第11章“反比例函数”专题突破2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版数学八年级下册“反比例函数”专题突破 1、 选择题： 1.对于函数，下列说法错误的是(    ) A. 它的图象分布在第二、四象限 B. 它的图象是中心对称图形 C. 的值随的增大而增大 D. 点是函数图象上的点 2.反比例函数的图象如图所示，点是其图象上的一点，轴，已知的面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 第2题 第5 题 第6 题 第 7题 3.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应(    ) A. 不小于 B. 不大于 C. 不小于 D. 不大于 4.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为(    ) A. B. C. D. 5.如图，一次函数与函数的图象相交于点，下列说法错误的是(    ) A. 两图象的交点的坐标为 B. 一次函数与反比例函数都随的增大而增大 C. 若，则的取值范围是或 D. 连接、，则的面积是 6.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7.如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，轴于点，的垂直平分线与轴交于点，与函数的图象交于点，连接，，，，则四边形的面积等于(    ) A. B. C. D. 8.如图，和均为正三角形，且顶点、均在双曲线上，连接交于，连接，则图中是(    ) A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，把点绕着顶点顺时针旋转的对应点落在一次函数图象上，则代数式的值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，等边三角形，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点的纵坐标为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 第 8题 第 10题 第 13题 第 14题 二、填空题： 11.已知反比例函数的图象在第二、第四象限，则的取值范围是           12.点，是反比例函数的图象上两点，若，则、的大小关系是______． 13.如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点若，则点的坐标是          ． 14.如图，点，分别在反比例函数和的图象上，点，在轴上若四边形为正方形，则点的坐标为______． 15.如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是，则的面积是____． 16.如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于、两点，已知面积为，则的值为______． 第 15题 第 16题 第17 题 第18 题 17.如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若轴，点的横坐标为，则______． 18.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，另有一次函数与、图象分别交于、两点点在直线的上方，且，则          ． 三、解答题 19.如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、点． 求反比例函数与一次函数的表达式； 点为轴上一个动点，若，求点的坐标． 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求的值． 20.如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 若，求与的值； 关于的不等式的解集为______________； 连接，，若的面积为，则的值为____． 21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点，点的坐标为，点的横坐标为 求及的值； 连接，，求中边上的高； 结合图象直接写出不等式的解集． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． 点的坐标为______；用含的代数式表示 若，求点的坐标； 若的面积为时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 23.小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间分成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题： 当时，求水温与开机时间分的函数关系式； 求图中的值； 有一天，小明在上午：水温，开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好：，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在：：这段时间里，水温共有几次达到？ 24.如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． 求与的函数表达式； 观察图象，当时，的取值范围是______； 将直线向上平移个单位长度，与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，连接若的面积为，求的值． 25.如图由平面直角坐标系第一象限内一点，向坐标轴分别作平行线得到矩形，在矩形边上取一点，作经过点的双曲线交边于点，连接、． ____； 求证： ； 若关于作点的对称点，且点正好落在轴上，连接并延长交轴于点，求的面积请用只含字母的代数式表示． 