江西省九江市九江外国语学校2024-2025学年下学期八年级数学“开拓杯”竞赛试卷

九江外国语学校第八届“开拓杯”数学应用与创新竞赛 八年级试卷 （全卷：120分 考试时间：90分钟） 一、选择题：（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分） 1．“垃圾分类，从我做起”，以下四幅图案分别代表四类可回收垃圾，其中是中心对称图 形的是 ( ) A. 塑料 B. 旧衣服 C. 金属 D. 玻璃 2．若 a b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 3 4a b   B． 3 3a b   C．1 1a b   D． 0b a  3．下列分解因式正确的是（ ） A．  22 4 2 2x x x x     B．  2x xy x x x y    C．      2x x y y x y x y     D．  22 6 9 3x x x    4．如图，在 ABC 中， AD平分 BAC ，若 10AB  ， 8AC  ，则 :ABD ACDS S  （ ） A．25：16 B．5：4 C．16： 25 D． 4：5 5. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点 A在轴的正半轴上， 030AOB B    ， 2OA  ，将Δ AOB绕点O逆时针旋转 090 ，点 B的对应点 'B 的坐标是( ) A． (- 3,3) B． (-3, 3) C． (- 3, 2 3) D． (-1, 2 3) 6．定义：对于实数 a，符号[ ]a 表示不大于 a的最大整数．例如：[5.7] 5 ，[5] 5 ，[ ] 4   ．如 果 3 2 x      ，则 x的取值范围为（ ） A．－6 ≤ x <－4 B．－8 ≤ x <－6 C．－6 < x ≤－4 D．－8 < x ≤－6 7. 一次函数 1 1( 0)y kx k   与 2 2y x   的图象如图所示，当 1x  时， 1 2y y ，则 满足条件的 k的取值范围是( ) A. 1 0k k  且 B. 1 2 0k k   且 C. 2 0k k 且 D. 1 2k k  或 8.如图，在Δ ABC中，AB AC ， 120BAC  ，CH 为 ABCV 的角平分线，D为 AC边上 的中点，E为 BC边上一点，将 DCE△ 沿DE翻折，使点C的对应点C恰好落在角平分线CH 上，连接 AC并延长交 BC于点 F ，若 7BF  ，则点C到 AB的距离为（ ） A． 7 3 B． 7 4 C． 7 5 D． 7 6 二、填空题:（本大题共 8小题，每小题 4分，共 32分） 9. 已知等腰Δ ABC中， AB AC ， 060B  ，则 A  ． 10. 因式分解： 23 12x x  ． 11.在平面直角坐标系中，将点 ( 1, 2)A  向右平移3个单位长度得到点B的坐标是 ． 12. 若分式 1 2 3 x x   有意义，则实数 x的取值范围是 ． 13. 有不足30个苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分3个，则剩 2个苹果；若每个小 朋友分 4个，则有一个小朋友没分到苹果，且最后一个分到苹果的小朋友分得的苹果数不足 3个．已知小朋友人数是偶数个，那么苹果的个数是 ． 14. 已 知 2019 2018a x  ， 2019 2019b x  ， 2019 2020c x  ， 则 代 数 式 2 2 2a b c ab ac bc     的值为 ． 15.已知 a为整数，关于 x的方程  2 1 5a x   有整数解，关于 y的不等式组 0 2 7 1 y a y      至少 有 4个整数解，则符合条件的 a值有 ． 16.ΔABC 中，若过顶点 B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三 角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ΔABC 的关于点 B的二分割线．例如：如图 1，ΔABC中， 90A  ， 20C  ，若过顶点 B的一条直线 BD交 AC于点 D，且 20DBC  ， 则直线 BD是ΔABC 的关于点 B的二分割线．如图 2，ΔABC 中， 18C  ，钝角ΔABC 同时满足：① C 为最小角；②存在关于点 B的二分割线，则 BAC 的度数为 ． 三、( 本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分) 17.（1）因式分解 （2）(1)解不等式组： ，并求出最小整数解； 18.在如图所示的小正方形网格中，A， B，C，M ， P，Q均为小正方形的顶点，仅用无 刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图1中，作ΔABC 关于点M 中心对称的三角形 1 1 1A BC△ ； (2)图 2中， F 是网格线上的一点，连接 BF，根据网格特点在图中标出 BF的中点D，将线 段 AB平移得到线段 EF，点A的对应点为点 F ； (3)图3中，  5,2A ，  6,5B ，  4,4P ，  1,5Q ，线段 AB绕着点G旋转90可以得到线段 PQ， 直接写出旋转中心G的坐标G ． 四、( 本大题共 4小题，每小题 10 分，共 40 分) 19．灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福 与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已 知 4件坚果礼盒和 5件糖果礼盒进价 1200元，7件坚果礼盒和 2件糖果礼盒进价 1290元． (1)求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ (2)超市决定用不超过 66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共 500盒，其中坚果礼盒的数 量不少于糖果礼盒数量的 2 3 ，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有 5件坚果礼盒 外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为 175元，每件糖果礼盒 售价为 150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出， 请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 20．