第一章 第5课时 一元二次方程、不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第5课时　一元二次方程、不等式 [考试要求]　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 考点一　不含参数的不等式的解法 1．三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1<x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a，或x>b} {x|x≠a} {x|x<b， 或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 3．分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f (x)·g(x)>0(<0)且g(x)≠0． (2)≥0(≤0)⇔f (x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 4．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)， |x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 提醒：解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． [典例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．故选ABD．] 反思领悟　(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集． (2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组，如本例中，≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔不能在不讨论x－2与“0”的大小关系的情况下，不等式的两边直接乘“x－2”去分母． 巩固迁移1　(2024·福州鼓楼区一模)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤2，或x≥3}　　 B．{x|－2＜x＜3}　 C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3} B　[因为集合A＝＝{x|－2＜x≤2}，B＝{x|x2－3x＜0}＝{x|0＜x＜3}， 则A∪B＝{x|－2＜x＜3}．故选B．] 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [典例2]　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0． ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0， 解得x≤－1． ②当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1． ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0． 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为． 反思领悟　解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)讨论二次项系数：本例中二次项系数为a，当a＝0时，转化为一次不等式x＋1≤0；当a<0时，要转化为二次项系数大于0的形式(x＋1)≤0(注意不等号的变化)；当a>0时直接求解． (2)判断方程根的个数：不能分解因式时，需通过讨论判别式Δ与0的关系，确定根的个数，能分解因式无需判断，如本例． (3)确定根的大小写解集：本例中，a>0时，>－1，不等式的解集在两根之外，a<0时，与－1的大小不定，需比较与－1的大小，确定不等式的解集． 巩固迁移2　若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集为(　　) A． B． C． D． C　[由题可知，原不等式可转化为[2x－(a＋1)]·[2x－(a－1)]<0，因为>，所以不等式的解为<x<．故选C．] 考点三　三个二次的关系 [典例3]　(多选)(人教B版必修第一册P81习题2－2BT7改编)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为 ABD　[∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A选项正确； 已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得 则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C选项错误； 不等式bx＋c>0即为－ax－6a>0，解得x<－6，B选项正确； 不等式cx2－bx＋a<0即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D选项正确．故选ABD．] 反思领悟　本例中，由ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)可知a>0，且ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，即－＝－2＋3，＝－2×3，可求得b＝－a，c＝－6a，代入所求不等式中，可得不等式的解集，进而得解． 巩固迁移3　(2025·张家口市桥西区模拟)已知不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x|－3＜x＜2}，则不等式x2－bx－2a≥0的解集为(　　) A．{x|x≤－2，或x≥3}　　 B．{x|－1≤x≤2}　 C．{x|－2≤x≤3} D．{x|x≤－1，或x≥2} D　[因为不等式ax2＋bx－6＜0的解集为{x|－3＜x＜2}， 所以－3，2是方程ax2＋bx－6＝0的根， 即解得a＝1，b＝1， 所以不等式x2－bx－2a≥0即x2－x－2≥0，解得x≥2或x≤－1， 所以不等式x2－bx－2a≥0的解集为{x|x≥2，或x≤－1}． 故选D．] 解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解． 　形如f (x)≥0(f (x)≤0)在R上恒成立问题 [典例1]　(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则解得2<a<．综上可得，实数a的取值范围是．] 反思领悟　(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，要分a＝0和a≠0进行讨论． 