26.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，已知点在反比例函数图象上． ______； 若点关于点的对称点也在反比例函数图象上，求此时点的坐标； 若点绕点顺时针旋转所得对应点刚好落在轴的正半轴上，求线段的长． 27. 如图，直线轴于点，且与反比例函数及反比例函数的图象分别交于点、． 若，，连接、． 的面积为______； 当时，求点的坐标． 若点，过点作轴的平行线，与一次函数的图象交于点，点在直线的左侧若和变化时，的值始终不变，求对应的值． 28.对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函数”例如：对于函数和，则函数，的“和函数”． 已知函数和，这两个函数的“和函数”记为； 写出的表达式，并求出当取何值时，的值为； 函数，的图象如图所示，则的大致图象是____ 已知函数和，这两个函数的“和函数”记为， 下列关于“和函数”的性质，正确的有______；填写所有正确的选项 ．的图象与轴没有公共点 ．的图象关于原点对称 在每一个象限内，随的值增大而减小 当时，随着的值增大，的图象越来越接近的图象 探究函数与一次函数为常数，且图象的公共点的个数及对应的的取值范围，直接写出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，它的图象分布在第二、四象限，正确，不符合题意； 、此函数是反比例函数，它的图象是中心对称图形，正确，不符合题意； 、，它的图象分布在第二、四象限，在每一象限内的值随的增大而增大，原说法错误，符合题意； 、当时，，点是函数图象上的点，正确，不符合题意． 故选： 根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：根据题意可知：， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， ． 故选：． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 3.【答案】  【解析】【分析】设函数解析式为，把时，代入函数解析式求出值，代入值即可得到有关的不等式，从而确定正确的答案． 【解答】解：设函数解析式为， 当时，， ， ， 气球内的气压大于时，气球将爆炸， ， 解得：，即气球的体积应不小于． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：，点，都在第二象限，随的增大而增大， ， ， 又在反比例函数的图象上，且在第四象限， ， ． 故选：． 反比例函数为常数中，当时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大．根据这个判定则可． 本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，需重点掌握． 5.【答案】  【解析】解：函数过点，把点坐标代入得：， ， 把点坐标代入得：， ， 故A正确； 反比例函数随的增大而减小，故B错误； 若，则的取值范围是或，故C正确； 点坐标， 的面积 ，故D正确． 故选：． 根据一次函数解析式求出点坐标，解，得出，，将点坐标代入，求出一次函数的解析式；再求出点的坐标，然后将点坐标代入，求出反比例函数解析式； 先联立直线与双曲线的解析式，求出点坐标，再根据即可求解； 观察图象可得不等式的解集． 此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，锐角三角函数的定义，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，注意数形结合思想的运用． 6.【答案】  【解析】解：根据题意，可知的值即为该校的优秀人数， 描述乙、丁两学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两学校的优秀人数相同， 点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， 丙学校的的值最大，即优秀人数最多，甲学校的的值最小，即优秀人数最少， 故选：． 根据题意可知的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定丙学校的优秀人数最多，甲学校的优秀人数最少，乙、丁两学校的优秀人数相同． 本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：设、交于点， 点在函数的图象上， 可设点的坐标为， ， 垂直平分， ， 又轴， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 点在函数的图象上， 点的横坐标应为， ， ， 四边形的面积， 将，代入上式得： 四边形的面积 故选： 设点的坐标为，由垂直平分得出，利用四边形的面积计算即可． 本题主要考查了反比例函数系数的几何意义以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是设出点和点的坐标． 8.【答案】  【解析】提示：由和均为等边三角形可知，所以，所以如图，过点作于点，则因为点在反比例函数的图像上，所以，所以． 9.【答案】  【解析】解：在一次函数图象上， ， ， 的坐标是由绕着顶点顺时针旋转得到的， ， 是反比例函数图象上的一点， ， ． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：由题意，如图，作轴于，再作于． 设， 轴，， ． ， 点的纵坐标为，点在上， ． ，． ． 又在上， ． ． ． 舍去或． ． 等边的面积为． 故选：． 依据题意，作轴于，再作于，设，结合轴，，可得，从而，，又点的纵坐标为，点在上，从而可得进而求出，又在上，故，求出后可得的值，进而计算可以得解． 本题主要考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 11.