如图①，在等腰直角ΔABC 中， 4AC BC  ， 90ACB  ，点D为 BC的中点，CD CE ， 90DCE  ． 操作感知：线段 AD与 BE的数量关系是___________，位置关系是___________． 猜想论证：如图②，将 CDE 绕点C顺时针旋转，旋转角为 ，AD与 BC，BE分别交于点 F ，点G，以上结论还成立吗？说明理由． 拓展应用：如图③，当0 180   时，连接 AE，BD，若 120ACE  ，则四边形 ABDE 的面积为___________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线 2y x  与 x轴， y轴分别交于 A， B两点，点 (2, )C m 为直线 2y x  上一点，直线 2 xy b   过点C． （1）求m和b的值； （2）直线 2 xy b   与 x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的 速度向 A点运动．设点P的运动时间为 t秒． ①若Δ ACP的面积为10，求 t的值； ②是否存在 t的值，使Δ ACP为等腰三角形？若存在，直接 写出 t的值；若不存在，请说明理由． 22．综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入 手，探究旋转变换的几何问题． (1)【建立模型】如图 1，点 M为等边三角形 ABC内部一点，小颜发现：将 BM 绕点 B逆时 针旋转60得到 BN，则MC NA ，请思考并证明； (2)【类比探究】小梁进一步探究：如图 2，点 M为正方形 ABCD内部一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转90得到 BN，连接CM并延长，交 AN于点 E．求证： 2EM EN EB  ； (3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图 3，点 M为ΔABC 内部一点， AB AC ， 点 P，Q是 AB AC， 上的动点，且 AP AQ ，若 30ABM ACM   ， 4BM  ， 3 3CM  请直接写出 PM QM 的最小值． 答案第 1页，共 4页 3 2 九江外国语学校第八届“开拓杯”数学应用与创新竞赛 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B A A B B 9. 600 10. 3x(x-4) 11. (2,2) 12. x ≠ 13. 26 14. 3 15．-1和-5 16．36°或 45°或 54° 16．(1)4 4� + � � + 4� 17．(2)解不等式①得，� ≥− 3， 解不等式②得，� ≥ 8 9 ， ∴该不等式组为� ≥ 8 9 ， ∴不等式组最小整数解为 1； 18.（1）解：如图 1，△ �1�1�1即为所求作： （2）解：如图 2，点�和线段��即为所求作： （3）解：如图 3，旋转中心�有两种可能，即图中的�和�′： 答案第 2页，共 4页 由图可知：� 3.5,2.5 ，�′ 4.5,5.5 ， 故答案为： 3.5,2.5 或 4.5,5.5 ． 19.（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是 x 元，y 元， 根据题意得： 4� + 5� = 1200 7� + 2� = 1290， 解得 � = 150 � = 120， 答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是 150元，120元； （2）解：设坚果礼盒购进 a 件，则糖果礼盒购进 500 − � 件， 根据题意得：150� + 120 500 − � ≤ 66600， 解得：� ≤ 220， 又∵ � ≥ 2 3 500 − � ， 解得：� ≥ 200， ∴ 200 ≤ � ≤ 220， 设利润为 w 元，根据题意得： � = 175 − 150 � − 5 + 175 × 0.6 − 150 × 5 + 150 − 120 500 − � − 3 + 150 × 0.6 − 120 × 3 = 5� + 14640， ∵ 5 > 0， ∴ �随 a 的增大而增大， ∴当� = 220时，w 最大，最大值为 5 × 220 + 14640 = 15740， 答：坚果礼盒购进 220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是 15740元． 20 �� = ��；�� ⊥ ��； 猜想论证：成立，理由如下： ∵�� = ��，∠��� = ∠��� = 90° + �，�� = ��， 答案第 3页，共 4页 ∴△ ��� ≌△ ��� SAS ， ∴∠��� = ∠���，�� = ��； 又∵∠��� = ∠���，∠��� + ∠��� = 90°， ∴∠��� + ∠��� = 90°， ∴∠��� = 90°， ∴�� ⊥ ��； 拓展应用：10 + 4 3 21. 答案第 4页，共 4页 22解： (1)（1）证明：∵��绕点 B 逆时针旋转 60°得到��， ∴�� = ��，∠��� = 60°． ∵△ ���为等边三角形， ∴�� = ��，∠��� = 60°， ∵∠��� = ∠���， ∴∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠���， ∴∠��� = ∠���， 在△ ���和△ ���中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ ��� ≌△ ��� SAS ． ∴�� = ��； （2）证明：如图 1， 过点 B 分别作�� ⊥ ��于点 F，�� ⊥ ��于点 G， 先证明△ ��� ≌△ ��� SAS 和△ ��� ≌△ ��� AAS ． 再证明�� = ��． ∴��+ �� = �� + �� + �� = �� + �� + �� = 2��． ∴ 再证等腰直角三角形���得 �� + �� = 2��； (3) 7．