江苏省南京市2024-2025学年高二下学期期末复习数学综合卷（四）

2024-2025学年度高二下学期期末复习卷四 考试范围：苏教版必修一、选修一、选修二 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：由，得，所以，又，所以. 故选B. 2.若实数满足，且，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 答案：D 解析：因为，且，易知且， 所以，所以， 所以，则. 故选D. 3.过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 答案：C 解析：由圆心为，半径为，当切线斜率存在时，设切线为，即 ，则圆心到切线的距离，可得，所以切线方程为 ；当切线斜率不存在时，直线方程为，显然与圆相切， 综上，切线方程为或. 故选C. 4.某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（    ） A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 答案：C 解析：根据题意，用间接法分析：甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有＝1440种情况， 其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有＝240种，甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有＝48种， 则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种. 故选C. 5.已知数列是等差数列，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 答案：B 解析：因为数列是等差数列，设其公差为， 若，则，即， 所以当时，；当时，不一定成立；反之，若， 则，所以成立，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选B. 6.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 答案：A 解析：记事件在某次通电后有且只有一个需要更换， 事件需要更换，则， ， 所以由条件概率公式可得． 故选A. 7.已知函数，则关于方程的根个数不可能是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点. 故选C. 8.设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 答案：D 解析：由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，则， 解得和（舍去），所以椭圆的离心率为. 故选D. 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.若，其中为实数，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 答案：ACD 解析：由， 令，则原式转化为， 对于A选项，令，可得，所以A正确； 对于B选项，由二项式定理的展开式，可得，所以B错误； 对于C和D选项，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确. 故选ACD. 10.已知函数，则下列结论正确的有 （ ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的三条切线 答案：AC 解析：由题意得，． 令，得或；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，所以A正确； 由的单调性，且极大值，极小值， 又，，所以函数在定义域上有3个零点，所以B错误； 令，因为，则是奇函数， 所以是的对称中心，将的图象向上移动1个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，所以C正确； 设切点为，则切线的方程为， 代入，可得，解得或， 所以过点的切线方程有两条，所以D错误. 故选AC. 11.已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则下列结论正确的是（  ） A．平面 B．点的轨迹长度为 C．存在点，使得平面 D．点到平面距离的最大值为 答案：ABD 解析：对于A选项，在正方体中易知， 又平面，平面，所以平面，所以A正确； 对于B选项，因为点P为四边形（含边界）内一动点，且，， 则，所以P点轨迹为以为圆心，为半径的圆与正方形相交的部分， 所以点P的轨迹长度为，所以B正确； 对于C选项，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 若存在点P，使得面，则， 解之得，显然不满足同角三角函数的平方关系， 即不存在点P，使得面，所以C错误； 对于D选项，设平面的一个法向量为，则， 取，即，则点P到平面的距离， 显然时取得最大值，所以D正确. 故选ABD. 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 . 答案： 解析：因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 13.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，， 则___________. 答案： 解析：由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则， 因为关于直线对称，所以， 又因为关于点对称，所以， 又因为，又因为， 所以， 所以. 14.已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 答案： 解析：由，得， 当时，，则， 整理得，即， 而，解得， 于是，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， 由，得， 当为奇数时，，即，显然为递增数列， 当时，，于是， 当为偶数时，，即，显然恒有，于是， 所以实数的取值范围为. 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题13分） 目前，某校采用 “翻转课堂” 的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容. 某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对本校名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于小时的有位学生，余下的人中，在物理考试中平均成绩不足分的学生占总人数的，统计后得到以下表格: 大于等于 120 分 不足 120 分 合计 学时不少于 12 小时 8 21 学时不足 12 小时 合计 49 (1)请完成上面的列联表，能否有的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”? (2)若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周自主学习时间不少于小时的人数的期望和方差. 