【答案】  【解析】【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，，解不等式即可得结果． 【解答】解：反比例函数的图象在第二、第四象限， ， 则． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据判断两点是否在函数图象的同一个分支上，再由函数的增减性即可解答． 本题比较简单，考查的是反比例函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握反比例函数的增减性． 【解答】 解：反比例函数中，，此函数的图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，，、两点均在第三象限， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，根据菱形的对称性表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标． 【解答】解：设菱形的边长为， ， 是等边三角形， 点的坐标为， ， 反比例函数的图象经过菱形的顶点， ， 负数舍去， 菱形的边长为， 点的纵坐标为， 把代入得，， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：点，分别在反比例函数和的图象上， ，， ， ， 又， ， 点在第二象限， 点， 故答案为：． 根据反比例函数系数的几何意义求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再求出的长即可． 本题考查反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义以及正方形的性质是正确解答的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】根据和的位似比是：，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得的面积是． 【解答】解：点与点是对应点，原点是位似中心 和的位似比是： 和的面积的比是： 又的面积是， 的面积是． 16.【答案】  【解析】解：设的图象与轴的交点为，连接， 令，则， ， ， 直线与直线平行， ， ， ， 把代入，求得， ， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：． 设的图象与轴的交点为，连接，求得点的坐标，即可求得，利用三角形面积求得的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：连接交于，延长交轴于，连接、，如图： 四边形是正方形， ． 设，， 轴， ，． ，都在反比例函数的图象上， ． ， ， ． 在反比例函数的图象上，在的图象上， ，， ， 故答案为：． 连接交于，延长交轴于，连接、，由四边形是正方形，设，，由轴，可以表示点，的坐标，可求得，的关系，再由在反比例函数的图象上，在的图象上，即可解答本题． 本题考查反比例函数的图象及应用，涉及正方形的性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标． 18.【答案】  【解析】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，  令，， ， 令， ， ， ， 是等腰三角形， ，   ， ， ， ， 过点作于点， ， 设，则，， ， ， ， 则， 点在反比例函数上， ． 故答案为： 设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，由此可得是等腰三角形，含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论． 本题属于反比例函数与一次函数交点问题，含的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键． 19.【答案】解：把代入得， 反比例函数解析式为， 把代入得，则， 把、代入得，解得， 一次函数解析式为； 设与轴的交点为，易得，设， ， ，解得，． 点的坐标为或； 由题意得， 方程变形为， 平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点， ， 解得，， 即的值为．  【解析】先把点坐标代入中求出得到反比例函数解析式为，再利用反比例函数解析式确定，然后利用待定系数法求一次解析式； 设一次函数图象与轴的交点为，易得，设，利用三角形面积公式，利用得到，然后解方程求出即可得到点的坐标； 由平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，则方程只有一个解，然后利用判别式的意义得，最后解关于的方程即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 20.【答案】解：当时， 将代入得，解得． 反比例函数的表达式为． 将代入得． 如图， 观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的范围即可， 所求不等式的解集为或． 故答案为：或． 如图， 分别过、向轴，轴作垂线交于点，交轴于，交轴于， ． ． 又，在的图象上， ，． ． ． 故答案为：．   【解析】【分析】依据题意，将点坐标代入，可得的值，再将代入反比例函数解析式，可得的值； 依据题意，通过图象观察，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的自变量的范围即可得解； 依据题意，分别过、向轴，轴作垂线交于点，交轴于，交轴于，进而可得关于，的式子，然后再由，在反比例函数图象上可以得解． 21.