应用体验1　若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．(－3，0]　　 B．[－3，0) C．[－3，0] D．(－3，0) D　[一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则必有 解得－3<k<0．] 　形如f (x)≥0在区间[a，b]上恒成立问题 [典例2]　已知函数f (x)＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f (x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 　[f (x)<5－m在x∈[1，3]上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立．因为x2－x＋1＝＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立，所以m<在x∈[1，3]上恒成立．令y＝，因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是．] 反思领悟　本例中，不等式f (x)<5－m在[1，3]上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值． 应用体验2　已知函数f (x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0，2]有f (x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．　　 B．[－1，1] C．(－∞，1] D． C　[f (x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0，2]有f (x)≥0恒成立，即2a≤x＋在x∈(0，2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取最小值2，所以2a≤2，即a≤1．故选C．] 1．(2024·开封期中)不等式(x－2)(1－2x)≥0的解集为(　　) A． B． C． D． B　[不等式(x－2)(1－2x)≥0可化为(x－2)(2x－1)≤0， 所以≤x≤2，故原不等式的解集为．故选B．] 2．(2025·雷州市模拟)关于x的不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1＜x＜2}，则m＋n的值为(　　) A．－　　 B．－ C． D． C　[因为不等式－x2＋mx＋n>0的解集为{x|－1＜x＜2}， 所以－1，2是方程－x2＋mx＋n＝0的两个实根， 所以 解得 所以m＋n＝．故选C．] 3．(2025·北京朝阳区模拟)若关于x的不等式mx2－mx－1＜0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．0＜m＜4　　 B．0≤m＜4 C．－4＜m＜0 D．－4＜m≤0 D　[当m＝0时，mx2－mx－1＝－1＜0恒成立，符合题意； 当m≠0时，因为mx2－mx－1＜0的解集为R， 所以解得－4＜m＜0， 综上，m的取值范围是－4＜m≤0．故选D．] 4．(2025·株洲荷塘区模拟)关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)＞0的解集是____________． (－∞，－1)∪(2，＋∞)　[由题意关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，可得＝1，且a＞0， (ax＋b)(x－2)＞0可变为(x－2)>0，即得(x－2)(x＋1)＞0， ∴x＜－1，或x＞2，∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．] 【教用·备选题】 1．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为(　　) A．5＜m≤6　　 B．5≤m≤6 C．6＜m≤7 D．6≤m≤7 C　[关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0，可化为(x－m)(x－3)＜0， 由选项知m>3，不等式的解集为{x|3<x<m}， 因解集中恰有3个正整数，易知这3个正整数应为4，5，6，所以6＜m≤7．故选C．] 2．(2024·保定三模)若集合A＝{x|≤a}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，且A⊆B，则a的取值范围为(　　) A．[0，1]　　 B．[0，] C．(－∞，1] D．(－∞，] D　[根据题意，B＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1，3]， 当a＜0时，A＝∅，满足A⊆B， 当a≥0时，A＝{x|0≤x≤a2}，若A⊆B，则有a2≤3，解得0≤a≤， 综合可得，a≤，即a的取值范围为(－∞，]． 故选D．] 3．(2025·滨州模拟)已知不等式x2－ax＋4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4]　　 B．[4，＋∞) C．(－∞，5] D．[5，＋∞) A　[若不等式x2－ax＋4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立， 则x2＋4≥ax对于任意的x∈[1，3]恒成立， 即x＋≥a对于任意的x∈[1，3]恒成立， ∵当x∈[1，3]时，x＋∈[4，5]，故a≤4， ∴实数a的取值范围是(－∞，4]．故选A．] 4．(2025·保定模拟)已知y＝－3x2＋a(6－a)x＋12． (1)若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值； (2)若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x＋9m2－6m，求m的取值范围． [解]　(1)y＝－3x2＋a(6－a)x＋12， 由不等式y＞b的解集为(0，3)，即方程－3x2＋a(6－a)x＋12－b＝0的两根为0和3， 由根与系数的关系知 解得 经检验知，a＝3，b＝12时，不等式y＞b的解集为(0，3)， 所以a＝3，b＝12． (2)当a＝3时，y＝－3x2＋9x＋12，由y≤3x＋9m2－6m恒成立，得－3x2＋6x＋12≤9m2－6m， 即x2－2x－4＋3m2－2m≥0恒成立， 又二次不等式对应的函数为y＝x2－2x－4＋3m2－2m，只需Δ＝4－4(－4＋3m2－2m)≤0， 化简得3m2－2m－5≥0，解得m≤－1或m≥． 综上，m的取值范围是(－∞，－1]． 课后习题(五)　一元二次方程、不等式 1．(人教A版必修第一册P55习题2.3T3改编)已知集合M＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N＝(　　) A．