第01讲 函数的概念及其表示（十大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习

第01讲 函数的概念及其表示 目录 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：函数的概念 考点2：函数的三要素 考点3：函数的表示法 考点4：分段函数 05必考题型精讲精练 题型一：函数的概念 题型二：同一函数的判断 题型三：给出函数解析式求函数的定义域 题型四：抽象函数定义域 题型五：函数定义域的应用 题型六：函数解析式的求法 题型七：求分段函数的函数值 题型八：分段函数的定义域和值域 题型九：由分段函数的函数值求参数 题型十：解分段函数不等式 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴忽视函数概念中的唯一性. ⑵对同一函数的理解不准致误. ⑶错误理解复合函数定义域的求法步骤. ⑷求函数解析式时忽视定义域致误. 复习目标 1.了解函数的含义； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列举法、解析法）表示函数； 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅰ卷 求函数值、比较函数值的大小 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查 不等式与函数的性质． 2022年北京卷 求函数的定义域 2022年北京卷 求分段函数的函数值、分段函数的值域 2022年浙江卷 求分段函数的函数值、根据分段函数的值域求参数的范围 2021年浙江卷 求分段函数的函数值 网络构建 必备基础知识梳理 1. 函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1. 直线与函数的图像至多有1个交点. 2. 在函数的定义中，非空实数集，即为函数的定义域、值域为的子集. 3. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 必考题型精讲精练 题型一：函数的概念 例1.⑴（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】令，则， 则满足条件的有： ；；， 故满足条件的有个. 故选：C ⑵（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】解析法表示函数 【详解】，所以,故A正确，B错误； ，所以，故C正确，D错误． 故选：AC. ⑶（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【知识点】求函数值 【详解】，故， 所以， 故，解得. 故选：B. 【解题方法总结】 ⑴函数的含义：函数概念中有两个要求：①是非空的实数集；②第一个集合中的每一个元素在第二个集合中有且只有一个元素与之对应. ⑵函数的表示方法：解析法、图像法、列表法. 练习：1．（24-25高三下·甘肃平凉·阶段练习）已知函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【知识点】求函数值 【详解】由题意知，所以， 所以． 故选：D． 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解析法表示函数 【详解】因为，而， 所以. 故选：C 3．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 4．（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 6．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数关系的判断、图象法表示函数、函数 【详解】根据函数图象可知：函数图象具有对称性，故C错误； 对于A：由等边三角形可知：线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误； 对于D：由圆可知：线段的长度不会是线性变化，故D错误； 对于C：由正方形可知：线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确； 故选：B. 7．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【知识点】图象法表示函数 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 8．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】图象法表示函数、函数图像的识别 【详解】函数的定义域为， 由图可知，则， 由图可知，所以， 由，得， 由图可知，得，所以， 综上，． 故选：AB. 题型二：同一函数的判断 例2．（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】A中，的定义域为，的定义域为，故A错误； B中，，B正确； C中，的定义域为，的定义域为，故C错误； D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误． 故选：B. 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 练习：1．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，易知的定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，可知A错误； 对于B，显然的定义域为， 而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误； 对于C，两函数定义域均为，但的值域为， 而的值域为，两函数值域不同，即C错误； 对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确. 故选：D 2．（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BC 【详解】A：对于，定义域为，对于，定义域为，不是同一函数； B：根据解析式对应法则和定义域都相同，是同一函数； C：由，显然与的对应法则、定义域都相同，是同一函数； D：由的定义域为，而的定义域为R，不是同一函数. 故选：BC 3．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下列函数相等的是（    ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 【答案】AB 【详解】因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故A正确； 因为函数，定义域为， 所以函数与函数是同一个函数，故B正确； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故C错误； 因为函数，定义域为， 而函数的定义域为或，这两个函数因为定义域不同， 所以函数与函数不是同一个函数，故D错误； 故选：AB. 题型三：给出函数解析式求函数的定义域 例3．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数， ，， ． 故选：B. 【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 练习：1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，得且． 即函数的定义域为， 故选：D 2．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 题型四：抽象函数定义域 例4．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 练习：1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 2．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 3．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 即，解得， 即的定义域是. 故选：A. 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 5．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】； 【详解】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 故答案为：． 题型五：已知函数的定义域求参数 例5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知函数的定义域求参数 【分析】转化为不等式对任意的恒成立，分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】由题意，不等式对任意的恒成立． 当时，恒成立，即符合题意． 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：B 【解题方法总结】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 练习：1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 2.（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 【答案】 2 ； 【详解】函数，故，即 函数的定义域为，故. 故答案为：2； 4．（23-24高三上·北京·期中）函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为的定义域为， 所以在上恒成立，即， 由于在上恒成立，故实数的取值范围为. 故答案为：（答案不唯一）. 5．