【答案】【小题】 解：点在函数的图象上， ，即， 在反比例函数的图象上， ， ； 【小题】 一次函数解析式为，令，得， 点的坐标是， ， 解方程组得：或 点的坐标为， ， ， 设中边上的高为， ，即， ， 故中边上的高为； 【小题】 由图象可知不等式组的解集为或    【解析】  把点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；   解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出点的坐标，求出点的坐标，再根据勾股定理求得，根据三角形面积公式求得的面积，进而利用面积公式求得中边上的高；   根据图象即可求出答案． 本题考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键，用了数形结合思想． 22.【答案】；   ；   ．  【解析】解：点， 直线为， 点是线段上的一个动点，点的横坐标为， ， 故答案为：； 延长，交轴于， 轴， 轴， 作轴于，作于， ， ， ， ， ，， ≌， ，， ，， ， ，， 点， ，， ，即； 的面积为， ，即， ， ， 而， 点、在反比例函数的图象上， ， 整理得，， 解得或舍去， ， ． 求得直线的解析式，即可求得点的坐标特征； 延长，交轴于，作轴于，作于，通过证得≌，即可得到，，由点，得到，即； 表示出、的坐标，根据反比例函数系数列方程求得的值，进一步即可求得的值． 本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出、的坐标是解题的关键． 23.【答案】解：由图象可知，当时是一次函数， 设将、代入得： ，解得， 水温与开机时间分的函数关系式为：； 在水温下降过程中，设水温与开机时间分的函数关系式为，依据题意得：即， 反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； 由，结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， ：到：经历时间为分钟， ，， 当时，， 答：饮水机内水温约为，共有次达到．  【解析】待定系数法求出一次函数解析式即可； 先求出反比例函数解析式，再将代入解析式解答即可； 根据题意知每分钟图象重复出现一次，总时间除得到水温达到的次数，余数再代入一次函数解析式即可得到水温． 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是关键． 24.【答案】，；   或；   ．  【解析】解：将点代入，得：， 反比例函数的解析式为：， 将点代入，得， 点的坐标为， 将点，代入， 得：，解得：， 一次函数的解析式为：； 的图象的图象交于，， 当时，的取值范围是：或； 连接，，过点作轴于，过点作轴于，如图： 点，， ，， 直线向上平移个长度单位得到，与轴交于， ，， 和同底等高， ， ， 解得：． 将点代入求出的值即可得出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的解析式求出点，然后再将点，代入，求出处与即可得出一次函数的解析式； 根据一次函数与反比例函数图象的交点，，结合函数的图象即可得出的取值范围； 连接，，过点作轴于，过点作轴于，根据点，得，，再根据平移的性质得，，由此得和同底等高，则，然后根据列出关于的方程，最后解方程求出即可． 此题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，一次函数的平移，三角形的面积，难点是数形结合思想、方程思想在解题中的应用． 25.【答案】【解答】解：，且四边形为矩形， ，， ； 由图知：，， 代入，得，， ，，； ，， ， ， ； 如图：连接、， 则于对称，垂直平分， ， ，； ；  ，， ， ，， ， ； ， ， ， 又中，， ， 解得：代入解得， ．   【解析】【分析】根据，由于轴，轴得四边形为矩形，则，，即可求得的值； 根据已知可得点的纵坐标与点的纵坐标相同为，点的横坐标与点的横坐标相同为，由于和点在曲线上表示出点和点的坐标， 再表示出的长，的长看三角形和三角形的边对应边是否成比例，根据平行线分线段成比例即可证得； 26.【答案】； 设， 点的坐标为， 点关于点的对称点为， 点也在反比例函数图象上， ， ， ； 过点作轴于点，作轴于点，将绕点顺时针旋转，得，延长交轴于点，则， 设， ，， ，， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 解得，舍， ，， ， ， ， ， ， ．  【解析】解：点在反比例函数图象上， ． 故答案为：； 设， 点的坐标为， 点关于点的对称点为， 点也在反比例函数图象上， ， ， ； 过点作轴于点，作轴于点，将绕点顺时针旋转，得，延长交轴于点，则， 设， ，， ，， ， 点的坐标为， ， ， ， ， 解得，舍， ，， ， ， ， ， ， ． 利用待定系数法求得即可； 设，根据题意得到为，代入即可求得的值，从而求得点的坐标； 过点作轴于点，作轴于点，将绕点顺时针旋转，得，延长交轴于点，则，设，用表示和，再在，根据三角函数关系列出的方程求得，进一步求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得． 本题考查了反比例函数的图象与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，勾股定理等，解题关键是构造直角三角形，运用解直角三角形列出方程．难度极大，充分利用度角为突破口． 27.【答案】  【解析】解：如图， 当，时，，， 的面积； 故答案为：； 如图，设点的坐标为，则的坐标为， ， ， ， ， 轴， ， ，， ， 解得：负值舍， ； 如图， ， ，， ， 轴， 点的纵坐标为， 与一次函数的图象交于点， ， ， 点在直线的左侧， ， ， 和变化时，的值始终不变， ， ． 根据反比例函数的几何意义可解答； 设点的坐标为，则的坐标为，根据勾股定理可解答； 根据轴可知：点，，的横坐标相等，可表示，，则，计算的长，根据和变化时，的值始终不变，可得，从而可以解答． 本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的几何意义，用坐标表示线段的长，反比例函数上点的坐标，解题的关键是正确理解的几何意义，本题属于中等题型． 28.【答案】解：， 当的值为，即， 两边同乘，得：， 解得，． 经检验，都是方程的解． 