精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

2025年上学期高一第三次月考 数学 一、单选题 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 5 已知向量，，若，则（ ） A. 4或2 B. C. 2 D. 2或 6. 已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（ ） A. 1－3i B. 3－i C. 3＋i D. －1＋3i 7. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 在△ABC中，，E为AC的中点，则 B. 已知，若与的夹角是钝角，则 C. 在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 D. 在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形 11. 已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（ ） A. 若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B. 若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C. 若，，则集合A具有性质 D. 若，且奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 三、填空题 12. 已知向量满足，则__________. 13. 已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是__________． 14. 将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为__________；若有解，则的最大值为__________. 四、解答题 15. 设 （1）分别求 （2）若，求实数的取值范围 16. （1）计算：; （2）若，求下列式子的值： ①; ②. 17. 已知命题p：“”为假命题，设实数a所有取值构成的集合为． （1）求集合A； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 18. 函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调递减区间及对称轴． 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 20. 2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人，并按年龄段分成6组，如频率分布直方图所示.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题，回答问题的正确情况如表格所示. 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 5 0.5 第2组 18 第3组 0.9 第4组 9 036 第5组 3 0.2 根据上述信息，解决下列问题： （1）求表格中，的值，并估计抽取的100人的年龄的中位数（中位数的结果保留整数）； （2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求这2人都不在第2组的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高一第三次月考 数学 一、单选题 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 2. 平面直角坐标系中，已知点，，则与同方向的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坐标得出向量坐标，再结合单位向量及同方向计算求解. 【详解】点，，， ，与同方向的单位向量是， 故选:A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以， 故选：B 4. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，分析集合中的元素，即可得到结果. 【详解】由题意得，. 对于集合，当时，，当为其他整数时，， 所以. 故选：D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 4或2 B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】由，则，得. 故选：C 6. 已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（ ） A. 1－3i B. 3－i C. 3＋i D. －1＋3i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义以及向量的线性运算即可求解. 【详解】根据复数的几何意义可知, 设，则由，所以,因此对应的复数为：3＋i 故选：C 7. 下列函数在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于BCD，根据各个选项观察均是向右平移两个单位长度的形式，根据原函数的单调区间可以判断平移后的单调区间，进而判断上的单调性得到结论，而根据二次函数的单调性可判断A的正误. 【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意. 故选. 8. 已知向量，满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设向量，夹角为，由已知可得，根据数量积的定义以及运算律将其展开化简可得，结合的范围即可得的取值范围. 【详解】由可得即， 设向量，夹角为，则， 由数量积的定义可得：， 因为，所以， 所以， 当时，显然成立； 当时，可得， 因为，所以，因为， 所以，即，可得， 所以， 所以的取值范围是：， 故选：B. 二、多选题 9. 下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据根式与指数幂的运算，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 在△ABC中，，E为AC的中点，则 B. 已知，若与的夹角是钝角，则 C. 在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则 D. 在△ABC中，若与满足，则△ABC是等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来再判断，对于B，由题意可知，且两向量不共线，从而可求出的范围，对于C，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积求解，对于D，由向量的加法法则判断. 【详解】 对于A，因为中，为的中点， 所以， $，所以A正确； 对于B，因为与的夹角是钝角， 所以，且两向量不共线， 由得， 得，当与共线时， 得，所以当与的夹角是针角时且，所以B错误， 对于C， 如图，以为原点建立直角坐标， 则由题意可得， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，因为与是非零向量， 所以所在的直线平分， 因为， 所以， 所以是等腰三角形，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（ ） A. 若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B. 若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C. 若，，则集合A具有性质 D. 