第一章 第3课时 等式性质与不等式性质-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第3课时　等式性质与不等式性质 [考试要求]　1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用． 考点一　数(式)的大小比较 (1)作差法(a，b∈R) (2)作商法(a∈R，b>0) (3)特值法，此方法可在选择题中使用． [典例1]　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．<(b>a>0，m>0) (2)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y　　 B．x＝y C．x<y D．随c而定 (1)AD　(2)C　[(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； ＝， ∵b>a>0，m>0，∴>0， ∴<，故D正确．故选AD． (2)由题设，易知x>0，y>0， 又＝＝＝<1， ∴x<y． 故选C．] 反思领悟　本例(1)采用作差法，其步骤是：作差—变形—定号(判断差与“0”的大小)—得出结论．关键是变形，通常“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．本例(2)采用作商法，其步骤是：作商—变形—判断商与1的大小关系—得出结论．关键是变形，常用的变形是分母有理化或变为幂的形式． 巩固迁移1　(1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q　　 B．p≤q C．p>q D．p≥q (2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________． (1)B　(2)aabb>abba　[(1)p－q＝－a－b＝＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0． 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p<q． 综上，p≤q．故选B． (2)因为＝＝， 又a>b>0，故>1，a－b>0， 所以>1，即>1， 又abba>0，所以aabb>abba．] 考点二　不等式的基本性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． [常用结论] (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>； (2)若a>b>0，m>0，则 ①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小； ②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大． [典例2]　(1)(2025·上海杨浦区模拟)设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是(　　) A．若a＞b，则a＋c＞b＋c B．若a＞b，则ac＞bc C．若<，则a＞b D．若a2＞b2，则a＞b (2)(2025·上海浦东新区模拟)已知a＋b＞0，且b＜0，则(　　) A．>－1　　 B．ab＞－b2 C．>－ D．a2＞b2 (1)A　(2)D　[(1)由不等式的性质可知，当a＞b时，a＋c＞b＋c成立，A正确； 当c＝0时，B显然错误；当a＝－2，b＝1时，C，D显然错误．故选A． (2)由a＋b＞0，且b＜0知a＞－b＞0，则<－1，故A错误； ab＜－b2，故B错误； 由－>0得a·>(－b)·，即<－，故C错误； a2＞(－b)2，即a2＞b2，故D正确． 故选D．] 反思领悟　特值法(如本例(1))结合不等式性质是解本题的关键． 巩固迁移2　(1)(2025·淮北模拟)已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若<，则a＞b C．若a＞b，则ln (a－b)＞0 D．若a＞b＞0，则a＋>b＋ (2)(2024·上海崇明区二模)若a＞b，c＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac2＞bc2　　 B．> C．a＋c＜b＋c D．a＞b－c (1)D　(2)A　[(1)当a＜0，b＜0时，A显然错误； 当a＝－1，b＝1时，B显然错误； 当a＝2，b＝1时，C显然错误； 若a＞b＞0，则＞，所以a＋＞b＋，D正确． 故选D． (2)∵a＞b，c＜0， ∴ac2＞bc2，∴<0，<，a＋c＞b＋c，a与b－c的大小关系不确定． 则不等式成立的是A．故选A．] 考点三　不等式性质的综合应用 [典例3]　(1)已知2≤2x＋3y≤6，－3≤5x－6y≤9，则z＝11x＋3y的取值范围是(　　) A． B． C． D．{z|3≤z≤27} (2)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． (3)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． (1)D　(2)(－4，2)　(1，18)　(3)　[(1)设11x＋3y＝m(2x＋3y)＋n(5x－6y)， 则11x＋3y＝(2m＋5n)x＋(3m－6n)y， 所以解得 于是11x＋3y＝3(2x＋3y)＋(5x－6y)． 又因为6≤3(2x＋3y)≤18，－3≤5x－6y≤9， 所以3≤3(2x＋3y)＋(5x－6y)≤27，即3≤11x＋3y≤27． 故z的取值范围为{z|3≤z≤27}． 故选D． (2)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2．由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18． (3)因为4<b<9，所以<<，又3<a<8，所以×3<<×8，即<<2．] 反思领悟　多次运用不等式的性质易造成扩大变量范围的错误结果，如本例(1)，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 巩固迁移3　(多选)(2025·重庆模拟)已知－2<a＋b<4，2<2a－b<8，则下列不等式不正确的是(　　) A．0<a<4　　 B．0<b<2 C．－6<a＋2b<6 D．