方程为y=·x+,直线CD的方程为y=-x+, 由 消去y,整理得x=片·， 而-=-==-， 因此有x=I,即直线MN与直线CD的交点在直线x=1上. 所以直线MN与直线CD的交点在定直线x=1上， 课时作业 基础题（占比20%）中档题（占比50%）拔高题（占比30%） 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 定点问 定点问 考向 定值问题 定点问题 题：定线 题：定值 定值问题 定线问题 问题 问题 线段长乘 直线过定 向量数量 积为定值 角的大小 直线过定 点问题： 点在定直 考点 积为定值 问题：圆 为定值问 点问题 点在定直 线上问题 问题 过定点问 题 线上问题 愚 1.已知椭圆E:十=1(a心b>O)的左、右焦点分别为F,F,离心率e=,P为椭圆上一动点， △PF,F面积的最大值为2 (1)求椭圆E的方程： (2)若C,D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD,连接CM与椭圆交于 另一点N,O为坐标原点.证明：OMON为定值. 解：(1)当P为短轴端点时，△PF,F的面积最大， 即bc=2,故 解得a=2,b=c=, 故椭圆E的方程为+=1. (2)证明：由(1)知，C(-2,0):D2,0), 设直线CM:y=x+2),N(x,), 因为MD⊥CD,所以M2,4). 联立整理，得(22+1)x2+8kx+8k2-4=0, 由根与系数的关系，得-21=， 则x=,y=kx+2)=, 所以N, OMON=2×+4k×=4, 故OMON为定值4. 2.已知F是抛物线C:y2=2xp>0)的焦点，不过原点的动直线交抛物线C于A,B两点， M是线段AB的中点，点M在准线1上的射影为N,当AF=FB时，4M=2. (1)求抛物线C的方程： (2)当NANB=1时，求证：直线AB过定点. 解：(I)当AF=FB时，AB⊥x轴且AB过点F, 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 不妨设A在x轴上方，则A, 此时M,N, 因为MW=2,所以+p2=8, 解得p=2, 故抛物线C的方程为y2=4x (2)证明：当直线AB的斜率为0时，显然不符合题意： 当直线AB的斜率不为0时， 设直线AB:x=y+n,Mx,),A,B, 由化简，得y2-4my-4n=0, A=16(m2+n)>0,片+=4m,2=-4n,%==2m,N-1,2m),NA=,NB=, NANB=+0-2m)03-2m)=++1+y02-2m0+2)+4m2=m2++1-4n-8m2+4m2=n2 -2n+1, 若NANB=1,则m2-2n+1=1, 解得n=0(舍去)或n=2, 所以直线AB过定点(2,0). 3.已知曲线C上的动点P满足PF-PF=2,且F(一2,0)，F(2,0). (1)求曲线C的方程： (2)若直线AB与C交于A,B两点，分别过A,B作C的切线，两切线交于点P在以下两个 条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立. ①直线AB经过定点M4,O): ②点P在定直线x=上 解：(1)因为PF-PF=2<4=FF 所以曲线C是以F,F2为焦点，2为实轴长的双曲线的右支， 所以2a=2,即a=1, 又因为F(-2,0),F(2,0), 所以c=2,得b2=3, 所以曲线C的方程为x2-=1(x≥1). (2)若选择①，证明②成立 依题意，点A,B在双曲线右支上，此时直线AB的斜率必不为0， 设直线方程为x=my+4,Ac1,),B(x2,),不妨设A在第一象限，B在第四象限 因为x2-=1(≥1)，所以y=3x-3, 由y=,求导得y=, 9 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以过点4的切线方程为y-”=(-), 化简得=3xx-3,(i) 同理，过点B的切线方程为%=3x2x-3,(ii) 联立方程(i(i),解得 所以P, 因为点A,B在直线AB上， 所以x=my1+4,x2=m2+4, 所以x2=my+4y,xy=myy+4, 所以点P的横坐标为==， 点P的纵坐标为==， 即点P在定直线x=上， 若选择②，证明①成立 不妨设A在第一象限，B在第四象限，Ac,),B2,). 因为2-=1(x≥1)，所以y=3x-3, 由y=,求导得y=, 所以过点A的切线方程为y-=(x), 化简得y=3xx-3,(i) 同理，过点B的切线方程为=3xr-3,(i) 联立方程(1（ⅱ），得交点P的横坐标为 由题意，知=， 即x·x=4y-4=402-).(ii) 因为A(x,),B, 所以直线AB的方程为 y-=(x-x), 即(2-x)0-）=02-n)x=x): 整理得x-Xn=0仍-x+(化-xy, 10