2025年中考数学一轮复习 北京专用综合训练1

2025届初中数学一轮复习 北京专用初三综合训练1 数学试卷 考生须知: 1.本试卷共7页，共两部分.三道大题，28 道小题。满分100分。考试时间 120分钟。 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 第一部分 选择题 一、选择题(共16分，每题2分)第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．下列是小明非常喜欢的汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D． 2．如图(1)，图(2)所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，则∠AOB的度数可能是(　　) 图(1) 图(2) A．60° B．50° C．40° D．30° 3．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（　　） A．b+c0 B．1 C．adbc D．|a||b| 4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（　　） A． B． C． D． 6．将数用科学记数法表示为(　　) A． B． C． D． 7．如图，通过尺规作图，得到，再利用全等三角形的性质，得到了，那么，根据尺规作图得到的理由是( ) A． B． C． D． 8．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面积最大值是（　　） A．4 B． C．3 D． 第二部分非选择题 2、 填空题(共16分，每题2分) 9．当x取什么值时，下列各式有意义？；______　 10．因式分解：______． 11．已知是分式方程的解，则实数的值为 ． 12．若点（-5，），（-3，），（3，） 都在反比例函数 的图象上，则、、的大小关系是 （用“>”号连接）． 13．我国古代数学名著《九章算术》记录了很多经典问题，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 500石.验得米内夹谷，抽样取米一把，数得390粒米内夹谷26粒，则这批米内夹谷约为____石. 14．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则 ．（填“”“”或“”） 15．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ． 16．2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见下图： 小云参与了所有活动． （1）若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 ． 三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：-. 18．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 (2)解不等式②，得 (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 19．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）． ①   ②   ③    ④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 20．如图，在中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AB的中点，延长CA到点D，使得AC＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O． (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)如果AB＝5，BC＝13，求平行四边形AEFD的面积． 21．《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题. 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求m，b的值； (2)求的面积； (3)点P是x轴上的一点，过P作垂于x轴的直线与的交点分别为C，D，若P点的横坐标为n，当时直接写出n的取值范围． 23．为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保护活动活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力，两次相关数据记录如下： 活动前被测查学生视力数据：4.0，4.1，4.1，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1 活动后被测查学生视力数据：4.0，4.2，4.3，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1，5.1 活动后被测学生视力频数分布表 分组 频数 4.0x＜4.2 1 4.2x＜4.4 2 4.4x＜4.6 b 4.6x＜4.8 7 4.8x＜5.0 12 5.0x＜5.2 4 根据以上信息回答下列问题： （1）填空：a= ，b= ， （2）活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 ． （3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保护活动的效果（如取得了好的效果，简要说明原因；没有效果，也说明理由）． 24．如图1，以AB为直径作，点是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点作的平分线交于点，连结AD，过点作的切线交CB的延长线于点． (1)求证：． (2)若的半径为1，求的最大值． (3)如图2，连结AE，若，求的值． 25．如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，设运动时间为秒，的面积为．    (1)求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象． (3)当时，直接写出的取值范围． 26．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 27．如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，点D，E分别在边AC，BC上，且AC＝BC＝4，DC＝EC.将△DEC绕点C逆时针旋转． (1)如图(2)，在△DEC绕点C旋转的过程中，求证：BE＝AD； (2)如图(2)，若点N是AB的中点，在△DEC绕点C旋转的过程中，连接AD并延长，交BE于M，连接MN，MN的长度是否为定值？若是，请求出MN的长；若不是，请说明理由． 　 28．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”． (1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数； (3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长． 参考答案 1．【答案】B 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故此题答案为B． 2．【答案】C 【解析】由题图(1)可得∠AOB＜45°，由题图(2)可得∠AOB＞30°，所以30°＜∠AOB＜45°.故选C. 3．【答案】D 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案． 【详解】解：∵b+d＝0， 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d， A、∵b+d＝0， ∴b+c＜0， 故A不符合题意； B、＜0， 故B不符合题意； C、ad＜bc＜0， 故C不符合题意； D、|a|＞|b|＝|d|， 故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键． 