（2024高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 【答案】； 【详解】（1）因为的定义域为，又有意义需， 所以无解；当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得． 综上实数． （2）因为函数的定义域为，所以不等式的解集为， 当时，恒成立，满足题意； 当时，则，解得． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：. 题型六：函数解析式的求法 （一）配凑法 例：（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】根据题意利用配凑法分析求解，注意函数的定义域. 【详解】因为， 且，所以． 故选：D. 变式训练：（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，显然， 所以. 故选：B （二）换元法 例：（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法令求解析式，注意的取值范围． 【详解】令，则，因为，则， ， 所以． 故选：B． 变式训练：（2024高三·全国·专题练习）若，则的解析式为 . 【答案】 【详解】令，则，代入得: ，即. 故答案为： （3） 待定系数法 例：⑴（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． 【答案】或 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】设，得到，对照系数，得到方程组，求出答案. 【详解】设，则， 故，所以， 解得或， 故或. 故答案为：或. ⑵．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 变式训练：（23-24高三上·全国·期末）已知二次函数满足，且．求的解析式； 【答案】 【详解】由，设， 由，则， 整理得，则，解得． 所以． （4） 解方程组法 例：（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数方程组法求解析式 【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 变式训练：⑴（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． 【答案】 【详解】由，可得， 联立两式消去，可得． 故答案为：. ⑵（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 【解题方法总结】求函数解析式的常用方法： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法，当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （3）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （4）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 练习：1．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（   ） A．1 B． C． D．0或1 【答案】A 【详解】令，则，由，得， 于是， 由，得，，所以. 故选：A 2．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 3．（20-21高三上·河南周口·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】因为，① 所以， 所以，② ②-①可得，． 故答案为：． 4．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 5（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【答案】（1）；（2）；（3），值域为 【详解】解：（1）由函数， 所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得 因为， 因为，所以，解得， 所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为， 又单调递增，所以函数的值域为. 6．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数.求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【答案】（1）或. （2），. （3），. 【详解】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以或. 所以或. （2）设，则， 所以，. 所以，. （3）由    ① 用代替，得：    ② 得：即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 7．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 (1)是一次函数，且满足，求的解析式; (2)已知函数，求函数的解析式． (3)已知，求的解析式． (4)已知，则函数的解析式 (5)已知是上的增函数，若，则的解析式 【答案】(1)；(2)；(3) (4)；(5) 【详解】（1）由已知是一次函数，设函数， 则， 因为， 所以， 所以解得， 所以； （2）由， 则； （3）由已知①，，则②， 所以①②，得，， 所以. （4）（）， 当时，，当且仅当时，即时取等号， 当时，，当且仅当时，即时取等号， 所以. （5）根据题意，是上的增函数，且， 则为定值． 设，为常数，则且， 即有，解得，则. 题型七：求分段函数的函数值 例7．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由分段函数的解析式可得： ， 故选：A. 【解题方法总结】 分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 练习：1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A :【详解】函数，则， 所以. 故选：A 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 题型八：分段函数的定义域和值域 例8．⑴（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、分段函数的定义域 【详解】因为函数， 所以的定义域为 ，即函数定义域为， 故答案为： ⑵（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)求的值和满足的实数a的值； (2)求的定义域和值域. 【答案】(1)，；(2)的定义域为，值域为 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、分段函数的定义域、已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的值域或最值 【详解】（1）， 故. 由或，解得. （2）的定义域为， 由可知当时，函数， 当时，函数单调递减，， 综上，即的值域为. 【解题方法总结】 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集 练习：1．（2024高三·全国·专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由图象可知，第一段的定义域为；第二段的定义域为， ∴该分段函数的定义域为． 故答案为：． 2．（2025高三·全国·专题练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.1]＝2．函数被称为“取整函数”，也被称为“高斯函数”．已知函数，则的值域为 ． 【答案】 【详解】解法一：当x是整数时，，当x不是整数时，，所以的值域为． 解法二：因为，所以，所以函数的值域是． 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，解得， 函数大致图像如下： 由图可知，函数， 故答案为：. 4．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 5．（2024高三·全国·专题练习）如果规定表示不大于x的最大整数，试画出函数，的图象. 【答案】图象见解析 【详解】由题意知，表示不大于x的最大整数， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 结合一次函数的图象与性质，可得函数，的图象，如图所示， 6．（多选）（21-22高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 【答案】BC 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC 题型九：由分段函数的函数值求参数 例10．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】对实数a分情况讨论列出等式即可得到结果. 【详解】当时，因为，得到，解得：, 又因为在区间上单调递增，只有这一个根，又因为,故将舍去； 当时，由，得到，解得：， 综上：实数a的值为 故选：D 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 练习：1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由得，解得. 当时，由得，得. 所以由得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 【答案】D 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 3．