精品解析：贵州省贵阳市七校2024-2025学年高一下学期5月联考(四)试数学试题

贵阳市2027届高一年级七校联合考试（四） 数学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式，求出集合中的元素，根据集合交集运算，求出结果. 【详解】因为，所以，解得， 所以．又，故， 故选：C． 2. 已知复数z满足，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求，故可判断其对应的点所在的象限. 【详解】由题意可得， 其在复平面内所对应的点为，位于第二象限， 故选：B． 3. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的用电量，从中抽取500户进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体是50000 B. 个体是每一户居民 C. 样本是500户居民 D. 样本容量是500 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由总体，个体，样本以及样本容量的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】根据题意知，总体是“全市50000户居民的用电量”，故A错误；个体是“每一户居民的用电量”，故B错误； 样本是“500户居民的用电量”，故C错误；样本容量是500，故D正确； 故选：D. 4. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理解三角形，根据正弦面积公式求出三角形面积. 【详解】，，，， 则，的面积为， 故选：A． 5. 已知正四棱锥的体积为，其底面的斜二测直观图面积为4，则此正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法，求出四棱锥的底面积，根据体积得四棱锥的高. 【详解】 如图所示，设底面正方形边长为，四棱锥的高为h，由直观图的性质得高为， 直观图面积为，解得，因为正四棱锥的体积为，所以，解得， 故选：A． 6. 已知单位向量，，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，化简可得，再由，是单位向量结合数量积的定义可求得结果. 【详解】因为，，，， 所以，即， 所以，即， 设与的夹角为，则，得， 因为，所以， 所以与的夹角为， 故选:C 7. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足，在上的投影向量模长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为0，和投影向量模长公式，求出各边之间的关系，根据余弦定理求出结果. 【详解】 如图，过点A作，交于点D，在上的投影向量应为， 则投影向量模长为，即，则， 因为， 所以， 所以，则， 又因为，得， 所以， 故选：C． 8. 如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由正方体的性质即可判断；对于B，由即可判断；对于C，与所成角即为与的夹角为即可判断；对于D，只需证明，即可. 【详解】对于选项A，因为为正方体，所以与平面不垂直，所以A错误； 对于选项B，因为，平面，平面，所以平面，所以B正确； 对于选项C，因为，所以与所成角即为与的夹角， 又因为为正方体，所以该角为，C错误； 对于选项D，因为平面，平面，所以， 且，所以平面，平面， 所以，同理，，所以平面，所以D正确， 故选：BD． 10. 已知，都是复数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A可取反例验证选项错误；对于选项B和C，通过设，，将其代入等式两边验证是否相等即可；对于选项D，可取反例验证其错误. 【详解】对于A，取，，，，A错误； 对于B，设，，，，B正确； 对于C，设，，，C正确； 对于D，取，，显然满足，但，，故D错误. 故选：BC． 11. 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点P是棱的中点，点M是上的动点，点R为的中点，点Q是棱上靠近点B的四等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 当M是的中点时，过点P，A，R的平面截正三棱柱所得图形的面积为 D. 点D是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点D的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理即可判断选项A；根据三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积即可判断选项B；如图，作出过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为，再计算的面积即可判断选项C；当D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，计算弧长即可判断选项D. 【详解】对于选项A，如图，由点R，P分别为，的中点，得． 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于选项B，由题意可知， 设点到平面的距离为d，平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离． 又，所以， 所以，为定值，故B正确； 对于选项C，连接并延长交于点S，连接， 则过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为． 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以， 取的中点N，连接，则点Q为的中点， 又点R为中点，所以，，点M为的中点，所以， 所以，所以，所以， 所以，故，故C错误； 对于选项D，由题可知，点D的轨迹是以为轴（其中B为顶点）， 母线与轴所成角为的圆锥的侧面与正三棱柱的表面的交线． 当D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点D在上运动的轨迹长度为，故D正确； 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 【答案】662 276 656 502 【解析】 【分析】从第3行第4列的数6开始，每次取三位数，在范围内就取，不在不取，重复的不取即可． 【详解】根据随机数表读取规则可知，第一个数662，第二个数是276，第三个数是656，第四个是502. 故答案是：662；276；656；502 13. 在中，G为的重心，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设D为的中点，连接，得，，再应用向量数量积的运算律求解. 【详解】如图，设D为的中点，连接，则点G在上，且， 故，， 所以． 故答案为： 14. 在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱外接球被平面截得的截面面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用补形法求得三棱柱的外接球半径为，故只需求出球心O到侧面的距离h是的一半即可得小圆半径，从而即可得解. 【详解】如图，根据题意，，，， 由余弦定理，， 则有，所以， 则可以将三棱柱补形为长方体，棱长分别为，，， 所以长方体的外接球O的半径． 由题意可得，球心O到侧面的距离h是的一半即， 设侧面所在平面被球O所截的圆的半径为r，则，所以， 所以该截面面积为． 故答案为：. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （2）若，在复平面（O为坐标原点）内对应的点分别为B，C．求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的四则运算求出，再根据复数的几何意义确定参数范围即可； （2）先求出，，得到点的坐标，再利用投影向量的计算公式即可. 【小问1详解】 因为， 所以． 因为复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以， 解得，即实数m的取值范围是． 【小问2详解】 由题可知，， 则点，，故，． 因此． 16. 随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35． 少年（小于18岁） 青年（大于等于18，小于45岁） 中老年（大于等于45岁） 女性 150 150 n 男性 200 m r （1）求m值； （2）现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？ 【答案】（1）350； （2）15. 【解析】 【分析】（1）由已知人数和概率求参数值； （2）应用分层抽样的等比例性质求中老年中抽取人数. 【小问1详解】 在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35，则． 【小问2详解】 由表知，少年一共有350名，由（1）得青年有500名，所以中老年一共有150名观众． 从1000名观众中抽100名观众的抽样比为，故中老年应抽取名观众． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． （1）求角A和边a； （2）求的取值范围． 【答案】（1），1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与和角的正弦公式求出角，再由条件求出边； （2）利用正弦定理求出边，代入所求式，经过三角恒等变换化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求得其范围. 【小问1详解】 由和正弦定理可得， 化简得， 即 因，则，即， 因，故． 又由且， 可得． 【小问2详解】 由正弦定理，， 可得，， 则，（*） 因，将其代入（*），可得： ． 因，则，故， 则的取值范围是． 18. 如图，在四棱锥中，，，设F，O分别为，的中点，四边形为菱形． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）设E为的中点，连接，，通过求证四边形为平行四边形可证明结论； （2）通过平面、平面，得到直线与平面所成角为即可求解. 【小问1详解】 如图，在四棱锥中，设E为的中点，连接，， 由分别为，的中点，得，． 因为O为的中点，所以，． 因为四边形为菱形，所以，， 所以，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，平面，平面，， 所以平面． 连接，由分别为，的中点，得，， 所以平面， 所以直线与平面所成的角为． 由平面，得． 因为四边形为菱形，所以． 在中，， 所以直线与平面所成角为． 19. 在立体几何中，三面角余弦定理是求解二面角大小的一种重要的方法．三余弦定理：如图甲，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为θ，则．如图乙，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）请利用三余弦定理求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）0． 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）连接，利用几何法求出异面直线与所成角的余弦值. （3）求出三余弦定理的相关量，再利用三余弦定理列式求解. 【小问1详解】 由侧面是正三角形，M是的中点，得， 侧面平面，侧面平面，平面，， 则侧面，而侧面，因此， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 如图，连接，连接，由底面是正方形，得是中点， 则，与所成角也与所成角，即或其补角， 由（1）知，平面，平面，则， 由侧面，，得侧面，而侧面，则， 令，则，，在中，， 在中，，，， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 【小问3详解】 设二面角为θ，，由（2）知， 在中，，， 在中，，， 如图，， 即，解得 所以二面角的余弦值为0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 贵阳市2027届高一年级七校联合考试（四） 数学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的用电量，从中抽取500户进行调查，下列说法正确的是（ ） A. 总体是50000 B. 个体是每一户居民 C. 样本是500户居民 D. 样本容量是500 4. 在中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ） A. B. 10 C. D. 20 5. 已知正四棱锥的体积为，其底面的斜二测直观图面积为4，则此正四棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量，，，，且，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 7. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足，在上的投影向量模长为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图所示，在正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面 10. 已知，都是复数，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 11. 如图，正三棱柱各棱长均为1，点P是棱的中点，点M是上的动点，点R为的中点，点Q是棱上靠近点B的四等分点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 三棱锥体积为定值 C. 当M是的中点时，过点P，A，R的平面截正三棱柱所得图形的面积为 D. 点D是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点D的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 劳动课中要考查上一届学生种出来的950颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将950颗种子按001，002，…，950进行编号，如果从随机数表第3行第4列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子编号依次是________．（下面抽取了随机数表第1行至第3行） 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10 13. 在中，G为的重心，且，，则________． 14. 在直三棱柱中，，，，，则此三棱柱的外接球被平面截得的截面面积为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； （2）若，在复平面（O为坐标原点）内对应的点分别为B，C．求向量在向量上的投影向量的坐标． 16. 随着《哪吒2魔童闹海》的火爆，贵阳越界影城出圈．为调查影迷的年龄构成，对越界影城1000名观众进行调查，各年龄段人数如下表：已知在1000名观众中随机抽取1名，抽到青年男生的可能性是0.35． 少年（小于18岁） 青年（大于等于18，小于45岁） 中老年（大于等于45岁） 女性 150 150 n 男性 200 m r （1）求m的值； （2）现用分层抽样的方法在1000名观众中抽取100名观众，则应在中老年中抽取多少名观众？ 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． （1）求角A和边a； （2）求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，，，设F，O分别为，的中点，四边形为菱形． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 19. 在立体几何中，三面角余弦定理是求解二面角大小一种重要的方法．三余弦定理：如图甲，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为θ，则．如图乙，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）请利用三余弦定理求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$