2.3.1 乘方 暑假预习讲义（五大题型） 2024-2025学年人教版数学七年级上册

2.3.1 乘方 新知预习 一、乘方的定义 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 其中：a——底数 n——指数 ——幂 通常a2读作a的平方，a3读作a的立方。 当a>0时，（-a）n= 二、乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数． 乘方就是多个数相乘的运算，因此在运算法则中应排在加减前面；又因乘方是一个不可分割的乘法整体，故也应排在乘除前。那么运算顺序就是：先括号，后乘方，再乘除，最后加减。（有括号，永远是括号的等级最高） 类型一、有理数乘方的定义 ( 典型例题 ) 【典型例题1】（2025•二道区校级模拟）25可表示（ ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【典型例题2】（2025•淅川县一模）计算的结果是（ ） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 ( 巩固练习 ) 1.（2025•滑县校级三模）已知43+43+43+43=4m，34×34×34×34=3n，则m+n的值为（ ） A．13 B．15 C．16 D．20 2．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是(    ) A．它们的意义相同 B．它的结果相等 C．它的意义不同，结果相等 D．它的意义不同，结果不等 3.计算=（ ） A． B． C． D． 4.（1）在8中底数是____，指数是____； （2）在中底数是____，指数是____； （3）在73中底数是____，指数是____，读做____； （4）在（－5）4中底数是____，指数是____，读做____． 类型二、符号的判断 ( 典型例题 ) 【典型例题3】在、、、、0、、中，非负数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典型例题4】（2025•江宁区校级模拟）下列四个数中，是负数的是（ ） A．|-4| B．-（-4） C．（-4）2 D．-42 ( 巩固练习 ) 5.（2024秋•茌平区期末）已知4个数：|-2|，（-2）4，-（-1.5），-32，其中负数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.（2025•巨野县一模）在-（-5），-（-5）2，-|-5|，（-5）3中负数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 类型三、数值相等与互为相反数 ( 典型例题 ) 【典型例题5】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．和 【典型例题6】下列各组数中，数值相等的一组是（ ） A．和 B． 和 C．和 D．和 ( 巩固练习 ) 7.（2025•大庆一模）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．-23与（-2）3 B．-32与（-3）2 C．-52与（-2）5 D．-（-3）与|-3| 8.（2024秋•承德县期末）下列各组数中，运算后结果相等的是（ ） A．23和32 B．-13和（-1）3 C．-|-6|和-（-6） D． 类型四、偶次方 ( 典型例题 ) 【典型例题7】（2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b-2）2=0，则（a+b）2024的值是（ ） A．1 B．-1 C．-2024 D．无法计算 【典型例题8】（2024秋•永安市期末）若|x+2|与（y-3）2互为相反数，则xy的值为（ ） A．-6 B．9 C．-8 D．8 ( 巩固练习 ) 9.若|a+3|+（b-2）2=0，求2a-3b-ab的值． 10.如果|m-5|+（n+6）2=0，求（m+n）2008+m3的值． 类型五、末尾数字 ( 典型例题 ) 【典型例题9】（2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21=2， 22=4 ，23=8 ，24=16， 25=32 ，26=64 ，27=128 ，28=256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【典型例题10】（2025春•猇亭区校级期中）a为任意整数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是（ ） A．3，4，9，0 B．2，3，7，8 C．4，5，6，7 D．1，5，6，9 ( 巩固练习 ) 11．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 12.1993+9319的末位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【巩固练习】 1.下列说法正确的是（　　） 　 A．23表示2×3 B． ﹣32与（﹣3）2互为相反数 　 C．（﹣4）2中﹣4是底数，2是幂 D． a3=（﹣a）3 2.下列各数：﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣22，（﹣2）3，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）． A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c 4.在下列各数：，，，，，中，负数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则等于（ ）． A． B．8 C． D． 6．计算的结果是（ ）． A．-33 B．-31 C．31 D．33 7.计算：﹣22﹣（﹣2）2=　　． 8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________． 9.若，则 ． 10. ； ；= ； ． 11. , 12.阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为_____． 13.计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 14. 已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且，求的值． 15.若a与b互为相反数，b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身，试求的值． 16.探索规律：,请写出： （1）_______； （2）______； （3）. 参考答案 类型一、有理数乘方的定义 ( 典型例题 ) 【典型例题1】（2025•二道区校级模拟）25可表示（ ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【分析】根据有理数乘方的定义（n个相同的因数a相乘，记作an），即可求得答案． 【解答】解：根据题意可知，25表示5个2相乘．故选：C． 【典型例题2】（2025•淅川县一模）计算的结果是（ ） A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为3m,根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n，由此求解即可． 【解答】解：m个3相加表示为3m,根据乘方的定义：n个4相乘表示为4n， 故的结果是3m+4n．故选：A． ( 巩固练习 ) 1.（2025•滑县校级三模）已知43+43+43+43=4m，34×34×34×34=3n，则m+n的值为（ ） A．13 B．15 C．16 D．20 【分析】利用有理数的乘方法则和同底数幂的乘法法则解答即可． 【解答】解：∵43+43+43+43=4m， ∴4×43=4m， ∴44=4m， ∴m=4． ∵34×34×34×34=3n， ∴316=3n， ∴n=16． ∴m+n=20．故选：D． 2．对于(－2)4与－24，下列说法正确的是(    ) A．它们的意义相同 B．它的结果相等 C．它的意义不同，结果相等 D．它的意义不同，结果不等 【答案】D 【解析】的底数是﹣2，指数是4，结果是16；的底数是2，指数是4，它的意思是2的四次方的相反数，结果是﹣16．故选D． 3.计算=（ ） A． B． C． D． 【分析】根据有理数乘法和乘方的意义解答即可． 【解答】解：个2相乘得，个3相加得， 原式． 故选：． 4.（1）在8中底数是____，指数是____； （2）在中底数是____，指数是____； （3）在73中底数是____，指数是____，读做____； （4）在（－5）4中底数是____，指数是____，读做____． 【答案】（8 1 2 7 3 7的3次方或7的3次幂或7的立方 －5 4 －5的4次方或－5的4次幂 【分析】根据幂中底数、指数的定义及读法即可依次填写． 【解析】（1）在8中底数是8，指数是1；（2）在中底数是，指数是2； （3）在73中底数是7，指数是3，读做7的3次方或7的3次幂或7的立方； （4）在（－5）4中底数是-5，指数是4，读做－5的4次方或－5的4次幂． 故答案为：略． 【点睛】此题主要考查幂的特点及性质，解题的关键是熟知底数、指数的定义． 类型二、符号的判断 ( 典型例题 ) 【典型例题3】在、、、、0、、中，非负数共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】化简这些数，根据非负数的定义即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 非负数有：25，2.9，，0，共5个， 故选：． 【典型例题4】（2025•江宁区校级模拟）下列四个数中，是负数的是（ ） A．|-4| B．-（-4） C．（-4）2 D．-42 【分析】根据绝对值的定义计算A选项；根据相反数的定义计算B选项；根据有理数的乘方计算C，D选项，从而得出答案． 【解答】解：A选项，原式=4，故该选项不符合题意；B选项，原式=4，故该选项不符合题意；C选项，原式=16，故该选项不符合题意；D选项，原式=-16，故该选项符合题意；故选：D． ( 巩固练习 ) 5.（2024秋•茌平区期末）已知4个数：|-2|，（-2）4，-（-1.5），-32，其中负数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：|-2|=2＞0，是正数； （-2）4=16＞0，是正数； -（-1.5）=1.5＞0，是正数； -32=-9＜0，是负数； ∴负数有-32，共1个． 故选：A． 6.（2025•巨野县一模）在-（-5），-（-5）2，-|-5|，（-5）3中负数有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据相反数、绝对值的定义，乘方的运算法则先化简各数，再根据负数的定义求解．【解答】解：∵-（-5）=5，-（-5）2=-25，-|-5|=-5，（-5）3=-125，∴-（-5）2，-|-5|，（-5）3都是负数，共3个．故选：A． 类型三、数值相等与互为相反数 ( 典型例题 ) 【典型例题5】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．