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 【答案】8 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 4．（2025·广东深圳·二模）已知函数，若，则实数 ． 【答案】 【详解】， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，则， 当时，，且时，；时，； 所以在上有且仅有唯一的零点. 所以当时，，则，解得. 综上，. 故答案为：e 题型十：解分段函数不等式 1．（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 【解题方法总结】解分段函数不等式的方法： ⑴分区间讨论：根据分段函数的定义域，将原不等式转换为多个不等式组，注意严格遵循区间划分，明确每个区间的不等式及对应的自变量的范围、特别注意分界点处的函数值是否满足不等式. ⑵数形结合法：通过画出分段函数各区间图像，直观判断不等式成立的区域. ⑶利用函数的单调性：若分段函数在某一区间内具有明确单调性，可直接通过单调性转化不等式. 练习：1．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的表达式为，则的解集为 . 【答案】 【详解】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，已知，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若时，，解得，因此； 若时，，解得，无解， 所以的取值范围为. 故答案为： 3．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增，函数为常函数， 所以分段函数在单调递增，在不具有单调性， 且，即当时，， 因为，所以，解得， 所以满足的的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当，即时，由得，解得， 当，即时，由得，无解， ∴m的取值范围是. 故答案为：. 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由函数， 当时，可得且，则 此时不等式，即为， 即， 令，可得函数在上为单调递增函数， 且，所以，所以的解集为； 当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去； 当时，可得且，则 此时不等式，可得， 令，可得函数在上为单调递减函数， 且，所以，所以的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】用函数图象，结合单调性可解. 【详解】解析  画出函数的图象如图所示：      所以函数在上为增函数， 由，得， 即，解得. 故答案为：. 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 2．（2022年北京高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 3．（2022年北京高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一）；1 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时，，∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 4．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案 ； 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 【答案】2 【详解】，故， 故答案为：2. 易错分析 ⑴忽视函数概念中的唯一性. 例（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下列各图中，可作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图象法表示函数 【详解】由一个对应唯一一个可知A对，BCD错误. 故选:A 【易错警示】此题易错选A，忽略了函数概念“对于定义域内每一个在值域中都有唯一元素与之对应”. ⑵对同一函数的理解不准致误. 例．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列每组中的函数不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数； 对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数． 故选：ACD． 【易错警示】此题易错选B，认为和不是同一函数，两函数定义域和对应关系相同即为同一函数，与自变量用什么字母表示无关. ⑶错误理解复合函数定义域的求法步骤. 例．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【易错警示】在复合函数中求抽象函数定义域有关问题时，由于没有告诉函数解析式，所以进行运算时要注意两个原则：一是定义域总是给定函数中自变量的取值范围的集合；二是同一对应法则内的变量取值范围的集合相同. ⑷求函数解析式时忽视定义域致误. 例．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，则的解析式为 . 【答案】 【详解】令,因，故，且可得 故 所以. 故答案为：. 【易错警示】此题容易将结果写成，忽略了所求函数的定义域. 注意中的与中的的范围相同. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 目录 01复习目标 02考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 03网络构建 04必备基础知识梳理 考点1：函数的概念 考点2：函数的三要素 考点3：函数的表示法 考点4：分段函数 05必考题型精讲精练 题型一：函数的概念 题型二：同一函数的判断 题型三：给出函数解析式求函数的定义域 题型四：抽象函数定义域 题型五：函数定义域的应用 题型六：函数解析式的求法 题型七：求分段函数的函数值 题型八：分段函数的定义域和值域 题型九：由分段函数的函数值求参数 题型十：解分段函数不等式 06真题呈现（2025年--2021年真题） 07易错分析 ⑴忽视函数概念中的唯一性. ⑵对同一函数的理解不准致误. ⑶错误理解复合函数定义域的求法步骤. ⑷求函数解析式时忽视定义域致误. 复习目标 1.了解函数的含义； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列举法、解析法）表示函数； 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用. 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考题示例 考点分析 考情分析 2024年全国Ⅰ卷 求函数值、比较函数值的大小 高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查 不等式与函数的性质． 2022年北京卷 求函数的定义域 2022年北京卷 求分段函数的函数值、分段函数的值域 2022年浙江卷 求分段函数的函数值、根据分段函数的值域求参数的范围 2021年浙江卷 求分段函数的函数值 网络构建 必备基础知识梳理 1. 函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1. 直线与函数的图像至多有1个交点. 2. 在函数的定义中，非空实数集，即为函数的定义域、值域为的子集. 3. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集. 必考题型精讲精练 题型一：函数的概念 例1.⑴（2025·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ⑵（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． ⑶（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【解题方法总结】 ⑴函数的含义：函数概念中有两个要求：①是非空的实数集；②第一个集合中的每一个元素在第二个集合中有且只有一个元素与之对应. ⑵函数的表示方法：解析法、图像法、列表法. 练习：1．（24-25高三下·甘肃平凉·阶段练习）已知函数，若，则（   ） A． B． C．0 D．3 2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（多选）（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 6．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 8．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型二：同一函数的判断 例2．（2024高三·全国·专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 练习：1．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 2．（多选）（24-25高一上·贵州·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）下列函数相等的是（    ） A．函数与函数 B．函数与函数 C．函数与函数 D．函数与函数 题型三：给出函数解析式求函数的定义域 例3．（24-25高一下·湖南永州·期中）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 练习：1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 3．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 题型四：抽象函数定义域 例4．