精品解析：上海市控江中学2024-2025学年高三下学期5月调研考试数学试卷

控江中学2025届高三语数英5月调研考试数学试卷 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数的定义域为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域. 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数定义域为. 故答案为： 2. 已知集合，集合，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的运算方法求交集 【详解】 如图所示，根据交集概率可知. 故答案为：. 3. 设.已知向量与向量满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知，解得. 故答案为：. 4. 设.已知(其中是虚数单位)，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. 5. 设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围. 【详解】因为，变形得， 所以，解得. 故答案为：. 6. 已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式可得结果. 【详解】平面截圆锥所得轴截面为边长2的正三角形，说明圆锥底面直径为2，母线长为2，故底面半径. 圆锥的侧面积为. 故答案为：. 7. 在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由各项系数和建立方程求得参数，根据二项式定理写出通项，可得答案. 【详解】由题意可知，解得， 由的二项展开式的通项为， 则含有项的系数为. 故答案为：. 8. 在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由面积求出正弦值，再用同角三角函数关系式求出，再用余弦定理得到，进而得到周长. 【详解】由于三角形的面积为，所以, 因为，故（锐角三角形）， 当时：， 则的周长为. 故答案为：. 9. 甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为_____. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件，根据独立事件的概率公式先求，再用即可求得结果. 【详解】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件， 则，所以. 故答案为：. 10. 已知随机变量，且等式对恒成立，则._____.(结果保留四位小数)(参考数据:，， 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求出可得，进而可得答案. 【详解】因为随机变量，且等式 对恒成立， ， 则，则， 所以 ，则， 又. 故答案为：0.9772. 11. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为__________. 【答案】 或. 【解析】 【分析】本题分两种情况求解：①当在双曲线的两支上时，先由正弦定理在三角形中由正弦定理得到，再由双曲线的定义得到，得到，最后在三角形中由余弦定理化简得到离心率为.②当在双曲线的左支上时，，，类比上一种情况求解得到离心率为 . 【详解】设双曲线的方程为， 则圆的方程为，直线与圆的切点为连接， ①如图所示，当在双曲线的两支上时， 由题可知， ， ，则 因为，所以； 在三角形中由正弦定理得到， 即，得到； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . ②如图所示，当在双曲线的左支上时， ，由正弦定理得； 由双曲线的定义得到，所以， 在三角形中由余弦定理得 ， 即，化简得到 . 此时，离心率为 . 故答案为： 或. 12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中，存在驻点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据驻点的定义，分别对函数求导，研究导数是否存在零点，可得答案. 【详解】对于A，求导可得，则函数不存在驻点； 对于B，求导可得，令，解得，则是函数的驻点； 对于C，求导可得，则函数不存在驻点； 对于D，求导可得，则函数不存在驻点. 故选：B. 14. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件. 【详解】当等号成立时，可知，两边同时平方得， 化简得，可得时等号成立，则一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用三角函数性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果. 【详解】解：由函数，存在常数，使得为偶函数， 则， 由于函数为偶函数， 故， 所以， 当时，. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题. 16. 已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，依据题目所给定义，判断命题真假. 【详解】解析：， ，带入，得，解得， ， 当，得， 化简得，又 若，则，，所以或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则，，所以（舍去）或（舍去）， 若，则， 因为，， 所以，故无整数解，所以①是真命题； 设，，所以②是真命题； 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. （1）求证:直线； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 由题意知，所以， 又因为，所以，所以； 又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又在平面内， 所以直线； （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理即可证明； （2）先证明平明，从而得到为直线与平面所成角，再在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，，平明，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 在中，因为， 所以 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 设常数.已知函数. （1）若，求在区间上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案； （2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案. 【小问1详解】 ，当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. 【小问2详解】 ，求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. 19. 为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”. （1）小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求； （2）小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下: 颜色 黑色 红色 白色 得分 +10 在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大. ①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望； ②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数? 