精品解析：2025年江苏省淮安市 九年级 中考三模数学试题

数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各组数中，互为倒数的是（ ） A. 和2 B. 和 C. 与 D. 2和 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 全 B. 面 C. 依 D. 法 6. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在中，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点，若，则的值是（ ）． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 若有意义，则x的取值范围是__________． 10. 分解因式：_____． 11. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 12. 已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则_______． 13. 一个圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是______． 14. 若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．（用“＜”连接） 15. 如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为______． 16. 如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段 的最小值为_____． 三．解答题 17. （1）计算： （2）解不等式组 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，，求证：四边形是菱形． 20. 为推进“健康中国行”，某地积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理，调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图． （1）本次调查的样本容量是______人，扇形统计图中“较少了解”部分的圆心角是______； （2）补全条形统计图； （3）已知该小区有居民4000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数． 21. 九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗． （1）初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________． （2）决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 22. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 23. 如图，内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 24. 为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 a 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． （1）求a的值； （2）商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件，求销售完这两种饰品的最大利润； 25. （1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）． （2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） 26. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点． （1）判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点． ① 求a，c的值； ② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围． 27. 课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列各组数中，互为倒数的是（ ） A. 和2 B. 和 C. 与 D. 2和 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，据此一一计算判断即可． 【详解】解：．，则和2不互为倒数，故该选项不符合题意； ．，则和互为倒数，故该选项不符合题意； ．，则与不互为倒数，故该选项不符合题意； ．，则2和故不互为倒数，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则及积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂乘法及除法法则，合并同类项法则及积的乘方法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：，则A符合题意； ，则B不符合题意； 与不是同类项，无法合并，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：A． 3. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4500000000=4.5×109， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，余角的性质，熟悉掌握平行线的性质是关键． 5. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 全 B. 面 C. 依 D. 法 【答案】C 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是“依”， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析解答问题． 6. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题，设共有个人，根据等量关系列出方程即可得到答案，读懂题意，由物品总价值不变建立等量关系是解决问题的关键． 【详解】解：设共有个人，则可列方程为， 故选：A． 7. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 8. 如图，在中，轴，垂足为．反比例函数的图象经过点，交于点，若，则的值是（ ）． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，解直角三角形等，关键是正确表示出点、的坐标．过点作于点，于，则．由，，可得，利用勾股定理以及解直角三角形可求，，即可得到，进一步求得，设点，则，代即可求的值． 【详解】解：过点作于点，于，则， ∵， ∴， ∵， ∴，设， 由勾股定理可知，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设点，则， ∵反比例函数的图象经过点，交于点， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. 若有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 10. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 11. 若实数a、b满足，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、代数式求值等知识点，熟练掌握提公因式法成为解题的关键． 将左边因式分解可得，再结合即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 答案为：． 12. 已知一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， 则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数的概念，熟记公式是解决本题的关键． 根据平均数的计算公式即可求解． 【详解】一组数据：8，4，5，4，a，7的平均数为， ， 解得∶， 故答案为∶2． 13. 一个圆锥的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式 进行计算，其中 是底面半径， 是母线长，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 本题考查了圆锥的计算，展开侧面是解题关键． 【详解】已知圆锥的底面半径 ，母线长 ，代入公式得 ． 故答案为 ． 14. 若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_____．（用“＜”连接） 【答案】y1＜y3＜y2． 【解析】 【分析】先计算出自变量为﹣5、1、2对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系． 【详解】当x=﹣5时，y1=﹣(a2+1)； 当x=1时，y2=a2+1； 当x=2时，y3=(a2+1)， 所以y1＜y3＜y2． 故答案为：y1＜y3＜y2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 15. 如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 16. 如图，已知直线与x轴交于点A，点B与点A关于y轴对称．M是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段 的最小值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形．利用证明，得出．由为定点，为定值，可知点在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为3． 【详解】解：设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，如图所示： 对于，令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， 的中点为， ， ， 为等边三角形， ， ， 由旋转的性质可知，， ，即， ， ， 为定点，为定值， 当在直线上运动时，点也在定直线上运动， 当点与点重合时，最短， 点与点关于轴对称， ， ， ， ，即的最小值为3， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点在定直线上，通过垂线段最短的性质求的最小值． 三．解答题 17. （1）计算： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握乘方、三角函数、零指数幂、二次根式的运算规则以及解不等式组的步骤是解题的关键． （1）先分别计算乘方、三角函数值、零指数幂、二次根式，再按照先乘除后加减的顺序计算． （2）分别解出两个不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】由分式的混合运算进行化简，然后把代入计算，即可求出答案． 