4．【答案】B 【分析】此题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ 故此题答案为B． 5．【答案】B 【分析】 先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8， 所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为， 故选B． 【点睛】 本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 6．【答案】A 【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：=． 故选：A． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 7．【答案】C 【详解】解：由作图得， 则根据“SSS”可判断，所以. 故选C. 8．【答案】D 【分析】先求证AB＝AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4＝60°，AC＝AB进而求证△ABE≌△ACF，可得，故根据即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据，则△CEF的面积就会最大． 【详解】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD为菱形，△AEF为正三角形， ∴∠1+∠EAC∠BAD＝60°，∠3+∠EAC＝60°， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝∠D＝60°， 又∵AB＝CB＝AD＝CD， ∴△ABC和△ACD为等边三角形， ∴∠4＝60°，AC＝AB， ∴在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴， ∴是定值， 作AH⊥BC于H点，则BHAB＝3，AHAB＝3， ∴BC•AH， 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，AE最短， ∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又∵，则此时△CEF的面积就会最大， ∴＝9． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键． 9．【答案】(1)由3x－1>0，详解得x>， ∴当x>时，有意义． 10．【答案】 【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）． 故答案为：b（a+1）（a﹣1）． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底． 11．【答案】3 【分析】将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得： 12．【答案】 【分析】 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】 解：∵反比例函数， ∴函数图象的两个分支分别在第一、三象限内，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点（-5，），（-3，），（3，） 都在反比例函数 的图象上， ∴点（-5，），（-3，）在第三象限内，点（3，）在第一象限内， ∴， 故答案为：． 【点睛】 此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 13．【答案】100 【解析】根据题意得（石）.故答案为100. 14．【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故此题答案为：． 15．【答案】． 【分析】 由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果． 【详解】 解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小． 所以线段DH长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查正方形中的动点问题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大． 16．【答案】 鲁班锁； 1，2，3 【分析】（1）根据小云参与了所有活动．可得小云第一个挑战必定成功，再由只挑战成功一个，可得小云第一个挑战成功需要得到4个“币”，即可； （2）根据题意可得小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败，然后分三种情况讨论，即可． 【详解】解：∵小云参与了所有活动． ∴小云第一个挑战必定成功， ∵小云只挑战成功一个， ∴小云第一个挑战成功需要得到4个“币”， ∴挑战成功的活动名称为鲁班锁； 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功， ∴小云第一个挑战必定成功，且挑战成功的活动可能为华容道或魔方或鲁班锁，第二，三、五次挑战失败， 若第一次挑战华容道， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战魔方， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战鲁班锁时，最终剩下的“币”数量的取值为； 若第一次挑战鲁班锁， 当第四次挑战24点或数独时，最终剩下的“币”数量的取值为； 当第四次挑战华容道或魔方时，最终剩下的“币”数量的取值为； 综上所述，最终剩下的“币”数量的所有可能取值为1，2，3． 17．【答案】 【详解】 分析：分别计算出每一部分的值，再用实数的混合运算法则求解. 详解： ＝＋1 ＝＋1 ＝ 点睛：此类问题容易出错的地方：一是符号，二是特殊角的三角函数值，三是零指数幂的运算．实数的运算通常会结合一些特殊角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，绝对值等来考查．运算时应先“各个击破”，准确记忆特殊角的三角函数值及相关运算的法则，如(a≠0)，a0＝1(a≠0)． 18．【答案】(1) (2) (3)数轴见解析 (4) 【分析】（1）移项，合并，系数化1，求不等式的解集即可； （2）移项，合并，系数化1，求不等式的解集即可； （3）定方向，定边界，表示出不等式的解集即可； （4）根据数轴确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ∴ （2）， ∴， ∴ （3）数轴表示如图： （4）由数轴可知：不等式组的解集为： 19．【答案】（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数 【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断； （2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式； （3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值． 【详解】解：（1）①；②；③；④； ∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式； 故答案为：②； （2）原式； （3）原式 ； 根据题意得：原式； 当原式的值为整数时，应该是2的因数， ∴或或或 解得：或或或， ∵且且且， ∴当时，该式的值为整数． 20．【答案】(1)见详解 (2)15 【分析】 （1）E，F分别是BC，AC的中点，利用中位线的性质即可得，AC＝2EF，结合已知AC＝2AD，即可求证结论． （2）在中，利用勾股定理求得AC，进而可得EF=AD的值，根据中点的性质可求得AF，利用平行四边形的面积公式即可求解． (1) 证明：∵E，F分别是BC，AC的中点， ∴EF是的中位线， ∴，AC＝2EF， ∵AC＝2AD， ∴AD＝EF 又∵， ∴四边形ADFE是平行四边形． (2) 解：在中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的应用，掌握勾股定理及平行四边形的判定定理是解题的关键． 21．【答案】城中有75户人家. 【详解】设城中有x户人家， 由题意得x+x=100，解得x=75， 答：城中有75户人家. 22．【答案】(1)m=2，b=3 (2)12 (3)或 【分析】 （1）先根据直线l2求出m的值，再将点B（m，4）代入直线l1即可得b的值． （2）求出点A坐标，结合点B坐标，利用三角形面积公式计算即可； （3）求出点C和点D的纵坐标，再分C、D在点B左侧和右侧两种情况分别求解． (1) 解：∵点B（m，4）直线l2：y=2x上， ∴4=2m， ∴m=2， ∴点B（2，4）， 将点B（2，4）代入直线得：， 解得b=3； (2) 将y=0代入，得：x=-6， ∴A（-6，0）， ∴OA=6， ∴△AOB的面积==12； (3) 令x=n，则，， 当C、D在点B左侧时， 则， 解得：； 当C、D在点B右侧时， 则， 解得：； 综上：n的取值范围为或． 【点睛】 本题是一次函数综合题，考查两条直线平行、相交问题，三角形的面积，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象，根据条件确定自变量取值范围． 23．【答案】（1）5，4；（2）4.65，4.8；（3）活动前中位数为4.65，活动后中位数为4.8，说明学生在做完视力保健活动后整体视力情况变好 【分析】（1）根据调查前后数据可得a、b的值； （2）根据中位数和众数的概念即可求得结果； （3）可从4.8及以上人数的变化求解（答案不唯一）． 【详解】（1）a=30-(3+4+7+8+3)=5，b=30-(1+2+7+12+4)=4 故答案为：5，4 （2）活动前被测查学生视力样本数据的中位数是： ，活动后被测查学生视力样本数据的众数是：4.8； 故答案为：4.65；4.8． （3）活动前中位数为4.65，活动后中位数为4.8，说明学生在做完视力保健活动后整体视力情况变好（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，中位数和众数等统计量，统计量的选择，关键是清楚频数、中位数、众数等概念． 24．【答案】(1)见解析 (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）先由角平分线性质得，结合圆周角定理得出，根据是半径，是的中点，则，即可作答． （2）先证明得出因为直径是最大的弦，则即可作答． （3）先设设，由得出结合解直角三角形的性质得代入化简得因为，所以再解方程，即可作答． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， 平分， ； ， 是半径，是的中点 ， ∵ ； （2）解：平分， 又 即 又的半径为1， 即的最大值为4． （3）解：连接， 设， 由（2）知 ∴ 过点作，不妙设， ∴ 即 将代入 得 解得， 当时，， 当时，， 25．【答案】(1)(2)见详解；(3) 【详解】（1）解：∵M为中点，， ∴， 当点P在上时， ， 由题意得， ∴， ∵， ∴； 当点P在上时，则， ∴， ∵， ∴. 综上所述， （2）解；如图所示函数图象即为所求；    （3）解：当时，，当时，， ∴由函数图象可知当时，． 26．【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）直接利用对称轴公式求解即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为． （2）解：点，在抛物线上， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ∴， ∴， ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴， ∴， ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即， ∴， ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时， ∵对于，，都有， ∴， ∴， ∴， ∴. （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即, ∴, ∴．不符合题意舍去. 综上所述，a的取值范围是或． 27．【答案】(1)【证明】∵△DEC绕点C逆时针旋转，∴∠ACD＝∠BCE.∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴BE＝AD. (2)【解】MN的长度是定值．设AD的延长线交BC于点Q.在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4.由(1)得△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠DAC.∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠AQC＝90°.∵∠BQM＝∠AQC，∴∠MBC＋∠BQM＝90°，∴∠BMA＝90°，∴△BMA为直角三角形．∵N为AB的中点，∴MN＝AB＝×4＝2，∴MN的长度是定值，MN的长为2. 28．【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23． 【分析】 （1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED＝∠COD＝22.5°， 得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G， 利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可 【详解】 ∠CPD是直径AB的“回旋角”， 理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°， ∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BPC＝∠APD， ∴∠CPD是直径AB的“回旋角”； (2)如图1，∵AB＝26， ∴OC＝OD＝OA＝13， 设∠COD＝n°， ∵的长为π， ∴ ∴n＝45， ∴∠COD＝45°， 作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE， ∴∠BPC＝∠OPE， ∵∠CPD为直径AB的“回旋角”， ∴∠APD＝∠BPC， ∴∠OPE＝∠APD， ∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴点D，P，E三点共线， ∴∠CED＝∠COD＝22.5°， ∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠APD＝∠BPC＝67.5°， ∴∠CPD＝45°， 即：“回旋角”∠CPD的度数为45°， (3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF， ∴PF＝PC， 同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上， ∵直径AB的“回旋角”为120°， ∴∠APD＝∠BPC＝30°， ∴∠CPF＝60°， ∴△PCF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°， 连接OC，OD， ∴∠COD＝120°， 过点O作OG⊥CD于G， ∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°， ∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝ ∴CD＝， ∵△PCD的周长为24+13， ∴PD+PC＝24， ∵PC＝PF， ∴PD+PF＝DF＝24， 过O作OH⊥DF于H， ∴DH＝DF＝12， 在Rt△OHD中，OH＝ 在Rt△OHP中，∠OPH＝30°， ∴OP＝10， ∴AP＝OA﹣OP＝3； ②当点P在半径OB上时， 同①的方法得，BP＝3， ∴AP＝AB﹣BP＝23， 即：满足条件的AP的长为3或23． 【点睛】 本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$