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析：（1）依题意，周学时不足12小时有人， 则周学时不足12小时且平均成绩不足分的有人， 所以周学时不足12小时且平均成绩大于等于分的有人， 所以列联表如下： 大于等于 120 分 不足 120 分 合计 学时不少于 12 小时 13 8 21 学时不足 12 小时 8 20 28 合计 21 28 49 ， 所以能有的把握认为“成绩与自主学习时间有关”； （2）由（1）中知大于等于分的学生中周自主学习时间不少于小时的频率是， 设从全校大于等于分的学生中随机抽取人， 这些人中周自主学习时间不少于小时的人数为随机变量，则， ，. 16.（本题15分） 公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：. 解析：（1）， 当时，； 当时，， 所以， 所以， ，， 又数列为等比数列，则， 又， ，解得； （2）由（1）可得， 所以， ， 当时，， ． 17.（本题15分） 已知椭圆过点，且． ⑴求椭圆的方程： ⑵过点的直线交椭圆于点,直线分别交直线于点．求的值． 解析：(1)由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为：； (2)设，，直线的方程为：， 与椭圆方程联立可得：， 即：， 则：. 直线MA的方程为：， 令可得：， 同理可得：. 很明显，且，注意到， ， 而 ， 则. 所以. 18.（本题17分） 如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点在平面内的射影恰好落在直线上. (1)求二面角的正切值； (2)点为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点，使得直线与 平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 解析：（1）如图，过点作于点，连接，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，，. 为二面角的平面角. ∵，，∴为等边三角形，， 又中，，，，. 又，，，H为线段的中点. ，， 中，，， 所以二面角的正切值为. （2）连接，为等边三角形，H为线段的中点，， 又平面，则，，两两垂直， 以H为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，， 令，可得. 假设棱上存在满足要求的点Q，设，，. ， 因为直线与平面所成的角为， ， 整理得：，解得或（舍去）. 所以，则. 所以当时，与平面所成的角为. 19.（本题17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 解析：（1）若，则的定义域为， 又， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为，则， 所以原题意等价于对，恒成立， 构建， 则， 令，则对恒成立， 可知在内单调递增，且， 可知在内存在唯一零点， 当时，，即； 当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，可得， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二下学期期末复习卷四 考试范围：苏教版必修一、选修一、选修二 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.若实数满足，且，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 3.过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4.某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（    ） A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种 5.已知数列是等差数列，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 6.在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为，需要更换元件的概率为，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，则关于方程的根个数不可能是（  ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（  ） A． B． C． D． 二．多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.若，其中为实数，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 10.已知函数，则下列结论正确的有 （ ） A．有两个极值点 B．有两个零点 C．点是曲线的对称中心 D．过点可作曲线的三条切线 11.已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，点为四边形（含边界）内一动点，且，则下列结论正确的是（  ） A．平面 B．点的轨迹长度为 C．存在点，使得平面 D．点到平面距离的最大值为 三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12.在中，角的对边分别为，若，则的最小值为 . 13.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，， 则___________. 14.已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题13分） 目前，某校采用 “翻转课堂” 的教学模式，即学生先自学，然后老师再讲学生不会的内容. 某一教育部门为调查在此模式下学生的物理成绩与学习物理的学习时间的相关关系，针对本校名考生进行了解，其中每周学习物理的时间不少于小时的有位学生，余下的人中，在物理考试中平均成绩不足分的学生占总人数的，统计后得到以下表格: 大于等于 120 分 不足 120 分 合计 学时不少于 12 小时 8 21 学时不足 12 小时 合计 49 (1)请完成上面的列联表，能否有的把握认为“物理成绩与自主物理的学习时间有关”? (2)若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周自主学习时间不少于小时的人数的期望和方差. 附： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16.（本题15分） 公比为的等比数列的前项和． (1)求与的值； (2)若，记数列的前项和为，求证：. 17.（本题15分） 已知椭圆过点，且． ⑴求椭圆的方程： ⑵过点的直线交椭圆于点,直线分别交直线于点．求的值． 18.（本题17分） 如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点在平面内的射影恰好落在直线上. (1)求二面角的正切值； (2)点为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点，使得直线与 平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19.（本题17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$