【详解】解： ； 当时， 原式； 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简． 19. 如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵是的垂直平分线， ∴，,， ∴, ∵平分， ∴, ∴， ∴, ∵，，， ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出，,，则,进而得出，则,通过证明，得出,即可求证四边形是平行四边形，最后根据，即可求证四边形是菱形。 【详解】略 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 20. 为推进“健康中国行”，某地积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理，调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成统计图． （1）本次调查的样本容量是______人，扇形统计图中“较少了解”部分的圆心角是______； （2）补全条形统计图； （3）已知该小区有居民4000人，请估计该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数． 【答案】（1），36； （2）补全条形统计图如下： （3）人． 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，以及用样本估计总体．熟练掌握两种统计图的特点、样本容量的计算方法、圆心角的计算和用样本估计总体的思想是解题的关键． （1）样本容量可根据“完全了解”的人数及其所占百分比来求，因为“完全了解”人数是30，占比30%，用“完全了解”人数除以其占比就能得到样本容量．先算出“较少了解”的人数，用样本容量减去其他各类人数，再根据圆心角公式（圆心角 = 该部分占总体的百分比）计算“较少了解”部分的圆心角． （2）先算出“较少了解”的人数，用样本容量减去“完全了解” “较多了解” “不了解”的人数，然后补全条形统计图． （3）用小区总人数乘以“完全了解”人数在样本中的所占百分比，即可估计小区“完全了解”的居民人数． 【小问1详解】 解：∵“完全了解”的人数是，所占百分比是， ∴样本容量为人． ∴“较少了解”的人数：人．“较少了解”部分的圆心角：． 故答案为：，36； 【小问2详解】 解：由（1）得较少了解”人数为人． 图略； 【小问3详解】 解：该小区对垃圾分类知识“完全了解”的居民人数估计为：人． 21. 九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗． （1）初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________． （2）决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了频率和列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）用抽到毛泽东诗词的次数除以总次数即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人都抽到毛泽东诗词的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：（1）抽到毛泽东诗词的频率； 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人都抽到毛泽东诗词的结果数为2， 所以两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 22. 图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 【解析】 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质．如图，过点A作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点A作于点，过点作于点， ∵ 在中，， ∴， 同理可得，， 又∵双翼边缘的端点A与之间的距离为， ∴ ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 23. 如图，内接于，为的直径，过点O作于点E，交于点F，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，勾股定理，垂径定理是解题的关键． （1）连接，利用半径相等得到，再利用垂直的定义结合等量代换证得，即可证明是的切线； （2）利用垂径定理得到，利用三角形中位线定理得到，再结合已知求得半径，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴，即， ∴． ∴． 24. 为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下： 饰品品种 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 a 200 乙 300 已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同． （1）求a的值； （2）商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件，求销售完这两种饰品的最大利润； 【答案】（1）的值为100 （2）销售完这两种饰品的最大利润为41000元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一次函数关系式． （1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论； 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴的值为100； 【小问2详解】 解：设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元， 由题意得：． 其中， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值， 答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元． 25. （1）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在的边上找到一点，连结，使得的面积与的面积之比为，（请用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，并保留作图迹）． （2）如图，四边形为菱形，，点是边的中点，用尺规作图分别在边上找一点，在上找一点，使最小，（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） 【答案】 如图所示： 如图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、尺规作图、垂线段最短． 连接交于点，可得，根据相似三角形的性质可知，根据三角形的面积公式可得； 利用尺规作图作交于点，根据轴对称的性质可知 ，利用尺规作图过点作交于点，交于点，根据垂线段最短可知最小，等量代换可知此时最小． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ， ， ， ； 利用尺规作图作交于点， 根据轴对称的性质可知 ， 利用尺规作图过点作交于点，交于点， 根据垂线段最短可知最小， 连接、， 则， 此时最小． 26. 在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数、则称点P为“慧泉”点．例如：，，，……都是“慧泉”点． （1）判断函数的图像上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标； （2）若二次函数的图像上有且只有一个“慧泉”点． ① 求a，c的值； ② 若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n取值范围． 【答案】（1）存在且坐标为 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据“慧泉”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案； （2）①根据“慧泉”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值②先根据对称性求出二次函数与的另一交点，再结合图像及二次函数性质可求n的范围 【小问1详解】 解：由“慧泉”点定义得： 解得： 当时， 所以存在“慧泉”点，坐标为 【小问2详解】 解：①∵的图像上有且只有一个“慧泉”点 即有两个相等实根 由根与系数的关系可得： 解得： ②由①得，求得对称轴为，最大值为 画出与的图像，如下图所示 由对称性易求另一交点坐标为 ∴由图像可求得： 【点睛】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“慧泉”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键． 27. 课本再现 （1）将两个等腰直角三角形（，）按如图1所示的方式摆放（图中所有的点、线都在同一平面内），则与相似的三角形有 ．（填序号） ①；②；③． 类比迁移 （2）将两个等腰直角三角形（）按如图2所示的方式摆放，点D在边上． ①求证：． ②如图3，若D是的中点，与交于点G，与交于点H，，连接，求的长． 拓展应用 （3）如图4，在中，，点D，E分别在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）②③； （2）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②5；（3）8 【解析】 【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，得，继而利用“两角对应相等，两三角形相似”得，； （2）①证明，则，即；②由，得到，求得，可求，再运用勾股定理可求； （3）在上取一点F，连接，使，由，求得， 再证明，得到，则有，即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 同理可证：， 故答案为：②③； （2）①略 ②解：同①可证：， ∴，即， ∵， ∴， 解得：（舍负）， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点F，连接，使， ∵是的等腰直角三角形，， ∴， 同上可证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，三角形的外角定理，等腰三角形的性质，解题的关键在于发现“一线三等角”的相似，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $