第一章 第2课时 常用逻辑用语-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 考点一　充分、必要条件的判断与应用 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔BA； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 　定义法判断充分、必要条件 [典例1]　(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B． 法二：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．] 反思领悟　定义法判断充分、必要条件的关键是推断p⇒q，q⇒p是否成立． 巩固迁移1　(2025·天津北辰区模拟)已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若a＝b＝0，则|a＋b|＝0；反之，当a＝－1，b＝1时，符合|a＋b|＝0，不能得出a＝b＝0， 即“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要条件．故选A．] 　集合法判断充分、必要条件 [典例2]　(2025·云南昆明模拟)设a∈R，则“2＜a＜3”是“(a＋1)(a－6)＜0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由(a－6)(a＋1)＜0，得－1＜a＜6，因为(2，3)是(－1，6)的真子集， 所以“2＜a＜3”是“－1＜a＜6”的充分不必要条件．故选A．] 反思领悟　子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件． 巩固迁移2　(2025·成都郫都区模拟)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是 (　　) A．m<　　　　　　　　 B．m< C．m<－ D．m<－ A　[由题意，Δ＝1－4×1×m≥0， 解得m≤，而m≤可以推出m＜，故选A．] 　充分、必要条件的应用 [典例3]　(2025·芜湖镜湖区模拟)已知集合P＝{x|a－2≤x≤3a＋1}，Q＝{x|－1≤x≤6}． (1)若a＝2，求∁R(P∩Q)； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． [解]　(1)当a＝2时，P＝{x|0≤x≤7}， Q＝{x|－1≤x≤6}， 所以P∩Q＝{x|0≤x≤6}， 所以∁R(P∩Q)＝{x|x＜0，或x＞6}． (2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件， 所以PQ， 当P＝∅时，有3a＋1<a－2，解得a<－； 当P≠∅时，则或 所以1≤a≤， 综上，实数a的取值范围是． 反思领悟　解题时易颠倒充分性与必要性而出错，所以在解答这类问题时，一定要分清条件和结论，选择恰当的方法作出准确判断． 巩固迁移3　已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，3]　　 B．(2，3] C．∅ D．[2，3] B　[若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则BA，所以且等号不能同时取得，解得2<m≤3，即m的取值范围是(2，3]．故选B．] 考点二　全称量词与存在量词 1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． 2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题及其否定 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x， p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． (2)命题p与¬p真假性相反． 　含量词的命题的否定 [典例4]　(人教A版必修第一册P31例5改编)命题“∃x≤0，2x2＜5x－1”的否定是(　　) A．∀x＞0，2x2＜5x－1　 B．∃x＞0，2x2≥5x－1 C．∀x≤0，2x2≥5x－1 D．∃x≤0，2x2＞5x－1 [答案]　C　 反思领悟　存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，否定结论． 巩固迁移4　(2025·沈阳和平区模拟)命题“∀n∈N，n2＞4n＋3”的否定为(　　) A．∃n∈N，n2＞4n＋3　　 B．∃n∈N，n2≤4n＋3 C．∀n∉N，n2＞4n＋3 D．∀n∈N，n2≤4n＋3 [答案]　B 　含量词命题的真假判断 [典例5]　(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题　　 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 反思领悟　判定全称量词命题是假命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)不成立即可；判定存在量词命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．p与¬p真假性相反． 巩固迁移5　(多选)下列命题的否定是真命题的有(　　) A．某些平行四边形是菱形 B．∃x∈R，x2－3x＋3<0 C．∀x∈R，|x|＋x2≥0 D．∀x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解 BD　[对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为Δ＝9－12＝－3<0，所以原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题．根据原命题和它的否定真假性相反的法则判断，选项B，D中，原命题的否定是真命题．故选BD．] 　含量词的命题的应用 [典例6]　若命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 　[命题“∃x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题， 等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”， 则Δ＝1＋4a<0，解得a<－， 即实数a的取值范围为．] 反思领悟　全称量词、存在量词命题为真⇔全称量词、存在量词命题的否定为假． 巩固迁移6　已知命题p：对于任意x∈[1，2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0．若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________． (－2，1)∪(1，＋∞)　[若命题p为真，则对于任意x∈[1，2]，都有a≤(x2)min＝1，即a≤1；若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2．若p与q都是真命题，则a≤－2或a＝1，所以若p与q中至少有一个是假命题，则a>－2且a≠1．] 1．命题“∃x＞0，x2＋x－1＞0”的否定是(　　) A．∀x＞0，x2＋x－1＞0 B．∀x＞0，x2＋x－1≤0　 C．∃x≤0，x2＋x－1＞0 D．∃x≤0，x2＋x－1≤0 B　[根据含有量词的命题的否定可知，∃x＞0，x2＋x－1＞0的否定为∀x＞0，x2＋x－1≤0．故选B．] 2．“0＜x＜1”是“|x(x－1)|＝x(1－x)”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由“|x(x－1)|＝x(1－x)”可得，x(x－1)≤0，解得0≤x≤1， 则“0＜x＜1”是“|x(x－1)|＝x(1－x)”的充分不必要条件．故选A．] 3．