0<a＋2b<8 BD　[对于A，∵－2<a＋b<4，2<2a－b<8， ∴－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8， ∴0<3a<12，∴0<a<4，故A正确； 对于B，∵2<2a－b<8，∴－8<b－2a<－2， ∵－2<a＋b<4，∴－4<2a＋2b<8， 由∴－12<3b<6， ∴－4<b<2，故B错误； 对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)， 则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b， ∴∴ ∴a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)， ∵－2<a＋b<4，∴－<(a＋b)<， ∵2<2a－b<8，∴－<－(2a－b)<－， ∴－6<a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)<6，故C正确、D错误．故选BD．] 1．设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t　　 B．s>t C．s≤t D．s<t A　[因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0， 所以s≥t．故选A．] 2．若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a＋d＞b＋c　　 B．a＋c＞b＋d C．ac＞bd D．ad＞bc B　[对于A，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但a＋d＝b＋c，故A错误； 对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d， ∴由不等式的可加性可得，a＋c＞b＋d，故B正确； 对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误； 对于D，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误． 故选B．] 3．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是(　　) A．＜ B．＞ C．＜ D．＜ A　[向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜．故选A．] 4．已知－2<x－y<0，1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为________． (－1，9)　[设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)＝(m＋2n)x＋(－m＋n)y， 则解得 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)． 又－4<2(x－y)<0，3<3(2x＋y)<9， ∴8x＋y的取值范围为(－1，9)．] 【教用·备选题】 1．(2025·广东深圳外国语模拟)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是(　　) A．<　　 B．a2>b2 C．> D．a|c|>b|c| C　[当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但>，a2<b2，排除A，B；>0，a>b，由不等式的性质得>，C正确；当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D．故选C．] 2．(2025·北京汇文中学校考模拟)如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是(　　) A．|a|<|b|　　　　　 B．> C．a－<b－ D．ln a>ln b D　[因为a>b>0， 所以|a|>|b|>0，故A错误； 因为a>b>0，所以<，故B错误； 因为a>b>0，所以a－b>0，>0， 故a－＝a－b＋＝(a－b)>0， 所以a－>b－，C错误； 因为a>b>0，且y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln a>ln b，故D正确．故选D．] 3．(2025·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是(　　) A．若ac2≥bc2，则a≥b B．若>，则a<b C．若a＋b>0，c－b>0，则a>c D．若a>0，b>0，m>0，且a<b，则> D　[对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误； 对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a<b，故B错误； 对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误； 对于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，则b－a>0， 所以＝＝>0，即>，故D正确． 故选D．] 4．(2025·北京101中学校考阶段练习)已知a<b<0<c，则下列不等式正确的是(　　) A．> B．a2>c2 C．logc(－a)>logc(－b) D．> D　[A选项：＝，因为a<b<0，则b2－a2<0，ab>0，故<0，即<，故A选项错误； B选项：当a＝－1，c＝2时，a2>c2不成立，故B选项错误； C选项：a<b<0，即－a>－b>0，当0<c<1时，logc(－a)<logc(－b)，故C选项错误； D选项：由a<0<c，则>1>，故D选项正确． 故选D．] 课后习题(三)　等式性质与不等式性质 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(3)改编)已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N　　 B．M>N C．M＝N D．M≥N B　[∵0<a1<1，0<a2<1， ∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0， ∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N．故选B．] 2．(多选)(人教A版必修第一册P42练习T2改编)下列结论正确的是(　　) A．如果a>b，c<d，那么a－c>b－d B．如果a>b>0，c<d<0，那么ac>bd C．如果a>b>0，那么< D．如果a>b>c>0，那么< ACD　[⇒a－c>b－d，A正确； ⇒－ac>－bd，即ac<bd，B错误； a>b>0⇒a2>b2>0⇒<，C正确； ⇒<，D正确． 