【答案】（1） （2）① 10 5 . ②摸球次时，收益最大 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率计算公式可得结果； （2）①由古典概型的概率计算公式和期望的计算公式可得结果；②先计算得到每局的期望和总期望，然后利用换元和均值不等式求出结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 ①，则箱子中共有个球，其中黑、红及白， 由题意可知，的所有可能取值为10，5，，且 ， 所以其分布列如下： 10 5 . ②设小江应该设定摸球的次数为，则 每局期望为： 总期望为： 令 当且仅当时取等号，即，所以 所以小江应该设定摸球次时，收益最大. 20. 已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. （1）已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； （2）设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; （3）设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和性质求出椭圆方程，再根据题目条件求出双曲线方程； （2）根据等腰三角形的性质和椭圆方程可求出点的坐标； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立表示出弦中点的坐标，进而得到直线方程，再与双曲线方程联立，结合图形性质表示四边形面积即可求出最小值. 【小问1详解】 由椭圆定义得，， 的周长为，故. ，， . 【小问2详解】 ，，故. 若，设，则，解得， 点的坐标为. 若，设，则，解得或（舍），点的坐标为. 综上, 点的坐标为. 【小问3详解】 由题知：，. 直线不垂直于轴，设直线的方程为， 由得， ，故. 点在直线上，， 直线的方程为，即. 由得， 由得，且. 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， 直线的方程可化为，. 点在线段的两端，， 点在直线上， ， 四边形的面积为， . 令，， 在上单调递增， 当时，. 21. 设.已知. （1）若，求函数的值域； （2）若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； （3）若且函数有最小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）带入参数，求出函数解析式，根据函数单调性，求出函数值域. （2）构造函数，求出函数单调性和极值，找出方程有三个解的范围，求得参数范围. （3）根据函数求出导数，对参数进行分类讨论，求出函数单调区间，根据单调区间确定函数是否有最小值，确定参数范围. 【小问1详解】 若，，则 所以在单调递减，， . 【小问2详解】 关于的方程有且仅有三个实数解 ，化简得， 设 ， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减； 所以在处取得极小值为，在处取得极大值为 当时，，所以. 【小问3详解】 ， 令， 则，可知， 因为，可得， 当时，，单调递增，，所以在单调增，所以无最小值，不符题意； 当时，，且单调递增，时，；先单调递减后单调递增，，必有. 又当时，， 先单调递减后单调递增；，且，取值先负后正，先减小后增大，所以有最小值；符合条件. 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 控江中学2025届高三语数英5月调研考试数学试卷 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数的定义域为__________. 2. 已知集合，集合，则_____. 3. 设.已知向量与向量满足，则_____. 4. 设.已知(其中是虚数单位)，则_____ 5. 设.已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围为_____. 6. 已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____ 7. 在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为_____ 8. 在中，分别为角的对边.已知是一个面积为的锐角三角形，且，则的周长为______. 9. 甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为_____. 10. 已知随机变量，且等式对恒成立，则._____.(结果保留四位小数)(参考数据:，， 11. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为__________. 12. 已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为_______. 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列函数中，存在驻点的是（ ） A. B. C. D. 14. 设实数，则不等式的等号成立的一个充分不必要条件为（ ）. A. B. C. D. 15. 已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则可能的值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知是一个公差不为的等差数列，其前项和为.若存在正整数(其中)使得，则称具有性质，称有序数对是的一组“数对”，记由的全体“数对”所组成的集合为.关于命题①“若具有性质且，则”与命题②存在具有性质的及互不相同的正整数(其中且，使得且，下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面. （1）求证:直线； （2）求直线与平面所成角的大小. 18. 设常数.已知函数. （1）若，求在区间上的零点； （2）若在上严格增，求的取值范围. 19. 为吸引客流，某商场举办了“摸球赢好礼”活动，一共设置两关游戏.第一关游戏开始时，主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红共4个球，顾客从箱子中随机且不放回地依次摸出两个球，只要能摸出黑球，便可晋级第二关游戏“赢积分、换好礼”. （1）小江正在参与第一关游戏.记事件为“小江摸出的第一个球是红球”，事件为“小江晋级了第二关游戏”，分别求； （2）小江成功晋级第二关游戏.已知第二关游戏规则如下:游戏开始前，顾客要先决定好摸球的局数，而后主持人在空箱子中放入大小、形状完全相同的1黑、3红及白共个球，并充分搅匀.游戏过程中，顾客每局均从箱子里随机摸出一个球，确认颜色并按规则积分，然后把球放回箱子，充分搅匀后再进行下一局摸球，以此类推，直到摸完局球，第二关结束.记分规则如下: 颜色 黑色 红色 白色 得分 +10 在第二关中，顾客的初始积分为0分，将每一局所得积分累加得到最终积分.最终积分越高，所换取的礼品价值越大. ①若小江决定摸球的局数，求她在第二局中所得积分的分布与期望； ②为使最终的期望收益最大化，小江应该如何设定摸球的次数? 20. 已知椭圆的方程为、分别为椭圆的左、右焦点.双曲线的实轴为椭圆的长轴，的虚轴为椭圆的短轴.过作直线交椭圆于、两点. （1）已知的周长为，圆的焦距为，求曲线及的方程； （2）设.已知椭圆的上顶点为是上的一个动点，若是等腰三角形，且是该三角形的腰，求点的坐标; （3）设.已知直线与轴不垂直，弦的中点为，直线与双曲线交于、两点，求四边形面积的最小值. 21. 设.已知. （1）若，求函数的值域； （2）若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； （3）若且函数有最小值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $