第二章 第8课时 对数与对数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第8课时　对数与对数函数 [考试要求]　1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 考点一　对数与对数运算 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N． 以e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为ln N． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)对数恒等式 ＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (4)对数换底公式：logab＝． [常用结论] 1．logab＝． ．logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R且m≠0)． [典例1]　(1)(2024·梅州五华区期中)下列等式正确的是(　　) A．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1 B．log35·log32·log59＝3 C．＋eln 2＋＝π D．＝1 (2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________． (1)A　(2)64　[(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝(1－lg 2)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1，A正确； log35·log32·log59＝≠3，B错误； ＋eln 2＋＝log78＋2＋5－π≠π，C错误； ×(0.4)-1＝≠1，D错误． 故选A． (2)由题意log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0， 解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1， 所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．] 反思领悟　本例(1)的解答关键：①将同底对数的和、差、倍合并，如选项A． ②利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式，如选项B． ③利用对数恒等式求值，如选项C． 本例(2)的关键：利用对数的换底公式，换成同底的对数． 巩固迁移1　(1)lg＝________． (2)(2024·上海高三校联考阶段练习)若12a＝3b＝m，且＝2，则m＝________． (3)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________． (1)4　(2)2　(3)e　[(1)lg＝－2－＋6＝4． (2)∵12a＝3b＝m，且＝2， ∴m>0且m≠1， ∴a＝log12m，b＝log3m， ∴＝logm12，＝logm3， ∴＝logm12－logm3＝logm4＝2， ∴m＝2． (3)因为f (ln 2)＝aln 2，f (ln 4)＝aln 4，所以f (ln 2)·f (ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e．] 考点二　对数函数的图象及应用 1．对数函数 (1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 2．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [常用结论]　对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． [典例2]　(1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝图象可能是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D (2)方程2 025x＋log2 025x＝0的实根个数为(　　) A．0　　 B．1 C．2 D．2 025 (1)B　(2)B　[(1)∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)， ∴ab＝1，∴a＝， ∴g(x)＝＝logax，函数f (x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数， ∴函数f (x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性． (2)2 025x＋log2 025x＝0，即2 025x＝－log2 025x． 在同一坐标系中作出函数y1＝2 025x， y2＝－log2 025x的示意图，如图所示， 函数y1＝2 025x为增函数，y2＝－log2 025x为减函数，可知两函数图象有且只有一个交点， 所以方程2 025x＋log2 025x＝0有一个实根，故选B．] 反思领悟　本例(1)直接利用对数运算性质logaM＋logaN＝loga(MN)得到lg a＋lg b＝lg (ab)，再由对数的性质loga1＝0得到ab＝1，再结合互为反函数的函数图象关于y＝x对称及函数性质得选B．本例(2)是对数型方程，常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 巩固迁移2　(1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象大致是(　　) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D (2)(多选)(2025·威海模拟)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a>0　　 B．0<a<1 C．b<－1 D．－1<b<0 (1)A　(2)BD　[(1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，所以函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的交点是(0，0)．故选A． (2)因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，B项正确．又因为函数f (x)的图象与x轴的交点在正半轴，所以x＝1＋b>0，即b>－1，又因为函数f (x)的图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0，D项正确．故选BD．] 考点三　对数函数的性质及应用 　比较对数值的大小 [典例3]　(人教A版必修第一册P141T13(2))比较下列三个值的大小：log23，log34，log45． [解]　方法一(化同底数比较大小) 法一(作差法)：log23－log34＝，因为ln 2·ln 4<＝2<(ln 3)2，所以log23－log34>0． log34－log45＝， 因为ln 3·ln 5<＝2<(ln 4)2，所以log34－log45>0． 综上有：log23>log34>log45． 法二(综合法)：因为当n>1时，lg n·lg (n＋2)<< ＝lg2(n＋1)，即lg n·lg (n＋2)<lg2(n＋1)，所以>，即logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)，所以取n＝2和3可得log23>log34>log45． 方法二(化同真数比较大小) 法三：不妨先证：log23>log34⇔证log827>log916，因为log827>log927>log916，所以log23>log34，再证log34>log45⇔证log2431 024>log256625，因为log2431 024>log2561 024>log256625，所以log34>log45． 综上有：log23>log34>log45． 方法三(插值法比较大小) 法四：因为log23>log22⇔42<33，所以log34<，因为⇔36<45，所以log34>，所以<log34<，因为log45＝⇔25<26，所以log45<． 综上有：log23>log34>log45． 反思领悟　方法一的两种解法是通过转化为同底的对数值，结合比较大小的常规方法(作差法、综合法)进行解答；方法二的关键是利用换底公式将底数、真数取相同的幂，然后插入与其中一个对数值同真数，与另一个对数值同底数的中间量比较大小；方法三插入两个数值，使log23>>log34>>log45成立，从而比较大小．在插值中“0”与“1”是常见两个插入数值． 巩固迁移3　设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a>b>c　　 B．b>c>a C．a>c>b D．c>b>a A　[a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43>log53>log63，∴a>b>c．故选A．] 　解对数不等式 [典例4]　(2024·安徽江淮十校联考)已知实数a>0，且满足53a+2>54a+1，则不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)的解集为________． 　[由实数a>0，且满足53a+2>54a+1， 根据指数函数的单调性，可得3a＋2>4a＋1， 解得0<a<1， 所以函数y＝logax为减函数， 由不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)， 可得解得<x<， 即不等式的解集为．] 反思领悟　(1)指数函数、对数函数的单调性取决于其底数的取值范围(大于1还是大于0且小于1)，底数不定要分类讨论． (2)在涉及指对型函数的有关问题时易忽略对数函数的真数大于0的限制条件． 巩固迁移4　不等式logx(x＋2)>1的解集是(　　) A．(2，＋∞) 　　 B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞) B　[logx(x＋2)>1⇔①或② ①无解，②的解为x>1，∴x>1，故选B．] 　对数函数性质的综合应用 [典例5]　若函数f (x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1)　　 B． C． D．(1，＋∞) C　[设u(x)＝3－2ax(a>0且a≠1)，则u(x)是减函数，要使得函数f (x)＝loga(3－2ax)在[1，2]上单调递增，只需y＝logau为减函数，且满足u(x)＝3－2ax>0在x∈[1，2]上恒成立，所以解得0<a<． 所以实数a的取值范围为．] 反思领悟　本例要弄清楚四个问题：①定义域；②底数与1的大小关系；③复合函数的构成；④复合函数的单调性“同增异减”． 巩固迁移5　(多选)(2024·邯郸一模)已知函数f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则(　　) A．f (x)的定义域是(－6，4) B．f (x)有最大值 C．不等式f (x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．f (x)在[0，4]上单调递增 AB　[由题意可得 解得－6<x<4，即的定义域是(－6，4)，则A正确；，因为y＝－x2－2x＋24在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，所以f (x)max＝f (－1)＝2log25，则B正确；因为f (x)在(－6，－1)上单调递增，在(－1，4)上单调递减，且f (－4)＝f (2)＝4，所以不等式f (x)<4的解集是(－6，－4)∪(2，4)，则C错误；因为f (x)在(－1，4)上单调递减，所以D错误．] 【教用·备选题】 1．设函数f (x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f (x)(　　) A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 D　[由f (x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|， 得f (x)的定义域为， 关于坐标原点对称， 又f (－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f (x)， ∴f (x)为定义域上的奇函数，故排除A，C； 当x∈时，f (x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)， ∵y＝ln (2x＋1)在上单调递增，y＝ln (1－2x)在上单调递减， ∴f (x)在上单调递增，故排除B； 当x∈时， f (x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x) ＝ln ＝ln ， ∵u＝1＋在上单调递减，y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增， 根据复合函数单调性可知f (x)在上单调递减，故D正确．] 