故选ACD．] 3．(多选)(人教A版必修第一册P57复习参考题2T2改编)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则a>>b B．若a>b>0，则a>>b C．若>，则a>0，b<0 D．若a>b>0，c>0，则> ABD　[对于A，∵a>b，∴a－＝>0，－b＝>0，∴a>>b，故A正确； 对于B，∵a>b>0， ∴＝>1，＝>1，∴a>>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足>，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴＝＝>0，即>，故D正确．故选ABD．] 4．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<<　　 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 C　[对于A，∵15<b<18，∴<<，又6<a<60，∴<<4，∴A错误；对于B，∵6<a<60，15<b<18，∴36<a＋2b<96，∴B错误；对于C，∵15<b<18，∴－18<－b<－15，又6<a<60，∴－12<a－b<45，∴C正确；对于D，∵6<a<60，15<b<18，∴21<a＋b<78，由A选项知<<，∴<<，∴D错误． 故选C．] 5．(2024·上海松江区期末)已知a，b∈R，设M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N　　 B．M≤N C．M＞N D．M≥N D　[因为M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M－N＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 所以M≥N．故选D．] 6．(2024·信阳固始县三模)若a，b∈R，且a＞b，则(　　) A．>　　 B．a2b＞ab2 C．a2＞ab＞b2 D．a>>b D　[当a＝1，b＝－1时，A，B显然错误； 当a＜0，b＜0时，C显然错误； 由a＞b可得2a＞a＋b＞2b，即a＞＞b，D正确．故选D．] 7．(多选)(2025·西安雁塔区模拟)已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是(　　) A．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1 B．若a＞b＞0且c＜0，则> C．若c＞a＞b＞0，则> D．若b＞a＞0，则< BC　[对于A，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，又－2＜a＜3，所以－4＜a－b＜2，故选项A错误； 对于B，因为a＞b＞0，所以a2＞b2＞0，所以0<<，又c＜0，所以>，故选项B正确；对于C，因为c＞a＞b＞0，所以c－b＞c－a＞0，所以>>0，又a＞b＞0，所以>，故选项C正确；对于D，当b＝3，a＝2，c＝－1时，D选项显然错误．故选BC．] 8．(2024·西宁一模)下列命题中，正确的是(　　) A．若ab≠0且a＜b，则> B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a＞b，则a＋c＞b＋c D　[当a＜0，b＞0时，A显然错误； 当a＝1，b＝－1时，B显然错误； 当a＝1，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，C显然错误； 若a＞b，则a＋c＞b＋c，D正确．故选D．] 9．(多选)(2025·温州模拟)已知a，b，c，d∈R，则下列说法中正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c　 B．若a＞b，则ac＞bc　 C．若ab≠0，a＞b，则< D．若a＞b＞0，则> AD　[A选项，若a＞b，c＞d，则－d＞－c， 所以a－d＞b－c，所以A选项正确； B选项，若a＞b，当c＝0时，ac＝bc，所以B选项错误； C选项，若ab≠0，a＞b，如a＝1，b＝－1，则>，所以C选项错误； D选项，若a＞b＞0，则＝ ＝＝>0， 所以>，所以D选项正确． 故选AD．] 10．(多选)(2025·周口川汇区模拟)若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是(　　) A．>　　 B．a＋>b＋ C．a＋>b＋ D．> AD　[对于A，∵a＞b＞0，∴ab＞0，b－a＜0， ∴＝＜0，故A选项符合题意； 对于B，a＋－b－＝a－b＋＝(a－b)·， 当ab－1＞0时，a＋>b＋可能成立，故B选项不符合题意； 对于C，a＋－b－＝(a－b)＋＝(a－b)＞0，故C不符合题意； 对于D，＝＝<0，故D符合题意．故选AD．] 11．(2025·保定模拟)某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a元/kg，二级棉花b元/kg(b＜a)，现有一级棉花x kg，二级棉花y kg(x＞y)，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？________．其理由可用不等式表示为____________． 不公平　ax＋by>(a＋b)(x＋y)　[若分类收购，则总钱数为(ax＋by)元， 若以两种价格平均数收购，则总钱数为(a＋b)(x＋y)． 因为ax＋by－(a＋b)(x＋y) ＝(2ax＋2by－ax－ay－bx－by) ＝(ax＋by－ay－bx)＝(a－b)(x－y)， 因为a＞b，x＞y，所以(a－b)(x－y)＞0， 所以ax＋by＞(a＋b)(x＋y)，所以不公平．] 12．(2025·福州长乐区模拟)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围为________． 　[设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，x，y∈R， 则解得 所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β)， 因为π<α＋β<，－π<α－β<－， 所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－， 所以－π<2α－β<． 则2α－β的取值范围为．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$