2025年苏科版九年级数学暑假自学第4讲 一元二次方程的根与系数关系

第4讲 一元二次方程的根与系数关系 一、知识梳理 【知识点1】一元二次方程根与系数的关系 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1×x2 1 2 3 2 3 2 －1 －2 -3 2 -3 2 2 3 5 6 5 6 －2 －3 -5 6 -5 6 0 3 3 0 3 0 从上图发现，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2，那么x1+x2=___，x1×x2=___. 证明：因为当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是，_,所以，=_+=__； =×=__. 因此，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1与x2， 那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【知识点2】一元二次方程的根与系数的关系的推论 推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1×x2=q； 推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-（x1+x2）+x1×x2=0. 【知识点3】根与系数的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 二、思维导图 三、典例精析 题型1：利用根与系数关系公式求根 例1（☆）：已知关于x的方程mx2-3x+2=0的一个根是1，则另一根为（ ） A．1 B．2 C．3 D．-2 【答案】B 【分析】把代入，转化为m的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， ∴， 设另一个根为， 根据题意，得， 故选：B． 变式1-1（☆☆）：若x1，x2是方程x2+2x-3=0的两个根，则（ ） A．x1+x2=2 B． C．x1x2=3 D．x1x2=-3 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，直接利用根与系数的关系对各选项进行判断即可，若，是方程的两个根， 则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：D． 变式1-2（☆☆☆）：已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-k=0的两根． (1)求k的取值范围； (2)若x1+3x2=0，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，，再根据已知条件解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得 （2）由根与系数的关系，得， ∵ 即 ，得 解得 将代入①，得 ∴原方程组得解为 ∵ ∴． 题型2：利用根与系数关系公式变形求解 例2（☆）：已知和是一元二次方程x2-6x+5=0的两个实数根，则（ ） A．-6 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 变式2-1（☆☆）：已知方程x2-2x-3=0的两个实数根分别为x1，x2，则式子(x1+1)(x2+1)的值等于（ ） A．-4 B．0 C．2 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可． 【详解】解：由可得：， ∴； 故选B． 变式2-2（☆☆☆）：已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根，则(x1-x2)2+3x1x2的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 题型3：与根的判别式结合求解 例3（☆）：已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0，有下列结论：①当a>-1时，方程有两个不相等的实数根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实数根；③当a>-1时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③∵， ∴方程的根为， ∴，， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确． 故选：C． 变式3-1（☆☆）：关 于x的方程x2+kx=2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 题型4：与函数图象结合 例4（☆）：若a，b是一元二次方程． x2+x=2的两根，则反比例函数与一次函数y=ax+b的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程即的两根， ，， ∴异号， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B．由图象得：，，符合题意； D ．由图象得：，， ，结论错误，不符合题意； 故选：B． 变式4-1（☆☆）：若a、b是方程x2-x-12=0的两根，则反比例函数与一次函数y=ax+b的图象大致为（ ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质；由一元二次方程根与系数的关系得，，结合反比例函数、一次函数的性质进行逐一判断，即可求解；掌握一元二次方程根与系数的关系，反比例函数、一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、是方程的两根， ， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 选项A、C不符合题意； B.由图象得：，，符合题意； D .由图象得：，，，结论错误，不符合题意； 故选：B． 四、强化练习 1．若x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个根，则（ ） A．x1x2=-2 B．x1x2=2 C．x1+x2=-3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．据此解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2.方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 故选：A． 3.设a，b是一元二次方程x2+3x-17=0的两个根，则a2+5a+2b= . 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4.若关于x的一元二次方程x2+bx+6=0有一个根是x=2， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为x1、x2，则这个菱形面积为 ． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2)3 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 五、课后作业 1.若x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个根，则2x1+2x2-x1x2的值为 。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 2.一元二次方程x2+2x-1=0的两根为x1，x2，则x1x22+x12x2的值为（ ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意得：，，再代入代数式进行计算即可．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两根，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：A． 3.已知▲ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，▲ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，▲ABC是等腰三角形，并求▲ABC的周长． 【答案】(1)见解析 (2)m=6 (3)11或13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 一元二次方程的根与系数关系 一、知识梳理 【知识点1】一元二次方程根与系数的关系 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ ax2+bx+c=0 x1 x2 x1+x2 x1×x2 x2-3x+2=0 1 2 3 2 3 2 x2+3x+2=0 －1 －2 -3 2 -3 2 x2-5x+6=0 2 3 5 6 5 6 x2+5x+6=0 －2 －3 -5 6 -5 6 x2-3x=0 0 3 3 0 3 0 从上图发现，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1、x2，那么x1+x2= ，x1×x2= . 证明：因为当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x1= ，x2= ,所以，x1+x2= + = ； x1x2= × = . 因此，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1与x2， 那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【知识点2】一元二次方程的根与系数的关系的推论 推论1：如果方程x²+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1×x2=q； 推论2：以x1，x2的一元二次方程（二次项系数为1）是x²-（x1+x2）+x1×x2=0. 【知识点3】根与系数的应用 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩ 二、思维导图 三、典例精析 题型1：利用根与系数关系公式求根 例1（☆）：已知关于x的方程mx2-3x+2=0的一个根是1，则另一根为（ ） A．1 B．2 C．3 D．-2 变式1-1（☆☆）：若x1，x2是方程x2+2x-3=0的两个根，则（ ） A．x1+x2=2 B． C．x1x2=3 D．x1x2=-3 变式1-2（☆☆☆）：已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-k=0的两根． (1)求k的取值范围； (2)若x1+3x2=0，求k的值． 题型2：利用根与系数关系公式变形求解 例2（☆）：已知和是一元二次方程x2-6x+5=0的两个实数根，则（ ） A．-6 B． C．6 D． 变式2-1（☆☆）：已知方程x2-2x-3=0的两个实数根分别为x1，x2，则式子(x1+1)(x2+1)的值等于（ ） A．-4 B．0 C．2 D．6 变式2-2（☆☆☆）：已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两个实数根，则(x1-x2)2+3x1x2的值是 ． 题型3：与根的判别式结合求解 例3（☆）：已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0，有下列结论：①当a>-1时，方程有两个不相等的实数根；②当a>0时，方程不可能有两个异号的实数根；③当a>-1时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式3-1（☆☆）：关 于x的方程x2+kx=2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（ ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 题型4：与函数图象结合 例4（☆）：若a，b是一元二次方程．x2+x=2的两根，则反比例函数与一次函数y=ax+b的图象大致为（ ） A． B． C． D． 变式4-1（☆☆）：若a、b是方程x2-x-12=0的两根，则反比例函数与一次函数y=ax+b的图象大致为（ ） A． B．C．D． 四、强化练习 1．若x1,x2是方程x2-3x-2=0的两个根，则（ ） A．x1x2=-2 B．x1x2=2 C．x1+x2=-3 D． 2.方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 3.设a，b是一元二次方程x2+3x-17=0的两个根，则a2+5a+2b= . 4.若关于x的一元二次方程x2+bx+6=0有一个根是x=2， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为x1、x2，则这个菱形面积为 ． 五、课后作业 1.若x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个根，则2x1+2x2-x1x2的值为 。 2.一元二次方程x2+2x-1=0的两根为x1，x2，则x1x22+x12x2的值为（ ） A．2 B．-2 C．3 D．-3 3.已知▲ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3(m-2)=0的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，▲ABC是以BC为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，▲ABC是等腰三角形，并求▲ABC的周长 学科网（北京）股份有限公司 $$