若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC：根据性质的定义直接判断即可；对于D：结合选项C判断性质，分和两种情况，判断；分和两种情况，判断. 【详解】A选项，显然，，且，所以A正确； B选项，，，但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误； C选项，因为，，是中元素的最小者， 可知集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质，所以C正确； D选项，因为，且为奇数，是中元素的最小者， 可知集合A中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质， 是中元素的第二小者， 1.若，因为，则，所以集合A具有性质； 2.若，则A集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质； 综上所述：集合A具有性质. 因为为奇数，则 ①若，则，此时； ②若，则，此时； 综上：集合不具有性质，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 三、填空题 12. 已知向量满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为： 13. 已知函数存在4个零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方程根的数量转化为函数图像的交点个数，利用复合函数结合图形共同分析可以求解. 【详解】转化为有四个解， 即在范围内有四个解， 即在范围内有四个解， 即在范围内有四个解， 即在范围内有四个解， 令， 则， 令得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 做出大致图像如下： 令， 则原方程转化， 令， ， 令得， 当时，，当时，， 所以在递减，在递增， 做出大致图像如下： 所以时，对应解出两个值， 从而对应解出四个值， 故答案为：. 14. 将个棱长为1的正方体如图放置，其中上层正方体下底面的顶点与下层正方体上底面棱的中点重合.设最下方正方体的下底面的中心为，过的直线与平面垂直，以为顶点，为对称轴的抛物线可以被完全放入立体图形中.若，则的最小值为__________；若有解，则的最大值为__________. 【答案】 ①. 4 ②. 2 【解析】 【分析】将命题转化为对任意的，在时恒有成立，然后研究不等式，再次转化为，且，最后根据题目要求讨论即可. 【详解】抛物线的一部分可以被完全放入立体图形中， 当且仅当对任意的，在时恒有成立. 即对任意的，有，，此即，. 这等价于，且对任意的，有. 由于当时必有，故条件等价于，且当时，必有. 这等价于，且当时，必有，即，令 即，且当时，有 当时，由于关于递增， 故条件等价于，且. 回到原题. 当时，条件等价于，所以的最小值为； 若有解，则等价于或，即，解得. 结合是正整数，知的最大值为. 故答案为：4；2. 【点睛】关键点点睛：将几何问题转化为代数问题进行解决，即当且仅当对任意的，在时恒有成立. 四、解答题 15. 设 （1）分别求 （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，直接计算集合交集并集与补集； （2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围. 【小问1详解】 解：解不等式可得，， 所以，或，或； 【小问2详解】 解：由可得，且， 所以，解得，即. 16. （1）计算：; （2）若，求下列式子的值： ①; ②. 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出所求代数式的值； （2）①②利用平方关系可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式； （2）①因为，则，所以，； ②由已知可得，因此，. 17. 已知命题p：“”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为． （1）求集合A； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题的真假性列不等式来求得的取值范围，从而求得集合. （2）根据充分不必要条件、对进行分类讨论来求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，命题p：“”为假命题， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由于是的充分不必要条件，所以， 当，即时，，满足. 当，即时，要使， 则需且两个等号不能同时成立， 解得，所以的取值范围是. 18. 函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求在上的单调递减区间及对称轴． 【答案】（1）； （2）单调减区间为；对称轴方程为和 【解析】 【分析】（1）由函数图像得，计算得周期，从而得，再代入最大值计算可得值，从而可得函数解析式；（2）由整体法计算函数的单调递减区间和对称轴方程，然后结合的范围，可得答案. 【小问1详解】 由图可得，周期为，所以， 因为，所以； 根据图像可得，解得， 因为，所以，所以 【小问2详解】 令， 解得， 令， 解得对称轴方程为：； 所以单调递减区间为； 对称轴方程为： 所以在上的单调减区间为； 在上的对称轴方程为和 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【小问1详解】 证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 ①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. 20. 2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人，并按年龄段分成6组，如频率分布直方图所示.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题，回答问题的正确情况如表格所示. 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 5 0.5 第2组 18 第3组 0.9 第4组 9 0.36 第5组 3 0.2 根据上述信息，解决下列问题： （1）求表格中，的值，并估计抽取的100人的年龄的中位数（中位数的结果保留整数）； （2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求这2人都不在第2组的概率. 【答案】（1），；42岁 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得，，再求出频率0.5对应的值即为中位数； （2）由频率分布直方图求出人数，再由分层抽样的定义求出相应的人数，然后用列表法列出样本空间中样本点，计数后计算出概率. 【小问1详解】 ， ， 第1、2、3组的频率依次为：0.1，0.2，0.3， 因为的频率为，的频率为 设中位数为，则 ，解得 所以中位数的估计值为42岁. 【小问2详解】 由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人， 所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为，； 第3组抽取（人），记为，，；第4组抽取（人），记为 法一：该试验的样本空间为 ， 记事件“这2人都不在第2组”，则， 故，即这2人都不在第2组的概率为； 法二：从这6人中随机依次抽取2人，则样本空间包含的样本点个数为， 记事件“这2人都不在第2组”，则事件包含的样本点的个数为， 故，即这2人都不在第2组的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$