当或时，的值为； 依据题意，画出函数大致图象， 即可发现，选项符合题意． 故选：． ，， ， 当时，，所以图象与轴有公共点，该选项错误； 任选上的一点， ，关于原点对称点，代入得出： ，成立，故在上，所以的图象关于原点对称，该选项正确； 当时，，当时，，此时随的增大而增大，该选项错误； ．，随着的增大，越趋近于，即和的图象越接近，该选项正确， 故选：． 由题意，如图， 当且且时，公共点的个数为； 当或时，公共点的个数为； 当时，公共点的个数为．   【解析】【分析】由题意，可得出的表达式，进而可以列出方程，然后得解；依据题意，画出图象即可判断得解； 由图象可以逐一判断得解；依据题意利用数形结合可以分析进而得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 8页 2024-2025 学年苏科版数学八年级下册“反比例函数”专题突破 一、选择题： 1.对于函数� =− 2�，下列说法错误的是( ) A.它的图象分布在第二、四象限 B.它的图象是中心对称图形 C. �的值随�的增大而增大 D.点( − 1,2)是函数图象上的点 2.反比例函数� = ��的图象如图所示，点�是其图象上的一点，�� ⊥ �轴，已知△ ���的面积为 6，则�的值 为( ) A. −6 B. 6 C. −12 D. 12 第 2题 第 5题 第 6题 第 7题 3.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强�(��)是气球体积�(�3)的反 比例函数，且当� = 1.5�3时，� = 16000��，当气球内的气压大于 40000��时，气球将爆炸，为确保气球 不爆炸，气球的体积应( ) A.不小于 0.5�3 B.不大于 0.5�3 C.不小于 0.6�3 D.不大于 0.6�3 4.若点�( − 3, �)，�( − 1, �)，�(2, �)都在反比例函数� = �� (� < 0)的图象上，则�，�，�的大小关系用“<” 连接的结果为( ) A. � < � < � B. � < � < � C. � < � < � D. � < � < � 5.如图，一次函数�1 = � + �与函数�2 = � � (� ≠ 0)的图象相交于点�(1,2)，�( − 2, �).下列说法错误的是( ) A.两图象的交点�的坐标为( − 2, − 1) B.一次函数�1与反比例函数�2都随�的增大而增大 C.若�1 > �2，则�的取值范围是−2 < � < 0 或� > 1 D.连接��、��，则△���的面积是32 第 2页，共 8页 6.某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校 优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)�与该校参加竞赛人数�的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰 好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最少的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 7.如图，在平面直角坐标系中，点�在函数� = 2� (� > 0)的图象上，�� ⊥ �轴于点�，��的垂直平分线与� 轴交于点�，与函数� = 2� (� > 0)的图象交于点�，连接��，��，��，��，则四边形����的面积等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3 8.如图，△ ���和△ ���均为正三角形，且顶点�、�均在双曲线� = 6� (� > 0)上，连接��交��于�，连接��， 则图中�△���是( ) A. 6 B. 3 C. 6 D. 12 9.在平面直角坐标系中，�是反比例函数� = 2� (� < 0)图象上的一点，把点�绕着顶点�顺时针旋转 90°的 对应点�1(�, �)落在一次函数� =− 3� + 1 图象上，则代数式 2 �+ 6 �的值是( ) A. 2 B. 2 2 C. − 2 D. −3 2 10.如图，等边三角形���，点�，�在反比例函数� = 12 3� (� > 0)的图象上，��//�轴，已知点�的纵坐标 为 2，则△ ���的面积是( ) A. 6 3B. 8 3 C. 12 3 D. 16 3 第 8题 第 10题 第 13题 第 14题 二、填空题： 11.已知反比例函数� = �−2� 的图象在第二、第四象限，则�的取值范围是 12.点�(�1, �1)，�(�2, �2)是反比例函数� = 1 �的图象上两点，若 0 < �1 < �2，则�1、�2的大小关系是______． 第 3页，共 8页 13.如图，反比例函数� = 3� (� > 0)的图象经过菱形����的顶点�，点�在�轴上，过点�作�轴的垂线与反 比例函数的图象相交于点�.若∠� = 60°，则点�的坐标是 ． 14.如图，点�，�分别在反比例函数� =− 1� (� < 0)和� = 3 � (� > 0)的图象上，点�，�在�轴上.若四边形���� 为正方形，则点�的坐标为______． 15.如图，原点�是△ ���和△ �′�′�′的位似中心，点�(1,0)与点�′( − 2,0)是对应点，△ ���的面积是 3 2，则△ �′�′�′的面积是____． 16.如图，一次函数� = 2�与� = 2� − 9 的图象与反比例函数� = ��的图象在第一象限分别交于�、�两点， 已知△ ���面积为 3，则�的值为______． 第 15题 第 16题 第 17题 第 18题 17.如图，正方形����的顶点分别在反比例函数� = �1� (�1 > 0)和� = �2 � (�2 > 0)的图象上，若��/ ​ /�轴， 点�的横坐标为 4，则�1 + �2 =______． 18.如图，正比例函数�1 = 3�与反比例函数�2 = � � (� > 0)的图象交于点�，另有一次函数� =− 3� + �与�1、 �2图象分别交于�、�两点(点�在直线��的上方)，且��2 − ��2 = 16 3，则� = ． 