{x|－4≤x<3} B．{x|x≤－4，或x≥7} C．{x|－2<x<3} D．{x|－4≤x<－2，或3<x≤7} D　[由题意得N＝{x|x<－2，或x>3}，则M∩N＝{x|－4≤x<－2，或3<x≤7}． 故选D．] 2．(人教B版必修第一册P75例3改编)不等式≥1的解集是(　　) A．　　 B． C． D． B　[对于不等式≥1，移项得－1≥0， 即≤0，可化为解得≤x<2，故原不等式的解集为． 故选B．] 3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[4，＋∞)　　 B．[2，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，2] A　[法一：因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，设y＝2x2－4x－2＝2(x－1)2－4，x∈[－1，0]，则m≥ymax．易知y＝2(x－1)2－4在[－1，0]上单调递减，所以ymax＝2×(－1－1)2－4＝4，所以m≥4，所以m的取值范围是[4，＋∞)．故选A． 法二：设f (x)＝－2x2＋4x＋2＋m，易知f (x)图象的对称轴为直线x＝1，结合题意可得，即解得m≥4．故选A．] 4．(人教B版必修第一册P75练习BT5改编)求关于x的不等式x2－ax－2a2>0的解集，其中a是常数． [解]　原不等式化为(x＋a)(x－2a)>0． 关于x的方程(x＋a)(x－2a)＝0的根分别为x1＝－a，x2＝2a． 当a>0时，－a<0，2a>0，则x<－a或x>2a． 当a＝0时，－a＝2a＝0，原不等式为x2>0，则x≠0． 当a<0时，－a>0，2a<0，则x>－a或x<2a． 综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|x<－a，或x>2a}，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<2a，或x>－a}． 5．(2025·新余模拟)设集合M＝{x|<2}，N＝{x|x2－2x－3≤0}．则M∩N＝(　　) A．{x|－1≤x≤5}　　 B．{x|1≤x≤3} C．{x|－1≤x≤3} D．{x|1≤x＜5} B　[M＝{x|<2}＝{x|1≤x＜5}，N＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}， 则M∩N＝{x|1≤x≤3}．故选B．] 6．(多选)(2025·阳江模拟)下列不等式的解集为R的是(　　) A．x2＋6x＋11＞0　　 B．x2－3x－3＜0 C．－x2＋x－2＜0 D．x2＋2x＋5≥0 ACD　[对于A，易知方程x2＋6x＋11＝0的判别式Δ＝62－4×11＜0， 即对应的整个二次函数图象都在x轴上方，所以解集为R，即A正确； 对于B，易知方程x2－3x－3＝0的判别式Δ＝32＋4×3＞0， 由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误； 对于C，易知方程－x2＋x－2＝0的判别式Δ＝12－4×2＜0， 即对应的整个二次函数图象都在x轴下方，所以解集为R，即C正确； 对于D，易知不等式x2＋2x＋5≥0可化为(x＋)2≥0，显然该不等式恒成立，即解集为R，即D正确．故选ACD．] 7．(2025·周口鹿邑县模拟)存在x∈[0，3]，使得不等式x2－4x－a≥0成立，则实数a的取值范围为(　　) A．a≤－3　　 B．a≤0 C．－3≤a≤0 D．0≤a≤3 B　[存在x∈[0，3]，使得不等式x2－4x－a≥0成立，等价于a≤(x2－4x)max． 令y＝x2－4x，x∈[0，3]，当x＝0时，ymax＝0，所以a≤0．故选B．] 8．(2025·渭南模拟)已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞－1}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A． B． C． D．{x|x＜－2，或x＞1} C　[因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞－1}， 所以x＝－2，x＝－1是ax2＋bx＋2＝0的根， 所以解得a＝1，b＝3， 不等式2x2＋bx＋a＝2x2＋3x＋1＜0，解得－1<x<－． 故选C．] 9．(2025·汕头模拟)已知关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，－2)∪[4，5)　　 B．(－3，－2]∪(4，5]　 C．(－3，－2]∪[4，5) D．[－3，－2)∪(4，5] D　[因为x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)＜0， 由题意得a≠1，当a＞1时，解得1＜x＜a， 若不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，即为2，3，4，则4＜a≤5， 当a＜1时，解得a＜x＜1， 若不等式x2－(a＋1)x＋a＜0恰有三个整数解，即为－2，－1，0，则－3≤a＜－2． 综上，－3≤a＜－2或4＜a≤5．故选D．] 10．(2025·上海浦东新区模拟)设a＞0，若关于x的不等式x2－ax＜0的解集是区间(0，1)的真子集，则实数a的取值范围是________． (0，1)　[因为a＞0，所以解不等式x2－ax＜0，得0＜x＜a， 又因为不等式x2－ax＜0的解集是区间(0，1)的真子集， 所以a的取值范围是(0，1)．] 11．(2025·贵州模拟)已知关于x的不等式mx2＋3mx－12＜0的解集为R，则实数m的取值范围是____________． 　[当m＝0时，不等式为－12＜0，解集为R； 当m≠0时，不等式mx2＋3mx－12＜0的解集为R， 应满足解得－＜m＜0． 综上，实数m的取值范围是．] 12．(2025·沈阳浑南区模拟)已知函数f (x)＝ax2－(a＋1)x＋1，a∈R． (1)若f (x)＜0的解集为{x|x＜－2，或x＞1}，求a的值； (2)求关于x的不等式f (x)＞0的解集． [解]　(1)由题意知，－2，1是ax2－(a＋1)x＋1＝0的根， ∴－2＋1＝，－2×1＝，解得a＝－． (2)由f (x)＞0得(ax－1)(x－1)＞0， ①当a＜0时，解集为； ②当a＝0时，解集为{x|x＜1}； ③当0＜a＜1时，解集为； ④当a＝1时，解集为{x|x≠1}； ⑤当a＞1时，解集为． 综上所述，当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＜1}；当0＜a＜1时，解集为x<1，或x>；当a＝1时，解集为{x|x≠1}；当a＞1时，解集为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$