湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高一下学期第三次（6月）月考数学试题

答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】交集及其运算 2．【答案】D 【知识点】余弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 3．【答案】A 【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型 4．【答案】C 【知识点】对数的性质与运算法则；函数零点存在定理 5．【答案】C 【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量 6．【答案】B 【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的性质 【解析】【解答】解：因为，，所以 ， 又因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以，即， 所以，即， 所以，即，因为，所以. 故答案为：B. 【分析】由题意，利用两角差的正弦公式结合三角形内角和化简为，再根据，求出的取值范围即可. 7．【答案】D 【知识点】斜二测画法直观图 【解析】【解答】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，，，在中，， 则三角形的周长为. 故选：D 【分析】本题考查斜二测画法.利用勾股定理可求出，将直观图还原为立体图，据此可得，，进而可求出，利用三角形的周长公式进行计算可求出答案. 8．【答案】B 【知识点】函数的奇偶性 9．【答案】B 【知识点】函数单调性的性质 【解析】【解答】解：由可知在定义域内为减函数，所以，解得：， 且还应满足，解得：， 综上所述：，即：， 故答案为：B. 【分析】本题考查单调性的综合应用，先通过判断出函数的单调性，再通过单调性确定分段函数各段的单调性，进而确定出对应的范围，但不能忽视端点处函数值得比较 10．【答案】D 【知识点】奇函数；函数的周期性；函数的值 【解析】【解答】因为，所以，即， 又当时，，则，所以． 所以当时，， 因为是奇函数，所以， 又，所以， 所以，即，即函数的周期为6， 所以．A，B，C不符合题意. 故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和周期函数的定义，进而求出函数的周期，再结合函数的周期求出函数的值。 11．【答案】B,C,D 【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】解：由向量，，， 可得， 若点A，B，C能构成三角形，即A，B，C不共线，则不共线，即，即， 故答案为：BCD. 【分析】由题意可知不共线，结合向量共线的坐标表示运算求解即可. 12．【答案】A,C 【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；利用数量积判断平面向量的垂直关系；共面向量定理 【解析】【解答】对A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能这两个向量为共线向量，即，A符合题意； 对B，若非零向量，，满足，，则与的关系不确定，B不符合题意； 对C，若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得A，B，C，D四点共面，C符合题意； 对D，因为向量=，所以，，共面，不是空间的一组基底，D不正确. 故答案为：AC. 【分析】利用已知条件结合平面向量的基底的判断方法，再结合向量共线定理、三角形法则和平面向量基本定理，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而找出真命题的选项。 13．【答案】A,C,D 【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系 14．【答案】 【知识点】扇形的弧长与面积 15．【答案】 【知识点】n次方根与根式；有理数指数幂的运算性质 【解析】【解答】解： . 故答案为：. 【分析】根据幂的运算法则以及根式运算性质化简求值即可. 16．【答案】1或-3 【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点 【解析】【解答】由 可得 ， 因为 的最小值为 ， 所以 是 的极值点，所以 ，所以 ； 当 时， ，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意； 由 可得 ， 令 ，可得 或 ， 当 时， ，由 可得 或 ；由 可得 ， 所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增， 所以 的极小值点为 ， 由题意可得 ，解得 ，此时 ； 当 时， ，由 可得 ；由 可得 或 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减， 此时 的极小值点为 ， 由题意可得 ， 解得 ，此时 ； 综上可知， 或 ， 故答案为：1或-3。 【分析】利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用函数零点的求解方法结合已知条件函数 的零点与极小值点相同， 从而求出a，b的关系式，再利用求导的方法求出函数的最小值，再结合已知条件函数 的最小值为 ，从而求出a，b的另一个关系式，再解方程组求出a，b的值，进而求出a+b的值。 17．【答案】（1） （2） 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；解三角形；三角形中的几何计算 18．【答案】（1） （2）{或4} 【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算 19．【答案】（1）解：向量，，且， 则， 由余弦定理得：， 因为，所以. （2）解：由余弦定理：，即，解得：， 因为，所以，所以. 【知识点】余弦定理；平面向量垂直的坐标表示 【解析】【分析】（1）根据向量的平行的坐标表示列式求得，结合余弦定理求值即可； （2）根据余弦定理求得，代入三角形面积公式即可求解. 20．【答案】（1）；（2）. 【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值 21．【答案】（1）解：当 时， ， ，此时函数 无零点； 当 时， ， 令 ，其中 ，则 ， 所以，函数 在 单调递减，所以， ， 所以，对任意的 ， ，则 ， 所以，函数 在 上为减函数， 因为 ， ， 所以，函数 在 上只有一个零点. 综上所述，函数 在 上只有一个零点 （2）解：由 得 ， 令 ， ， ， 令 ，则 ， 当 时， ，所以，函数 在 上单调递增， 当 时， ，此时 ，则函数 在 上单调递增， 当 时， ，则函数 在 上单调递减， 因为 ， ， 所以，存在 ，使得 ， 变形可得 ， 当 时， ，当 时， . 所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ，其中 ， 对于函数 ， ， ， 所以 在 递减，则 ， 故 ，所以 成立. 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数零点存在定理 【解析】【分析】(1)根据题意由零点的定义，结合导函数的解析式，由角的取值范围即可得到导函数的正负，利用零点存在性定理即可得出代入数值计算出结论，由此即可得证出结论。 (2)由已知条件即可得到不等式，构造函数结合导函数的性质即可得到函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可求出a的取值范围。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高一第三次月考 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递减，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（　　）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 4．设函数，则的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 5．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（　　） A．2 B．3 C． D．4 6． 已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 8．已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 9． 已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．已知奇函数的定义域为，，当时，，则（　　） A．-3 B．3 C．-2 D．2 二、多选题 11．已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　） A．0 B．1 C． D． 12．下列关于空间向量的命题中，正确的有（　　） A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面 D．若向量，，是空间的一组基底，则，，也是空间的一组基底 13．已知函数，则下列说法中正确的是（　　） A．的图象关于原点对称 B．的值域为 C．当时，桓成立 D．若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 三、填空题 14．已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为　 　． 15．计算：　 　． 16．已知函数 的最小值为 ，函数 的零点与极小值点相同，则 　 　. 四、解答题 17．在中，，在边上，且. （1）若，求的周长； （2）求周长的最大值. 18．已知 ，. （1）当 时，求 ； （2）若，求实数的取值范围. 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，，角的平分线交BC于，求AD的长. 20．（1），求； （2）已知（），求． 21．已知函数 ， . （1）讨论 在 内的零点个数. （2）若存在 ，使得 成立，证明： . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$