和 【答案】B 【解析】A选项中，因为，所以A中两个数运算结果不等； B选项中，因为，所以B中两个数的运算结果相等； C选项中，因为，所以C中两个数的运算结果不相等； D选项中，因为，所以D中两个数的运算结果不相等；故选B. 【点睛】此题考查了有理数的乘方，以及相反数，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【典型例题6】下列各组数中，数值相等的一组是（ ） A．和 B． 和 C．和 D．和 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可． 【解答】解：．，，故选项不符合题意； ．，，故选项符合题意； ．，，故选项不符合题意； ．，，故选项不符合题意． 故选：． ( 巩固练习 ) 7.（2025•大庆一模）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A．-23与（-2）3 B．-32与（-3）2 C．-52与（-2）5 D．-（-3）与|-3| 【分析】-23表示2的立方的相反数，（-2）3表示-2的立方，-32表示3的平方的相反数，（-3）2表示-3的平方，-52表示5的平方的相反数，（-2）5表示-2的五次方，分别求出各选择支中各式的值，即可得到答案． 【解答】解：选项A，因为-23=-8，（-2）3=-8，所以-23=（-2）3，不符合题意； 选项B，因为-32=-9，（-3）2=9，所以-32与（-3）2互为相反数，符合题意； 选项C，因为-52=-25，（-2）5=-32，所以不符合题意； 选项D，因为-（-3）=3，|-3|=3，所以-（-3）=|-3|，不符合题意． 故选：B． 8.（2024秋•承德县期末）下列各组数中，运算后结果相等的是（ ） A．23和32 B．-13和（-1）3 C．-|-6|和-（-6） D． 【解答】解：A、23=2×2×2=8、32=3×3=9，选项不符合题意； B、-13=-1×1×1=-1、（-1）3=（-1）×（-1）×（-1）=-1，选项符合题意； C、-|-6|=-6、-（-6）=6，选项不符合题意； D、、22=2×2=4，选项不符合题意．故选：B． 【点评】本题考查了有理数的乘方和相反数，掌握有理数的乘方的运算法则和相反数的定义是关键． 类型四、偶次方 ( 典型例题 ) 【典型例题7】（2025•巴东县模拟）若|a+3|+（b-2）2=0，则（a+b）2024的值是（ ） A．1 B．-1 C．-2024 D．无法计算 【分析】“两个非负数相加得0，则这两个数都等于0”，据此得到a+3=0，b-2=0，解得a=-3，b=2，代入即可求解． 【解答】解：由题意得：a+3=0，b-2=0， 解得a=-3，b=2， 所以（a+b）2024=（-3+2）2024=（-1）2024=1．故选：A． 【典型例题8】（2024秋•永安市期末）若|x+2|与（y-3）2互为相反数，则xy的值为（ ） A．-6 B．9 C．-8 D．8 【分析】根据任何数的绝对值和平方都是非负数，根据两个非负数的和是0，即可得到这两个数都等于0，从而得到关于x,y的方程求得x,y的值，进而求得代数式的值． 【解答】解：根据题意得：x+2=0,y-3=0， 解得：x=-2,y=3． 则xy=（-2）3=-8． 故选：C． ( 巩固练习 ) 9.若|a+3|+（b-2）2=0，求2a-3b-ab的值． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+3|+（b-2）2=0， ∴a+3=0，b-2=0， ∴a=-3，b=2， ∴2a-3b-ab=2×（-3）-3×2-（-3）2=-21． 10.如果|m-5|+（n+6）2=0，求（m+n）2008+m3的值． 【分析】根据非负数的性质求出m,n的值，代入所求的代数式计算即可． 【解答】解：∵|m-5|+（n+6）2=0， ∴m-5=0，n+6=0， ∴m=5，n=-6， ∴（m+n）2008+m3=（5-6）2008+53=126． 类型五、末尾数字 ( 典型例题 ) 【典型例题9】（2025•五华区校级模拟）观察下列算式：21=2， 22=4 ，23=8 ，24=16， 25=32 ，26=64 ，27=128 ，28=256…，根据上述算式中的规律，你认为22011的末位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出22011的末位数字． 【解答】解：∵21=2， 22=4 ，23=8 ，24=16， 25=32 ，26=64 ，27=128 ，28=256，…则每四个数循环一次． ∴22011的末位数字是8． 故选：D． 【典型例题10】（2025春•猇亭区校级期中）a为任意整数，则下列四组数字都不可能是a2的末位数字的应是（ ） A．3，4，9，0 B．2，3，7，8 C．4，5，6，7 D．1，5，6，9 【分析】分别计算0至9这十个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果． 【解答】解：∵02=0，12=1，22=4，32=9，42=16，52=25，62=36，72=49，82=64，92=81， ∴一个数的平方的末位数字可以是0，1，4，5，6，9， ∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8， ∴a为任意整数，a2的末位数字不可能是2，3，7，8．故选：B． ( 巩固练习 ) 11．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解析】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…… ∴220的末位数字是6． 