2．(2024·浙江杭州高一校考期末)已知函数f (x)＝loga(x2＋2ax＋2a－1)． (1)当a＝时，求函数f (x)的单调区间； (2)若f (x)在(－∞，－2)上单调递减，求实数a的取值范围． [解]　(1)根据题意，当a＝时， f (x)＝， 由x2＋x>0，解得x<－1或x>0， 故f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)， 令t＝x2＋x＝，则该函数在(－∞，－1)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 因为函数y＝为减函数， 所以f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)令函数g(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋a)2－a2＋2a－1，该函数在(－∞，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增． ①当a>1时，要使f (x)在(－∞，－2)上单调递减， 则g(x)在(－∞，－2)上单调递减，且g(x)>0恒成立， 故又a>1， 所以1<a≤． ②当0<a<1时，要使f (x)在(－∞，－2)上单调递减， 则g(x)在(－∞，－2)上单调递增，且g(x)>0恒成立， 因为g(x)在(－∞，－a)上单调递减，故函数g(x)在(－∞，－2)上不能单调递增，此种情况不可能． 综上，实数a的取值范围为． 1．(2024·安徽期末)计算log54－2log510＝(　　) A．2　　 B．－1 C．－2 D．－5 C　[log54－2log510＝log54－log5100＝log5＝－2．故选C．] 2．函数f (x)＝＋ln (3－x)的定义域为(　　) A．[0，＋∞)　　 B．(3，＋∞) C．[0，3) D．[0，3] C　[由题意得解得0≤x＜3，故其定义域为[0，3)． 故选C．] 3．已知函数f (x)＝若a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则abc的取值范围是(　　) A．[10，12]　　 B．(10，12] C．(10，12) D．[10，12) C　[不妨设a<b<c，作出函数f (x)的图象， 如图所示， 由图象可知0<a<1<b<10<c<12， 由f (a)＝f (b)，得|lg a|＝|lg b|， 即－lg a＝lg b， ∴lg (ab)＝0，则ab＝1， ∴abc＝c，又10<c<12， ∴abc的取值范围是(10，12)．] 4．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________． 　[由y＝log0.45x在定义域上是减函数和真数大于零得， 解得－2<x<－． 故实数x的取值范围是．] 【教用·备选题】 1．(2024·宜宾兴文县开学)若log2x·log34·log59＝8，则x＝(　　) A．8　　 B．25 C．16 D．4 B　[∵log2x·log34·log59＝8， ∴··＝8， ∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25．故选B．] 2．(2025·成都青羊区模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|y＝＋log3(2－x)}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2}　　 B．{1，2} C．{－1，0} D．{0，1} D　[B＝{x|y＝＋log3(2－x)}＝[0，2)，A＝{－2，－1，0，1，2}， 故A∩B＝{0，1}．故选D．] 3．(2024·南宁青秀区月考)若函数f (x)＝loga|x－1|在区间(1，2)上有f (x)＞0，则f (x)的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1)　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞) A　[设t＝|x－1|，当1＜x＜2时，0＜t＜1， 因为f (x)＞0，所以0＜a＜1，函数y＝logat在(0，＋∞)上单调递减， 因为y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1)， 所以f (x)的单调递增区间为(－∞，1)．故选A．] 课后习题(十三)　对数与对数函数 1．(北师大版必修第一册P106习题4－2A组T2改编)下列结论正确的是(　　) A．若log2x＝3，则x＝6 B．若e＝ln x，则x＝e2 C．lg(ln e)＝0 D．＝ C　[若log2x＝3，则x＝23＝8，故A错误；若e＝ln x，则x＝ee，故B错误；lg(ln e)＝lg 1＝0，故C正确；＝5-2＝，故D错误．] 2．(多选)(人教A版必修第一册P140习题4.4T2改编)下列结论中正确的是(　　) A．若log3m<log3n，则0<m<n B．若log0.3m<log0.3n，则m>n>0 C．若logam<logan，则0<m<n D．若logm5<logm7，则m>1 ABD　[函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，又因为log3m<log3n，所以0<m<n，所以A中结论正确； 函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，又因为log0.3m<log0.3n，所以m>n>0，所以B中结论正确； 当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，又logam<logan，所以m>n>0，所以C中结论错误； 因为5<7，且logm5<logm7，所以y＝logmx在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以m>1，所以D中结论正确．] 3．(多选)(人教A版必修第一册P161复习参考题4T11改编)已知函数f (x)＝－log2(x＋4)，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的定义域是[－4，2] B．函数y＝f (x－1)是偶函数 C．函数f (x)在区间[－1，2)上单调递增 D．