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 练习：1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·黑龙江·期末）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 题型五：已知函数的定义域求参数 例5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论． 练习：1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 2.（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 3．（2024·广东惠州·模拟预测）若函数定义域为，则实数 实数b的取值范围 ． 4．（23-24高三上·北京·期中）函数的定义域为，请写出满足题意的一个实数的值 ． 5．（2024高一·全国·专题练习）（1）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． （2）若函数的定义域为，则实数取值范围是 ． 题型六：函数解析式的求法 （一）配凑法 例：（2026高三·全国·专题练习）若函数，则（   ） A． B． C． D． 变式训练：（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． （二）换元法 例：（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 变式训练：（2024高三·全国·专题练习）若，则的解析式为 . （3） 待定系数法 例：⑴（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知是一次函数，且，求的解析式 ． ⑵．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知是二次函数，且，，则 ． （4） 解方程组法 例：（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练：⑴（2026高三·全国·专题练习）若函数满足，则 ． ⑵（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【解题方法总结】求函数解析式的常用方法： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法，当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （3）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （4）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 练习：1．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，则实数（   ） A．1 B． C． D．0或1 2．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高三上·河南周口·阶段练习）已知，则 . 4．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 5.（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 6．（24-25高一上·湖北·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数.求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 7．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 (1)是一次函数，且满足，求的解析式; (2)已知函数，求函数的解析式． (3)已知，求的解析式． (4)已知，则函数的解析式 (5)已知是上的增函数，若，则的解析式 题型七：求分段函数的函数值 例7．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题方法总结】 分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 练习：1．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则 ． 3．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 题型八：分段函数的定义域和值域 例8．⑴（2024高三·全国·专题练习）函数的定义域为 ． ⑵（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知. (1)求的值和满足的实数a的值； (2)求的定义域和值域. 【解题方法总结】 分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集 练习：1．（2024高三·全国·专题练习）如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）设，用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[2.1]＝2．函数被称为“取整函数”，也被称为“高斯函数”．已知函数，则的值域为 ． 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则函数的值域为 ． 4．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）如果规定表示不大于x的最大整数，试画出函数，的图象. 6．（多选）（21-22高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 题型九：由分段函数的函数值求参数 例10．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 练习：1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·甘肃金昌·二模）已知函数且，则（    ）. A．. B．. C．2. D．4. 3．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 4．（2025·广东深圳·二模）已知函数，若，则实数 ． 题型十：解分段函数不等式 1．（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】解分段函数不等式的方法： ⑴分区间讨论：根据分段函数的定义域，将原不等式转换为多个不等式组，注意严格遵循区间划分，明确每个区间的不等式及对应的自变量的范围、特别注意分界点处的函数值是否满足不等式. ⑵数形结合法：通过画出分段函数各区间图像，直观判断不等式成立的区域. ⑶利用函数的单调性：若分段函数在某一区间内具有明确单调性，可直接通过单调性转化不等式. 练习：1．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数的表达式为，则的解集为 . 2．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，已知，若，则的取值范围为 ． 3．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）设函数 ，则满足的的取值范围是 . 4．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数若，则m的取值范围是 ． 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 6．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集是 . 真题呈现（2025年--2021年真题） 1．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022年北京高考真题）函数的定义域是 ． 3．（2022年北京高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 4．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 5．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 易错分析 ⑴忽视函数概念中的唯一性. 例（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下列各图中，可作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【易错警示】此题易错选A，忽略了函数概念“对于定义域内每一个在值域中都有唯一元素与之对应”. ⑵对同一函数的理解不准致误. 例．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列每组中的函数不是同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【易错警示】此题易错选B，认为和不是同一函数，两函数定义域和对应关系相同即为同一函数，与自变量用什么字母表示无关. ⑶错误理解复合函数定义域的求法步骤. 例．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【易错警示】在复合函数中求抽象函数定义域有关问题时，由于没有告诉函数解析式，所以进行运算时要注意两个原则：一是定义域总是给定函数中自变量的取值范围的集合；二是同一对应法则内的变量取值范围的集合相同. ⑷求函数解析式时忽视定义域致误. 例．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，则的解析式为 . 【易错警示】此题容易将结果写成，忽略了所求函数的定义域. 注意中的与中的的范围相同. 学科网（北京）股份有限公司 $$