第02讲 函数的单调性与最值（七大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

第02讲 函数的单调性与最值 目录 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03 必备基础知识梳理 考点1：函数的单调性 考点2：函数单调性的常见运算 ⑴单调性的运算 ⑵复合函数单调性 考点3：函数的最值 04 必考题型精讲精练 题型一：单调性的定义及判断 命题点1：函数单调性的判断 命题点2：利用定义证明函数的单调性 题型二：分段函数的单调性 题型三：复合函数单调性 题型四：根据函数的单调性求参数的范围 题型五：根据函数的单调性解不等式 题型六：比较函数值的大小 题型七：求函数值域（最值）的方法 ⑴二次函数的值域；⑵换元法； ⑶利用函数的单调性； ⑷判别式法； ⑸基本不等式（或对勾函数）； ⑹复合函数求值域（最值）；⑺分离常数法； ⑻利用导数求最值. 05 真题呈现（2025年--2021年真题） 06 易错分析 ⑴求复合函数单调性时忽视定义域. ⑵分段函数单调性问题、忽略分界点函数值的比较. 复习目标 1.借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值； 2.掌握函数单调性的简单应用； 3.会求函数的值域（最值）. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅱ卷 利用函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立 高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了。 2024年全国Ⅰ卷 根据分段函数的单调性求参数 2023年全国Ⅰ卷 根据复合函数的单调性求参数的范围 2023年北京卷 判断函数的单调性 2023年北京卷 分段函数的单调性和最值 2022年北京卷 分段函数的最值 2021年北京卷 充分条件和必要条件的判断、函数的单调性与最值 必备基础知识梳理 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调性定义的推广：，且，有或在区间上单调递增（减）. (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2.单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 必考题型精讲精练 题型一：单调性的定义及判断 命题点1：函数单调性的判断 例1．⑴（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. ⑵（23-24高三上·辽宁锦州·阶段练习）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A． B． C． D．y＝|x－| 【答案】C 【详解】对于A，，因为，所以指数函数在单调递减，故A选项错误； 对于B，，因为，所以对数函数在单调递减，故B选项错误； 对于C，，因为二次函数在上单调递增，所以函数在单调递增，故C选项正确； 对于D，由，可得函数在内上单调递减，在内单调递增，故D选项错误. 故选：C. 【解题方法总结】判断函数单调性的方法： ⑴定义法⑵单调性的运算：增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减； ⑶图像法；⑷复合函数单调性；⑸导数法。 练习：1．（21-22高一下·安徽·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解析：A项，B项均为定义域上的奇函数，排除； D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除； C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减. 故选：C. 2．（多选）（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）关于函数的说法正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上为增函数 D．奇函数 【答案】ABD 【详解】 定义域为，值域为，A，B正确； ，且， 则 ， ，，， ，即． 在上为增函数． 同理，在上为增函数，但此函数不是定义域上的增函数， 故C错误． 设，， ． 是奇函数，所以D正确． 故选：ABD 3．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 命题点2：利用定义证明函数的单调性 例2．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析；(2)最小值为，最大值为. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【解题方法总结】 利用定义判断函数的单调性的步骤： ⑴任取，且（或）； ⑵作差，并变形； ⑶确定的符号； ⑷得出函数在区间上的单调性。 练习：1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 2．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1)；(2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 题型二：分段函数的单调性 例2．⑴（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】， 【详解】函数化简为： ，开口向上，对称轴，所以在是减区间，在是增区间； ，开口向上，对称轴，所以在是增区间，在是减区间； 所以：的单调递减区间和． 故答案为：，． ⑵（20-21高一上·江苏镇江·期中）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数， 则，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 【解题方法总结】 若函数是上的增函数，则函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值；若函数是上的减函数，则函数在各段单调递减且断点左侧的函数值不小于右侧的函数值； 练习：1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知函数，当时， 单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增，最小值为； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故选：C. 2.（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可知在上是增函数，所以，解得． 故选：D. 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，其在上单调递增， 若在单调递增，，所以. 故选：D． 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】, 【详解】， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为和． 故答案为：，． 5．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 【答案】 ； 【详解】的单调递增区间,， 由得， 若在,为增函数，则，解得， 故答案为：，． 题型三：复合函数单调性 例3．⑴（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. ⑵（22-23高一上·河南安阳·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，函数有意义，则有，得或， 设，则当时，u关于x单调递减，当时，u关于x单调递增， 又因为函数在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知的单调递减区间为． 故选：A 【解题方法总结】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 练习：1．（19-20高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 2.（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 3.（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 题型四：根据函数的单调性求参数的范围 例4．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 【解题方法总结】 利用函数单调性求参数的取值（范围）时，根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）或不等式（组）或先得到其图像的升降，在结合图像求解. 对于分段函数，要注意衔接点的取值。 练习：1．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 2.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 3．