函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称 BCD　[由得－4<x<2，故f (x)的定义域为(－4，2)，A错误；由－4<x－1<2，得－3<x<3，所以f (x－1)的定义域为(－3，3)，关于原点对称，f (x－1)＝－log2(3－x)－log2(x＋3)，令g(x)＝f (x－1)，则g(－x)＝－log2(3＋x)－log2(－x＋3)＝g(x)，所以函数y＝f (x－1)是偶函数，B正确；f (x)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[－(x＋1)2＋9]，易知f (x)在(－4，－1)上单调递减，在[－1，2)上单调递增，所以C正确；由f (－2－x)＝－log2(x＋4)－log2(2－x)＝f (x)及f (x)的定义域为(－4，2)，可得f (x)的图象关于直线x＝－1对称，D正确．故选BCD．] 4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T10改编)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，则其声强级为________dB；一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，则人听觉的声强级(单位：dB)范围为________． 60　[0，120]　[当I＝10-6时，LI＝10lg＝10lg 106＝60，所以声强级为60 dB． 当I＝1时，LI＝10lg ＝120； 当I＝10-12时，LI＝10lg 1＝0，所以人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．] 5．(2024·郑州月考)函数f (x)＝logx－1的定义域为(　　) A．{x|x＞1且x≠2}　　 B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x≠1} C　[由题得解得x＞2，即函数f (x)的定义域为{x|x＞2}．故选C．] 6．(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c　　 B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b C　[a＝log30.5<log31＝0，即a<0； b＝log3π>log33＝1，即b>1； 0＝log41<log43<log44＝1，即0<c<1， ∴a<c<b．故选C．] 7．(2024·黔西南州期末)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是(　　) A．f (x)＝|log2(x＋1)| B．f (x)＝log2(x＋1) C．f (x)＝|2x－1| D．f (x)＝2x－1 A　[结合题图可知f (x)的定义域为(－1，＋∞)， 对于C，D选项，f (x)＝|2x－1|，f (x)＝2x－1的定义域为R，故排除C，D； 对于B选项，f (x)＝log2(x＋1)定义域为(－1，＋∞)， 当x＝－时，f (x)＝log2＝－1，不合题意，排除B； 对于A，f (x)＝|log2(x＋1)|的定义域为(－1，＋∞)，且其在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A正确． 故选A．] 8．(2025·凉山州模拟)工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y(单位：mg/L)与过滤时间t小时的关系为y＝y0e－at(y0，a均为正常数)．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过(　　) (最终结果精确到1 h，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．43 h　　 B．38 h C．33 h D．28 h D　[∵废气中污染物含量y与过滤时间t小时的关系为y＝y0e－at， 令t＝0，得废气中初始污染物含量为y＝y0， 又∵前5小时过滤掉了10%污染物， ∴(1－10%)y0＝y0e-5a，则a＝－＝， ∴当污染物过滤掉50%时，(1－50%)y0＝y0e－at， 则t＝＝＝＝＝≈33 h， ∴当污染物过滤掉50%还需要经过33－5＝28 h．故选D．] 9．(2024·四川成都高三校考阶段练习)函数f (x)＝2＋loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过点________． (2，2)　[由函数f (x)＝2＋loga(x－1)，令x－1＝1，即x＝2， 可得f (2)＝2＋loga(2－1)＝2＋loga1＝2，所以函数f (x)的图象恒过定点(2，2)．] 10．(2024·辽宁大连二十四中校联考期末)已知函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)，若f (x)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________． [0，2]　[因为函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)在区间上单调递减， 设g(x)＝ax2－2x＋2， 所以g(x)＝ax2－2x＋2在区间上单调递减，且g(x)>0在区间上恒成立， 当a＝0时，g(x)＝－2x＋2，满足题意； 当a<0时，g(x)＝ax2－2x＋2，开口向下，在区间上不单调递减，不满足题意； 当a>0时，g(x)＝ax2－2x＋2， 所以解得0<a≤2． 所以综上可得0≤a≤2． 故实数a的取值范围为[0，2]．] 11．(2024·保山期末)已知函数f (x)＝loga(2x＋1)，a＞0且a≠1． (1)若a＝2，解不等式f (x)＞2； (2)若f (x)在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值． [解]　(1)当a＝2时，f (x)＝log2(2x＋1)＞2化为2x＋1＞22，解得x>， 所以不等式的解集为． (2)当a＞1时，函数f (x)在[1，3]上单调递增， 则当x＝1时，f (x)min＝loga3，当x＝3时，f (x)max＝loga7， 所以loga7－loga3＝loga＝1，解得a＝； 当0＜a＜1时，函数f (x)在[1，3]上单调递减， 则f (x)min＝f (3)＝loga7，f (x)max＝f (1)＝loga3， 则loga3－loga7＝loga＝1，解得a＝． 综上，实数a的值为或． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$