19.2.1 正比例函数 教学设计 2024-2025学年人教版八年级下册数学

19.2.1 正比例函数 教学设计 （人教版八年级数学下册） 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章“一次函数”中的“19.2.1 正比例函数”，主要内容包括：理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的解析式特征，能根据实际问题列出正比例函数关系式，并探索正比例函数的图象与性质。 2. 内容解析 正比例函数是特殊的一次函数（ 中 的情形），是函数学习的起点。学生已学习变量与函数的概念，本节课通过高铁行程、圆周长、质量与体积等实例抽象出 的模型，理解比例系数 的意义，并通过画图探究图象特征（过原点的直线），为后续学习一次函数、反比例函数奠定基础。正比例函数在物理、经济等领域应用广泛，是培养学生数学建模能力的重要载体。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 通过生活实例抽象正比例函数概念，能识别解析式 ()，发展数学抽象能力。 (2) 经历描点法画函数图象的过程，归纳正比例函数图象的性质（过原点、 的符号对图象的影响）。 (3) 能利用正比例函数解决实际问题（如行程、温度变化等），提升应用意识与运算能力。 2. 目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能从实际问题中提炼 的关系，正确判断 的取值和符号意义（如速度、密度）。 达成目标（2）的标志是：学生能独立画出 、 等图象，并总结“ 时图象上升， 时下降”的规律。 达成目标（3）的标志是：学生能建立函数模型求解类似高铁行程、温度变化等问题，理解定义域的实际意义。 三、教学问题诊断分析 1. 概念理解：学生易忽略 的条件，或混淆正比例与反比例关系（如将 误判为正比例）。 1. 图象性质：部分学生易误认为所有函数图象都是直线，或忽视 的符号对增减性的影响。 1. 建模应用：实际问题中隐含定义域（如高铁运行时间 )，学生可能忽略取值范围。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题 1 京沪高铁全长 1318 km，列车平均速度 300 km/h。 (1) 北京到上海约需多少小时？（结果保留一位小数） (2) 行程 (km) 与时间 (h) 的关系式是什么？ (3) 出发 2.5 小时后，列车是否到达距起点 1100 km 的南京南站？ 问题 2 写出下列问题的函数解析式： (1) 圆的周长 随半径 变化； (2) 铁块质量 (g) 随体积 (cm³) 变化（密度 7.9 g/cm³）； (3) 练习本总厚度 (cm) 随本数 变化（单本厚 0.5 cm）。 问题 3 上述函数解析式有何共同特征？ 设计意图： 通过高铁、几何、物理等实例激发兴趣，引导学生发现 的模型特征，培养抽象能力（对应目标 1）。 (二) 合作探究 1 探究 1 观察函数解析式： · （高铁行程） · （圆周长） · （质量与体积） · （厚度与本数） 追问： (1) 这些关系式中自变量和因变量分别是什么？ (2) 它们能否统一写成 的形式？ (3) 比例系数 的实际意义是什么？（如 300 是速度， 是圆周率） 结论： 形如 （ 为常数，) 的函数称为正比例函数， 叫做比例系数。 (三) 巩固练习 1 1. 判断下列式子是否表示 是 的正比例函数： · (1) （是，) · (2) （是，) · (3) （否，含 ) · (4) （否，非 关于 的线性关系） 1. 写出下列问题的函数关系式，并判断是否为正比例函数： · (1) 正方形边长 cm，周长 cm（，是） · (2) 月均收入 元，年收入 元（，是） · (3) 长方体长 2 cm、宽 1.5 cm、高 cm，体积 cm³（，是） (四) 合作探究 2 探究 2 画出函数 的图象： 1. 列表（选取 )： -2 -1 0 1 2 -4 -2 0 2 4 1. 描点：在坐标系中标出点 、、、、。 1. 连线：得到一条过原点的直线（表 1）。 追问： 函数 的图象会经过哪些象限？随 增大 如何变化？ 猜想： 时，图象可能下降。 验证： 画出 的图象（表 2）： -2 -1 0 1 2 3 1.5 0 -1.5 -3 图象过原点，且经过第二、四象限（从左向右下降）。 探究 3 证明正比例函数图象必过原点： 当 时，，故图象一定经过点 。 设计意图： 通过描点作图验证猜想，理解数形结合思想；证明过原点强化逻辑推理（对应目标 2）。 (五) 典例分析 例 1 冷冻一个 0℃ 物体，每分钟降温 2℃。 (1) 写出温度 (℃) 与时间 (min) 的关系式； (2) 画出函数图象； (3) 求冷冻 8 分钟后的温度。 解： (1) （比例系数 ) (2) 列表描点（表 3）： 0 1 2 3 0 -2 -4 -6 图象为过原点和第二、四象限的直线。 (3) 当 时，（℃） 设计意图： 综合运用概念、图象与性质解决实际问题，强化函数建模思想（对应目标 3）。 (六) 巩固练习 1. 登山气温问题：大本营气温 5℃，海拔每升 1 km 降温 6℃。 · (1) 写出气温 (℃) 与登高 (km) 的关系式（)； · (2) 求登高 0.5 km 后的气温（℃）。 1. 图象判断： · 下列点是否在 的图象上？ · (1) （代入得 ，成立） · (2) （成立） 1. 比例系数应用： · 若 与 成正比例，且 时 ： · (1) 求关系式（)； · (2) 求 时 的值（)。 设计意图： 分层练习强化概念理解、图象特征与实际应用（对应目标 1,2,3）。 (七) 归纳总结 知识点 核心内容 定义 () 比例系数 决定变化速率与方向（ 增， 减） 图象 过原点 的直线 画图方法 两点法：取 和 (八) 感受中考 1. (2024·广西) 若 与 成正比例，且 时 ，则 时 ______。 · 答案：，故 ，当 时 。 1. (2023·青海) 正比例函数 的图象经过（ ）。 · A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 · 答案：B（，过二、四象限）。 1. (2024·日照) 点 在 的图象上，则 ______。 · 答案：由 得 。 1. (2023·湖北) 某油箱容积 60 L，加油前剩油 5 L，每分钟加油 0.4 L。 · (1) 写出油量 (L) 与加油时间 (min) 的关系式； · (2) 求加满油所需时间。 · 解： · (1) （注意：非正比例，含常数项）； · (2) 令 ，得 ，解得 分钟。 设计意图： 在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 (九) 小结梳理 知识模块 关联要点 概念抽象 从生活实例（高铁、圆周长）提炼 图象与性质 的符号决定增减性与象限分布 实际应用 定义域限制（如时间 ) (十) 布置作业 必做题： 1. 教材 P87 练习第 1 题（判断正比例函数）。 1. 画出 的图象，并说明增减性。 选做题： 冷冻库每小时降温 8℃，初始温度 10℃。 (1) 写出温度 (℃) 与时间 (h) 的关系式； (2) 求温度降至 -6℃ 所需时间。 解： (1) ； (2) 令 ，得 ，解得 小时。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$