已知p：－3≤x≤1，q：x≤a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________． [1，＋∞)　[∵q的一个充分不必要条件是p， ∴[－3，1](－∞，a]， ∴a≥1．则实数a的取值范围是[1，＋∞)．] 【教用·备选题】 由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________． 1　[因为命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题， 所以命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题， 故Δ＝22－4m<0， 即m>1，故a＝1．] 课后习题(二)　常用逻辑用语 1．(多选)(人教B版必修第一册P28练习B T4改编)给定命题p：∀x>m，都有x2>8．若命题p为假命题，则实数m可以是(　　) A．1　　 B．2 C．3 D．4 AB　[因为命题p为假命题，所以¬p：∃x>m，x2≤8是真命题．当m＝1时，x>1，令x＝2，22<8成立，所以选项A符合题意；当m＝2时，x>2，令x＝2.5，2.52<8成立，所以选项B符合题意；当m＝3时，x>3，x2>9，则x2≤8不成立，所以选项C不符合题意；当m＝4时，x>4，x2>16，则x2≤8不成立，所以选项D不符合题意．故选AB．] 2．(多选)(北师大版必修第一册P22例7改编)关于命题p：“∃x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列说法正确的是(　　) A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0 D．¬p：∀x∉N，6x2－7x＋2>0 BC　[命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p为假命题．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0．故选BC．] 3．(多选)(人教A版必修第一册P31例5改编)下列命题的否定是假命题的是(　　) A．∃m∈N，∈N B．菱形都是平行四边形 C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根 D．平面四边形ABCD的内角和等于360° ABD　[由于原命题和其否定的真假完全相反，所以题干中“下列命题的否定是假命题”等价于“下列命题是真命题”，对于A，当m＝0时，＝1∈N，则A中命题为真命题，故A符合题意；选项B显然符合题意；对于C，因为Δ＝a2＋4>0恒成立，所以不存在a∈R，使得一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根，故C不符合题意；选项D显然符合题意．故选ABD．] 4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知命题p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 　[设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，由p是q的充分不必要条件，可知AB， ∴或解得0≤a≤，故所求实数a的取值范围是．] 5．(2025·合肥模拟)命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是(　　) A．所有奇数都是2的倍数　 B．存在一个偶数是2的倍数　 C．所有偶数都不是2的倍数　 D．存在一个偶数不是2的倍数 D　[命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是存在一个偶数不是2的倍数．故选D．] 6．(2025·西安雁塔区模拟)“x，y为无理数”是“x＋y为无理数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[根据题意，若x，y为无理数，则不一定可以推出x＋y为无理数， 如x＝且y＝－，但x＋y＝0不是无理数，充分性不成立； 反之，若“x＋y为无理数”，可能x＝1，y＝－1，x＋y＝， 也不能得到x，y为无理数，必要性也不成立． 故“x，y为无理数”是“x＋y为无理数”的既不充分也不必要条件． 故选D．] 7．(2024·保定三模)集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，2)　　 B．[2，＋∞) C．(－2，2] D．(2，＋∞) B　[由题意，x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是[2，＋∞)．故选B．] 8．(2025·山东蒙阴县模拟)已知“∃x∈R，2 024x2－2 024x－a<0”为真命题，则实数a的取值范围为(　　) A．a＞－506　　 B．a≥－506 C．a≤－506 D．a＜－506 A　[根据题意，“∃x∈R，2 024x2－2 024x－a<0”为真命题， 即a>2 024x2－2 024x有解，令f (x)＝2 024x2－2 024x， 则a>f (x)min，易得f (x)＝2 024(x2－x) ＝2 024－506≥－506， 即函数f (x)取得最小值f ＝－506， 故a>－506．故选A．] 9．(2024·北京朝阳月考)已知p：a∈{x|x＝2k，k∈N*}，q：正整数a能被4整除，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若p成立，则a∈{x|x＝2k，k∈N*}，可知a为正偶数，不一定推出q：正整数a能被4整除，故充分性不成立；反之，若q成立，则正整数a能被4整除，可知a一定是正偶数，可以推出p：a∈{x|x＝2k，k∈N*}，即必要性成立．因此，p是q的必要不充分条件．故选B．] 10．(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(　　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 AD　[对于A，<1，即－1<0，即<0，即>0，即a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误； 对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，所以x2＋y2≥8，当不等式x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2， 所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选AD．] 11．(2024·北京市东城区二模)已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0，则命题p的否定是________________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是________． ∀x∈R，ax2＋2x＋1>0　(1，＋∞)　[由题设，命题p的否定是∀x∈R，ax2＋2x＋1>0． p为假命题，即∀x∈R，ax2＋2x＋1>0为真命题， 所以可得a>1．] 12．(2024·江苏扬州检测)已知命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a，命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为________． (－∞，－1]　[命题p：∀x∈[1，2]，x2＋1≥a恒成立，若p是真命题，则当x∈[1，2]时，a≤(x2＋1)min＝2．命题q：∃x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若命题q是真命题，则当x∈[－1，1]时，a>(1－2x)min＝1－2＝－1，所以命题q是假命题时，a≤－1．综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$