三、解答题 19.如图，反比例函数� = ��与一次函数� = �� + �的图象交于点�( − 2,6)、点�(�, 1)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)点�为�轴上一个动点，若�△��� = 5，求点�的坐标． (3)将一次函数� = �� + �的图象沿�轴向下平移�个单位，使平移后的图象 与反比例函数� = ��的图象有且只有一个交点，求�的值． 第 4页，共 8页 20.如图，反比例函数� = ��的图象与一次函数� = �� + �的图象交于点�(2, �)，�( − 6, �). (1)若� = 6，求�与�的值； (2)关于�的不等式�� + � < ��的解集为______________； (3)连接��，��，若△ ���的面积为 12，则�的值为____． 21.如图，一次函数� = � + �的图象与反比例函数� = ��的图象交于�，�两点，且与�轴交于点�，点�的坐 标为(2,1)，点�的横坐标为−1. (1)求�及�的值； (2)连接��，��，求△ ���中��边上的高； (3)结合图象直接写出不等式� + � ≥ ��的解集． 第 5页，共 8页 22.如图，在平面直角坐标系���中，已知点�(4,3)，点�是线段��上的一个动点，过点�作��//�轴，交反 比例函数� = �� (� > 0)的图象于点�，过点�作��的垂线交�轴于点�，�是线段��上一点，且�� = ��，连 接��，设点�的横坐标为�(0 < � < 2)． (1)点�的坐标为______；(用含�的代数式表示) (2)若� = 1，求点�的坐标； (3)若△ ���的面积为 3 时，点�也在反比例函数� = �� (� > 0)的图象上，求�的值． 23.小明家饮水机中原有水的温度为 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温�(℃)与开机 时间�(分)满足一次函数关系，当加热到 100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温�(℃)与 开机时间�(分)成反比例关系，当水温降至 20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序(如图所示)， 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当 0 ≤ � ≤ 8 时，求水温�(℃)与开机时间�(分)的函数关系式； (2)求图中�的值； (3)有一天，小明在上午 7：10(水温 20℃)，开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好 11：15，请问此 时饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在 7：10 − 11：15 这段时间里，水温共有几次达到 100℃？ 第 6页，共 8页 24.如图，已知一次函数�1 = �� + �的图象与反比例函数�2 = � �的图象交于�(3,2)，�( − 2, �)两点，��与� 轴交于点�． (1)求�1与�2的函数表达式； (2)观察图象，当�1 > �2时，�的取值范围是______； (3)将直线��向上平移�(1 > 0)个单位长度，与反比例函数�2 = � �的图象交于点�、�，与�轴交于点�，连接 ��.若△ ���的面积为 10，求�的值． 25.如图由平面直角坐标系第一象限内一点�(2�，�)向坐标轴分别作平行线得到矩形����，在矩形��边 上取一点�，作经过点�的双曲线� = �� (� > 0)交��边于点�，连接��、��． (1) ���� =____； (2)求证：�� // ��； (3)若关于��作点�的对称点�，且点�正好落在�轴上，连接��并延长交�轴于点�，求△ ���的面积(请用只 含字母�的代数式表示)． 第 7页，共 8页 26.如图，在平面直角坐标系���中，点�的坐标为(4 3. 0)，已知点�(5,3 3)在反比例函数� = �� (� > 0) 图象上． (1)� = ______； (2)若点�关于点�的对称点�也在反比例函数图象上，求此时点�的坐标； (3)若点�绕点�顺时针旋转 120°所得对应点�刚好落在�轴的正半轴上，求线段��的长． 27.如图，直线� ⊥ �轴于点�，且与反比例函数� = �1� (�1 > 0, � > 0)及反比例函数� = �2 � (�2 < 0, � > 0)的 图象分别交于点�、�． (1)若�1 = 8，�2 =− 2，连接��、��． ① △ ���的面积为______； ②当�� ⊥ ��时，求点�的坐标． (2)若点�(2,0)，过点�作�轴的平行线，与一次函数� = �� + 12�2(� ≠ 0)的图象交于点�，点�在直线�的左 侧.若�1和�2变化时，�� + ��的值始终不变，求对应�的值． 第 8页，共 8页 28.对于两个不同的函数，通过加法运算可以得到一个新函数，我们把这个新函数称为两个函数的“和函 数”.例如：对于函数�1 = 2�和�2 = 3� − 1，则函数�1，�2的“和函数”�3 = �1 + �2 = 2� + (3� − 1) = 5� − 1． (1)已知函数�1 = �和�2 = 1 �，这两个函数的“和函数”记为�3； ①写出�3的表达式，并求出当�取何值时，�3的值为 5 2； ②函数�1，�2的图象如图①所示，则�3的大致图象是____ (2)已知函数�4 = �和�5 =− 1 �，这两个函数的“和函数”记为�6， ①下列关于“和函数”�6的性质，正确的有______；(填写所有正确的选项) �．�6的图象与�轴没有公共点 �．�6的图象关于原点对称 �.在每一个象限内，�6随�的值增大而减小 �.当� > 0 时，随着�的值增大，�6的图象越来越接近�4 = �的图象 ②探究函数� = � − 1�与一次函数� = �� + 3(�为常数，且� ≠ 0)图象的公共点的个数及对应的�的取值范围， 直接写出结论．