故选C． 12.1993+9319的末位数字是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】分别找出1993与9319末位数字的变化规律，计算它们末位数字的值，相加求得最后答案． 【解答】解：1993=194×23+1，9319=934×4+3 ∴1993与191的末位数相同是9 9319与933末位数字相同是7 因此1993+9319末位数字是9+7=16的末位数字6，故选：C． 【巩固练习】 1.下列说法正确的是（　　） 　 A．23表示2×3 B． ﹣32与（﹣3）2互为相反数 　 C．（﹣4）2中﹣4是底数，2是幂 D． a3=（﹣a）3 【解析】A、23表示2×2×2，故本选项错误； B、﹣32=﹣9，（﹣3）2=9，﹣9与9互为相反数，故本选项正确； C、（﹣4）2中﹣4是底数，2是指数，故本选项错误； D、a3=﹣（﹣a）3，故本选项错误． 2.下列各数：﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣22，（﹣2）3，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】﹣（﹣2）＝2，（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，（﹣2）3＝﹣8，负数共有2个．故选B． 3.设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）． A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c 【解析】a＝-3×42＝-48，b＝(-3×4)2＝144，c＝-(3×4)2＝-144．故c＜a＜b． 4.在下列各数：，，，，，中，负数有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解答】解：，，，，，， 负数有，，，，共4个． 故选：． 5．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则等于（ ）． A． B．8 C． D． 【解析】． 6．计算的结果是（ ）． A．-33 B．-31 C．31 D．33 【解析】原式=． 7.计算：﹣22﹣（﹣2）2=　　． 【解析】﹣22﹣（﹣2）2=﹣4﹣4=﹣8． 8．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________． 【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2 9.若，则 ． 【答案】0 【解析】绝对值与平方均具有非负性，，所以，代入计算即可. 10. ； ；= ； ． 【答案】3, -32, 11. , 【答案】-27，72 12.阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为_____． 【解析】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1， 此时x+2016＝2015，则（2x+3）x+2016＝12015＝1，所以x＝﹣1． ②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2016＝2014， 则（2x+3）x+2016＝（﹣1）2014＝1，所以x＝﹣2． ③当x+2016＝0时，x＝﹣2016，此时2x+3＝﹣4029， 则（2x+3）x+2016＝（﹣4029）0＝1，所以x＝﹣2016． 综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2016时，代数式（2x+3）x+2016的值为1． 故答案为：﹣1或﹣2或﹣2016． 13.计算下列各题： （1） （2） （3） （4） (1)解：| ＝﹣11212﹣|﹣8﹣5| ＝﹣1+6+8﹣13 ＝0． (2)解：原式 (3)解：原式 （4）解： =-12． 14. 已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且，求的值． 【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身， 所以x＝1，又因为|y+3|+(2x+3z)2＝0，所以y+3＝0且2x+3z＝0． 所以y＝-3．当x＝1时，2x+3z＝0，. 把x＝1，y＝-3，代入得：． 15.若a与b互为相反数，b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身，试求的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案 【解答】解：∵a与b互为相反数b与c互为倒数，并且m的平方等于它本身， ∴a+b=0，bc=1，m=1或0； 当m=1时，则原式=0+1-3=-2； 当m=0时，则原式=0+1-0=1． 16.探索规律：,请写出： （1）_______； （2）______； （3）. 【答案】（1）0；（2）0；（3）-2020 【解析】 【分析】 （1）根据乘方的定义即可化简求解； （2）根据乘方的定义即可化简求解； （3）根据乘方的定义与运算规律即可化简求解． 【详解】 （1）-1+1-1+1+…-1+1=0 故答案为：0； （2）-1+1-1+1+…-1+1=0 故答案为：0； （3） =-1-1-1-1…-1 =-1×(2020) =-2020． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$