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号， 所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 4．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 5.（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 6．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以函数为偶函数. 由二次函数知识知函数在上递减，在上递增. 所以由是偶函数，可知在和上递减，在和上递增. ①当时，在上递减，不满足条件； ②当时，在上递增，不满足条件； ③当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件； ④当时，在上递增，在上递减，所以在上不单调，满足条件； ⑤当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件. 综上，实数的取值范围为． 故选：A. 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数图象的对称轴为直线，由在上不单调，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 8．（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，且， 当时，函数在上单调递减； 当时，函数无单调性； 当时，函数在上单调递增， 由函数在区间上是减函数，得，且， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 故答案为： 题型五：根据函数的单调性解不等式 例5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 【解题方法总结】 利用单调性解不等式时，由条件脱去“”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域。 练习：1．（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】依题意，，不等式化为：， 而函数是R上的减函数，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】减 ； 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 6．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是定义在上的函数，，当时，，则不等式的解集为 【答案】 【详解】依题意，函数在上单调递减， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型六：比较函数值的大小 例6．（2023·河北·三模）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，， ，由在上单调递增可得， 故选：C. 【解题方法总结】 比较函数值的大小时，先转化到同一单调区间内，然后利用函数的单调性解决。 练习：1．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知函数和在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 故，即． 故选：D 2.（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即； 故选：D 题型七：求函数值域（最值）的方法 ⑴二次函数的值域 例．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，令得， 令得，所以在上单调递增， 令得，所以在上单调递减， 所以，， 所以的值域为. 故答案为：. 【解题方法总结】 和一元二次函数有关的函数求值域问题可以利用配方法或利用二次函数的单调性。 练习：1.（2024高三·全国·专题练习）函数的值域是 . 【答案】 【详解】因为的图象对称轴为直线，开口向下， 所以，， 故函数的值域是. 故答案为： 2. 函数的值域是 . 【答案】， 【详解】由，可得函数的值域为，. 3.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 【答案】3 【详解】由函数，可得对称轴为， 故函数在上是增函数. 函数的定义域和值域均为， ，即. 解得，或.，. 故答案为：3. 4.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的定义域为 ，其最大值是 ． 【答案；/. 【详解】易知，解之得，所以函数的定义域为； 而， 当时取得最大值. 故答案为：；. 5．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 当时，取最小值0，故取到最大值4， 则函数的最大值为2； 当时，取最大值1，故取到最小值2， 则函数的最小值为； 故答案为：. ⑵换元法； 例．⑴（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【答案】 【详解】令，则，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，所以最大值在出取得，. 故答案为： ⑵（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 ；/ 【详解】令，则，∵，∴， ∴， 令，， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵，， ∴，， ∴函数在 上的最大值和最小值分别为和． 故答案为：；. 【解题方法总结】 换元法求值域（最值）：引入一个新的量来代替原来的量，实行“变量代换”，注意新元的范围； 练习：1．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 . 【答案】1 【详解】函数，定义域为， 令，所以， 所以， 函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线， 所以时，函数取最大值，最大值为， 即函数的最大值为1． 故答案为：1． 2．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，原函数值域为. 故答案为：. 3．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 . 【答案】 【详解】的定义域为，令 ，当且仅当，即时取“等号” 的值域为. 故答案为： ⑶利用函数的单调性； 例．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 【解题方法总结】 单调性法求最值：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域。 练习：1．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 2．（23-24高二下·重庆·期末）函数的值域为 . 【答案】 【详解】有得， 所以函数的定义域， 令，则在都是单调递增函数， 所以在是单调递增函数， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. ⑷判别式法 例．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【详解】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 【解题方法总结】 对于一些分式函数，可变形为关于的一元二次方程的形式，利用判别式法求的范围，从而得到函数的值域或最值。 练习：1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 ； 3 【详解】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   2．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【详解】因为恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， ∴函数的最大值为，最小值为. ⑸基本不等式（或对勾函数） 例．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 【解题方法总结】 对于一些分式函数，最终可化为利用基本不等式（或对勾函数）求最值的形式。 练习：（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】令,将原函数转化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】的定义域为，令 ，当且仅当，即时取“等号” 的值域为. 故答案为： ⑹复合函数求值域 例．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， ∵在上单调递减， 且当时，， ∴. 故选：A. 【解题方法总结】 复合函数求值域，往往将复合函数拆成，，先根据定义域求出的值域，即的范围，再利用的范围求出函数的的范围，即为函数的值域（或最值）。 练习：1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令， 函数，在时，单调递减，因此， 当时，， 所以的值域是， 故选：C 2.（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. ⑺ 分离常数法 例．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 当时，. 则. 故选：B. 【解题方法总结】 分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式。 练习：（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. ⑻ 导数法 例．（23-24高二下·广东佛山·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】由可得，，由解得，或， 因，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，. 故选：A. 练习：1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，故的驻点为，， 因为，故驻点， 而，，，， 所以． 故答案为：. 2．（21-22高二·全国·课后作业）函数在区间上的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，当时，； 当时，． 故在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值． 故答案为： 综合练习：1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，； (3)，； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)；(9)； (10)，. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)； (8)；(9)；(10) 【详解】（1）在区间上单调递增， 所以值域为. （2）因为，函数的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为， 所以.所以的值域为. （3），令，则， 在上单调递减，所以， 所以的值域为. （4）的定义域是， 由于，所以， 所以值域为. （5）， 因为 所以原函数的值域为. （6）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为. （7）令，则， 可得 当时，等号成立，所以函数的值域为. （8）因为； 所以函数的值域为. （9）函数的值域可看作由点两点决定的斜率，是定点， 在曲线上， 如图，，，即. （10）时，时，； 时，取最大值；又的值域为. 2.（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7) 【详解】（1）由于，且,所以可得， 因此函数的值域是. （2）令，所以，即， 当时，，即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为， 因为， 由二次函数性质可得， 所以的值域为. （4）由，可得函数的值域为，. （5）由，所以， 的值域为. （6）因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故函数的值域为. （7）由知，整理得， 当时，方程无解；当时，， 解得，故所求函数的值域为. 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是. 故选：B. 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 4．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5.（2023年北京高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 6．（2022年北京高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一）；1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时，，∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 易错分析 ⑴求复合函数单调性时忽视定义域. 例．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为为上的增函数， 而在内单调递增， 故为内的增函数，且在内恒成立， 故，故， 故选：D. 【易错警示】此题易错之处在于忽略考虑在内恒成立。 【提示】求复合函数单调性时还需考虑在单调区间内还需使函数有意义。 ⑵分段函数单调性问题、忽略分界点函数值的比较. 例．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递减， 所以当时，恒成立，则； 当时，由在上递减， 若，，合题意， 若，则，故; 又分段点处也要满足递减的性质，所以，解得. 综上所述，， 故选：C． 【易错警示】此题易错之处在于忽略分段点处即处函数值的大小。 【提示】在研究分段函数的单调性时需考虑分段点处也要满足单调性的性质。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数的单调性与最值 目录 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03 必备基础知识梳理 考点1：函数的单调性 考点2：函数单调性的常见运算 ⑴单调性的运算 ⑵复合函数单调性 考点3：函数的最值 04 必考题型精讲精练 题型一：单调性的定义及判断 命题点1：函数单调性的判断 命题点2：利用定义证明函数的单调性 题型二：分段函数的单调性 题型三：复合函数单调性 题型四：根据函数的单调性求参数的范围 题型五：根据函数的单调性解不等式 题型六：比较函数值的大小 题型七：求函数值域（最值）的方法 ⑴二次函数的值域；⑵换元法； ⑶利用函数的单调性； ⑷判别式法； ⑸基本不等式（或对勾函数）； ⑹复合函数求值域（最值）；⑺分离常数法； ⑻利用导数求最值. 05 真题呈现（2025年--2021年真题） 06 易错分析 ⑴求复合函数单调性时忽视定义域. ⑵分段函数单调性问题、忽略分界点函数值的比较. 复习目标 1.借助函数图像，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值； 2.掌握函数单调性的简单应用； 3.会求函数的值域（最值）. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅱ卷 利用函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立 高考对单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了。 2024年全国Ⅰ卷 根据分段函数的单调性求参数 2023年全国Ⅰ卷 根据复合函数的单调性求参数的范围 2023年北京卷 判断函数的单调性 2023年北京卷 分段函数的单调性和最值 2022年北京卷 分段函数的最值 2021年北京卷 充分条件和必要条件的判断、函数的单调性与最值 必备基础知识梳理 1. 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调性定义的推广：，且，有或在区间上单调递增（减）. (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． (3)函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 2.单调性的常见运算 （1） 单调性的运算 ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ ③为↗，则为↘，为↘ ④增函数（↗）减函数（↘）增函数↗ ⑤减函数（↘）增函数（↗）减函数↘ ⑥增函数（↗）减函数（↘）未知（导数） （2） 复合函数的单调性 必考题型精讲精练 题型一：单调性的定义及判断 命题点1：函数单调性的判断 例1．⑴（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. ⑵（23-24高三上·辽宁锦州·阶段练习）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A． B． C． D．y＝|x－| 【答案】C 【详解】对于A，，因为，所以指数函数在单调递减，故A选项错误； 对于B，，因为，所以对数函数在单调递减，故B选项错误； 对于C，，因为二次函数在上单调递增，所以函数在单调递增，故C选项正确； 对于D，由，可得函数在内上单调递减，在内单调递增，故D选项错误. 故选：C. 【解题方法总结】判断函数单调性的方法： ⑴定义法⑵单调性的运算：增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减； ⑶图像法；⑷复合函数单调性；⑸导数法。 练习：1．（21-22高一下·安徽·期中）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）关于函数的说法正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上为增函数 D．奇函数 3．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 命题点2：利用定义证明函数的单调性 例2．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【解题方法总结】 利用定义判断函数的单调性的步骤： ⑴任取，且（或）； ⑵作差，并变形； ⑶确定的符号； ⑷得出函数在区间上的单调性。 练习：1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 2．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 题型二：分段函数的单调性 例2．⑴（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数的单调递减区间为 ． ⑵（20-21高一上·江苏镇江·期中）若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 若函数是上的增函数，则函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值；若函数是上的减函数，则函数在各段单调递减且断点左侧的函数值不小于右侧的函数值； 练习：1．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 2.（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设函数若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 5．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ． 题型三：复合函数单调性 例3．⑴（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． ⑵（22-23高一上·河南安阳·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 练习：1．（19-20高一上·安徽合肥·阶段练习）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 题型四：根据函数的单调性求参数的范围 例4．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 利用函数单调性求参数的取值（范围）时，根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）或不等式（组）或先得到其图像的升降，在结合图像求解. 对于分段函数，要注意衔接点的取值。 练习：1．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024高三·全国·专题练习）若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）若函数在上不单调，则实数a的取值范围为 . 8．（2024高三·全国·专题练习）函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 ． 题型五：根据函数的单调性解不等式 例5．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 利用单调性解不等式时，由条件脱去“”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域。 练习：1．（2025·四川·三模）已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 6．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是定义在上的函数，，当时，，则不等式的解集为 题型六：比较函数值的大小 例6．（2023·河北·三模）已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 比较函数值的大小时，先转化到同一单调区间内，然后利用函数的单调性解决。 练习：1．（2025高三下·河北承德·专题练习）已知，，，，则（   ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型七：求函数值域（最值）的方法 ⑴二次函数的值域 例．（24-25高三·上海·随堂练习）函数在区间的值域为 ． 【解题方法总结】 和一元二次函数有关的函数求值域问题可以利用配方法或利用二次函数的单调性。 练习：1.（2024高三·全国·专题练习）函数的值域是 . 2. 函数的值域是 . 【答案】， 3.（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）若函数的定义域和值域均为，则b的值为 ． 4.（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数的定义域为 ，其最大值是 ． 5．（2025高三·全国·专题练习）函数的值域为 ． ⑵换元法； 例．⑴（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． ⑵（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的最大值为 ；最小值为 ． 练习：1．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 . 2．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 3．（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 . ⑶利用函数的单调性； 例．（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 单调性法求最值：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域。 练习：1．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 2．（23-24高二下·重庆·期末）函数的值域为 . ⑷判别式法 例．（2025高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【解题方法总结】 对于一些分式函数，可变形为关于的一元二次方程的形式，利用判别式法求的范围，从而得到函数的值域或最值。 练习：1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的值域是，则 ， ． 2．（2024高三·全国·专题练习）求函数的最大值、最小值. ⑸基本不等式（或对勾函数） 例．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 对于一些分式函数，最终可化为利用基本不等式（或对勾函数）求最值的形式。 练习：（23-24高三上·广东江门·开学考试）函数的值域为 . ⑹复合函数求值域 例．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 复合函数求值域，往往将复合函数拆成，，先根据定义域求出的值域，即的范围，再利用的范围求出函数的的范围，即为函数的值域（或最值）。 练习：1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． ⑺ 分离常数法 例．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的值域为（   ）. A． B． C． D． 【解题方法总结】 分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式。 练习：（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域是（   ） A． B． C． D． ⑻ 导数法 例．（23-24高二下·广东佛山·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 练习：1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，的最大值为 . 2．（21-22高二·全国·课后作业）函数在区间上的最大值为 ． 综合练习：1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，； (3)，； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)，. 2.（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024年新课标Ⅱ卷高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5.（2023年北京高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 6．（2022年北京高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 易错分析 ⑴求复合函数单调性时忽视定义域. 例．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题易错之处在于忽略考虑在内恒成立。 【提示】求复合函数单调性时还需考虑在单调区间内还需使函数有意义。 ⑵分段函数单调性问题、忽略分界点函数值的比较. 例．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错警示】此题易错之处在于忽略分段点处即处函数值的大小。 【提示】在研究分段函数的单调性时需考虑分段点处也要满足单调性的性质。 学科网（北京）股份有限公司 $$