精品解析：广东省卓越教育发展联盟学校2024-2025学年高一下学期第二次阶段考试数学试题

卓越教育发展联盟学校2024~2025学年度第二学期高一级数学科 第二次阶段考考试 命题人：陈奕佳审题人：叶静 ★祝同学们测试顺利★ 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必填写答题卷上的相关信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内：如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回． 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题输出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内） 1. 设复数的共轭复数为，且满足，为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据复数相等结合复数除法，即可求得复数的虚部. 【详解】令，则， ∴，即复数的虚部是. 故选：A 2. 已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则或异面或相交，故A错误； 对于B，，则或异面，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，且，则或，故D错误. 故选：C. 3. 已知在中，，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解． 【详解】由已知得，则， 所以， 故选：D． 4. 如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ ） A. 五边形 B. 四边形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，作出截面，即可判断B，对的延长线与线段、（除点外）相交时截面为三角形 ，结合B即可判断A，利用特殊点判断C、D. 【详解】对于B：当的延长线与线段（除端点外）相交于点时，延长交的延长线于点， 连接交于点，连接， 此时过点、、作正三棱柱的截面为四边形（当在线段（除端点外）时截面也为四边形），故B正确； 对于A：当的延长线与线段、（除点外）相交 （或点在线段、（除点外）上时）截面为三角形， 结合B选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故A错误； 对于C：取的中点，连接、，又为线段的中点， 所以，所以为等腰三角形，故C正确； 对于D：取的中点，连接、， 因为三棱柱为正三棱柱，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面， 所以，所以为直角三角形，故D正确； 故选：A 5. 已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由线段的一个三等分点为，得或， 若，则，所以； 若，则，所以． 故选：B. 6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【答案】A 【解析】 【详解】作出该球轴截面的图像如下图所示，依题意，，设，故，因为，解得，故该球的半径，所以. 【考点定位】本题考查球体的体积公式，考查学生的空间想象能力. 7. 如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在图形中找出使向量 在向量 上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算求解. 【详解】由，得取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值， 则此时取得最大值，最大值为； 由，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时达到最小值， 所以的最大值与最小值的和为. 故选：C 8. 如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CD，交PE于点G，连接FG，由线面平行性质证明，再利用重心性质求解即可. 【详解】如图，连接CD，交PE于点G，连接FG， 因为平面PEF，平面ADC，平面平面，所以， 因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是的重心，所以. 故选：C. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分数，选错不得分） 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的定义，结合复数的乘法运算依次判断选项即可. 【详解】对于A，设， 则， 所以， 又，所以，故A正确； 对于B，设，满足，此时且，故B错误； 对于C，设，则，， 满足，而，故C错误； 对于D，由，则是的共轭复数，则，故D正确. 故选：AD. 10. 在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（） A. 对于任意的点， B. 存在点，使得平面 C. 存在点，使直线与直线共面 D. 存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质定理可得；对于B，当点为的中点时，有平面；对于C，易知直线与直线是异面直线；对于D，利用侧面展开图可求解最短周长. 【详解】对于A，因为平面平面， 平面平面， 平面平面， 由面面平行的性质定理得，故A正确； 对于B，当点为的中点时，有平面，证明如下： 由A可知，当点为的中点时，为的中点， 此时，，故四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，不论点在何位置，直线与直线永远为异面直线， 故直线与直线不可能共面，故C错误； 对于D，由A可知，同理可知，故四边形为平行四边形， 所以四边形的周长， 将矩形绕棱向内旋转90度，使矩形和矩形共面， 连接交于点，如下图所示： 故存在唯一的点E，使得最小，此时截面四边形的周长取得最小值，故D正确. 故选：ABD 11. 在中，内角，，所对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则 C. 若，且，则为直角三角形 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理、余弦定理得即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由三线合一结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断；对于D，由重心和外心重合即可判断. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得， 所以，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确； 对于B，若，当，时，则，故B不正确； 对于C，因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，． 又因为，即，因为，所以， 故，所以为等边三角形，故C错误； 对于D，因为，所以为的重心， 由知为的外心，故为等边三角形，故D正确. 故选：AD. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在复数范围内，方程的解为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法在复数范围内解方程即可. 【详解】由，则， 则，所以，即 故答案为：. 13. 如图，测量河对岸塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高_____m． 【答案】30 【解析】 【分析】由正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】由题可知， 由正弦定理可得 所以 故答案为：30 14. 甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 【答案】 【解析】 【分析】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可. 【详解】如图所示，分别取，的中点，，连结，， 则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体棱长为1，则由勾股定理可得． 所以在等腰三角形中，． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，，在上的投影向量； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) , , 在上的投影向量为： ; (2) 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的定义，向量数量积的运算性质和投影向量的定义直接求解即可. （2）先求，再由向量的夹角的计算公式可得答案. 【详解】（1），所以 ，所以 在上的投影向量为： （2） 设向量与夹角为，则 16. 如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． （1）求该多面体的体积； （2）求证：平面； （3）判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 【答案】（1）20 （2）证明见解析 （3）直线直线，证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过长方体体积和截去三棱锥体积即可求解； （2）由，即可求证； （3）由平面，结合平面平面，即可求证. 【小问1详解】 长方体的体积为， 被截去的三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为． 【小问2详解】 证明：在长方体中矩形中，∥，， 所以四边形为平行四边形． 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问3详解】 直线直线 证明：由（2）有平面， 又平面，平面平面， 所以. 17. 在锐角中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，已知． （1）求角； （2）设为的垂心，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可； （2）设边上得高为，边上得高为，为的垂心，分别在和中利用正弦定理求出，再利用三角恒等变换化简，结合三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， ，， 由余弦定理得，即，即， 又； 【小问2详解】 如图，设边上得高为，边上得高为，为的垂心， 在中，，在中，， 不妨设，则， 在中，由正弦定理得，，整理得：， 同理在中由正弦定理得， 所以， 又，所以， 所以的取值范围为． 18. 已知一块正三棱台木料如图所示，点为的重心，且，． （1）要经过点将木料锯开，使截面平行于平面，在木料表面应该怎样画线，并说明理由； （2）写出一种切割方式，要求过点，将（1）问中较大的几何体，切割出与较小木料体积相同的木料. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解． （2）设棱台的高为，求出正三棱台和正三棱台的体积，两者相减较大几何体的体积，注意到较大几何体中过点和做截面，被截面截得的另一个几何体体积和较小木料的体积相同.因此沿着截开即可． 【小问1详解】 如图，在平面内过点作直线，使，分别交棱，于点，， 取棱，中点，，连接，，， 则，，，就是应画的线． 下面证明： 因为，平面，平面， 所以平面， 因为点为的重心，，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，，，平面， 所以平面平面，即所作截面平行于平面． 【小问2详解】 设棱台的高为，面积为，则， 正三棱台体积为， 正三棱台体积为． 所以被截面截得的另一个几何体体积为． 过点和做截面，即连接，， 因为，所以几何体为棱柱， 所以，所以被截面截得的另一个几何体体积为， 因此沿着截开即可.（答案不唯一）． 19. 在中，分别为角所对的边，. （1）求角； （2）若的内切圆半径为，求边长； （3）若为钝角三角形，点为平面内一点且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及同角三角的基本关系式，转化求解即可； （2）由余弦定理得：，又，设的内切圆半径为，则，因为的面积，可得，解方程可求解； （3）由题意可得为外接圆圆心，利用余弦定理及得，由是钝角三角形，得到，结合正弦定理求解外接圆半径的取值范围即可. 【小问1详解】 由正弦定理及得： ， 因为角是的内角， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得：， 又，所以①， 设的内切圆半径为，则， 因为的面积， 所以，即， 整理得，即， 因为，解得. 【小问3详解】 因为点为平面内一点， 设点为的中点，点为的中点， 则， 又， 所以， 所以为线段和垂直平分线的交点，即为外接圆圆心， 因为是钝角三角形，由，可知角为钝角，所以， 即，得②， 由①②可得，解得，所以， 由，得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 卓越教育发展联盟学校2024~2025学年度第二学期高一级数学科 第二次阶段考考试 命题人：陈奕佳审题人：叶静 ★祝同学们测试顺利★ 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1、答卷前，考生务必填写答题卷上的相关信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上． 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内：如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回． 一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题输出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的序号填在括号内） 1. 设复数的共轭复数为，且满足，为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 3. 已知在中，，，则值为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 如图，正三棱柱的所有边长都相等，为线段的中点，为侧面内的一点（包括边界，异于点），过点、、作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（ ） A. 五边形 B. 四边形 C 等腰三角形 D. 直角三角形 5. 已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 7. 如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足平面PEF，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二．多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，部分选对得部分分数，选错不得分） 9. 若，，则下列结论正确的是（ ） A B. 若，则或 C. 若，则 D. 若，则 10. 在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，给出的四个结论，正确的是（） A. 对于任意的点， B. 存在点，使得平面 C. 存在点，使直线与直线共面 D. 存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则 C. 若，且，则为直角三角形 D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在复数范围内，方程的解为_____ 13. 如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高_____m． 14. 甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，，在上的投影向量； （2）求向量与夹角余弦值． 16. 如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． （1）求该多面体的体积； （2）求证：平面； （3）判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 17. 在锐角中，角，，的对边长分别为，，，的面积为，已知． （1）求角； （2）设为的垂心，且，求的取值范围． 18. 已知一块正三棱台木料如图所示，点为的重心，且，． （1）要经过点将木料锯开，使截面平行于平面，在木料表面应该怎样画线，并说明理由； （2）写出一种切割方式，要求过点，将（1）问中较大的几何体，切割出与较小木料体积相同的木料. 19. 在中，分别为角所对的边，. （1）求角； （2）若的内切圆半径为，求边长； （3）若为钝角三角形，点为平面内一点且满足，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $