第二章 第7课时 指数与指数函数-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第7课时　指数与指数函数 [考试要求]　1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 考点一　指数与指数幂的运算 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂的意义是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s； (2)(ar)s＝ars； (3)(ab)r＝arbr． (其中a>0，b>0，r，s∈Q)． [典例1]　(1)化简＝(　　) A．1　　 B．－1 C．7－2π D．2π－7 (2)(人教A版必修第一册P107例4改编)①计算：＋； ②化简． (1)A　[＝|π－4|＋π－3＝4－π＋π－3＝1．故选A．] (2)[解]　①＋＝＝－1－＋8＝7＋＝． ②＝5×(－4)×． 反思领悟　(1)当n为偶数时，＝|a|，注意与n为奇数时的区别． (2)必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序不可随意改变． 巩固迁移1　(1)(多选)下列各式正确的是(　　) A．＝ B． C．＝－2 D．若＝3，则a2＋a-2＝47 (2)(2024·渭南一模)－＋2560.75－3-1＋2×70的值是(　　) A．105　　 B．33 C．69 D．－23 (1)CD　(2)B　[(1)选项A，＝＝，故错误； 选项B，，故错误； 选项C，＝－2，故正确； 选项D，将＝3两边平方，得a＋a-1＋2＝9，所以a＋a-1＝7，将a＋a-1＝7两边平方，得a2＋a-2＋2＝49，所以a2＋a-2＝47．故正确．故选CD． (2)由题意得－＋2560.75－3-1＋2×70 ＝－＋2＝(0.3)-1－36＋26－＋2 ＝－36＋64－＋2＝33． 故选B．] 考点二　指数函数的图象及应用 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． 2．指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 提醒：(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，． (2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1进行研究． 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b． 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． [典例2]　(1)(多选)已知函数f (x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．b>1 D．0<b<1 (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________． (1)BD　(2)　[(1)观察题图得，函数f (x)＝ax－b是减函数， 因此0<a<1． 法一：设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 当x＝0时，y0＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1． 法二：函数f (x)的图象可看作是y＝ax(0<a<1)的图象向下平移得到的，则0<b<1，故选BD． (2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，得0<a<．综上可知，a的取值范围为． ] 反思领悟　本例(1)这一指数型函数y＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象问题，可以从最基本的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象入手，通过平移变换得到；本例(2)中底数a与1的大小关系不确定，应注意分a>1与0<a<1两类来讨论． 巩固迁移2　(1)函数y＝ax－a-1(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)若函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． (1)D　(2)(0，2)　[(1)函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B错误；当0<a<1时，>1，平移距离大于1，所以C错误．故选D． (2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．所以当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点．所以b的取值范围是(0，2)． ] 考点三　指数函数的性质及应用 1．比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或借助1，0等中间量进行比较． 2．简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论． 　比较指数式的大小 [典例3]　(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b　　 B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c D　[由y＝1.01x在R上单调递增，则1<a＝<b＝1.010.6， 由y＝0.6x在R上单调递减，则0.60.5<1． 所以b>a>c．故选D．] 反思领悟　本例中a与b底数相同，先利用指数函数单调性判断a<b；借助中间量1，判断a，b，c与1的大小，得出结论． 巩固迁移3　(2025·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则(　　) A．c<b<a　　 B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a D　[a＝1.30.6>1.30＝1，b＝＝， c＝， 因为指数函数y＝是减函数， 所以<<＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a．] 　解简单的指数方程或不等式 [典例4]　设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是________． (－3，1)　[当a<0时，原不等式化为－7<1， 则2－a<8，解得a>－3，所以－3<a<0． 当a≥0时，则<1，0≤a<1． 综上，实数a的取值范围是(－3，1)．] 反思领悟　本例中，当a<0时，f (a)<1是指数不等式，其求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 巩固迁移4　若x满足不等式≤，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) B　[由≤可得≤3-2(x-2)，因为y＝3x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤21，即函数y＝2x的值域是．故选B．] 　指数函数性质的综合应用 [典例5]　(1)若函数f (x)＝ (a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，2)　　 B．(0，1) C．(1，4] D．(－∞，4] (2)(多选)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的图象关于坐标原点对称 B．f (x)的图象关于y轴对称 C．f (x)的最大值为1 D．f (x)在定义域上单调递减 (1)C　(2)AD　[(1)令t＝2x2－ax＋1，则y＝at，t＝2x2－ax＋1的对称轴为x＝，则t＝2x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．当0<a<1时，y＝at在定义域内单调递减，所以f (x)在上单调递增，在上单调递减．因为f (x)在(1，3)上单调递增，所以不等式无解．当a>1时，y＝at在定义域内单调递增，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．因为f (x)在(1，3)上单调递增，所以解得1<a≤4．综上，实数a的取值范围为(1，4]．故选C． (2)因为f (－x)＝＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为f (1)＝＝－，f (－1)＝＝，f (1)≠f (－1)，所以f (x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确；因为f (x)＝－＝－1＋，又3x>0，所以3x＋1>1，所以0<<2，所以f (x)∈(－1，1)，故C不正确；因为f (x)＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f (x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递减，故D正确．] 反思领悟　本例(1)中，f (x)＝ (a>0且a≠1)由函数y＝at和t＝2x2－ax＋1复合而成，求a的范围的关键是借助“同增异减”这一性质列不等式组求解；本例(2)中，涉及指数函数综合问题，要熟练应用指数函数的相关性质及函数性质分析判断． 巩固迁移5　(多选)已知函数f (x)＝，则(　　) A．函数f (x)的定义域为R B．函数f (x)的值域为(0，2] C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增 D．f ()>f (4) ABD　[令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)．对于选项A，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B，因为y＝，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；对于选项C、D，因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝，u∈[－1，＋∞)单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以C不正确，D正确．故选ABD．] 1．(2024·长沙月考)计算－(－1)0＋＝(　　) A．－　　 B．－ C．－ D． C　[－(－1)0＋＝－1＋＝－4＋3－1＋＝－． 故选C．] 2．已知函数f (x)＝－3x，则f (x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 C　[函数的定义域为R， 因为f (－x)＝3x－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数， 又因为函数y＝，y＝－3x在R上都是减函数， 所以函数f (x)＝－3x在R上是减函数．故选C．] 3．函数f (x)＝a2x+1－1(a>0且a≠1)过定点________． 　[因为y＝at(a>0且a≠1)过定点(0，1)，令2x＋1＝0，得x＝－， 故f ＝1－1＝0，故f (x)过定点．] 4．已知函数f (x)＝ex－，若f (a－2)＋f (a2)≤0，则实数a的取值范围是________． [－2，1]　[因为f (x)＝ex－，定义域为R，f (－x)＝e－x－＝－ex＝－f (x)， 所以f (x)＝ex－为奇函数． 又因为f (x)＝ex－在R上为增函数， 所以f (a－2)＋f (a2)≤0⇒f (a－2)≤－f (a2)⇒f (a－2)≤f (－a2)，即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1． 所以实数a的取值范围是[－2，1]．] 【教用·备选题】 1．(2024·北京平谷区期末)函数y＝3|x|－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为(　　) A．[2，8]　　　　　　　 B．[0，8] C．[1，8] D．[－1，8] B　[设t＝|x|， ∵函数y＝3|x|－1的定义域为[－1，2]， ∴t∈[0，2]，∴y＝3t－1， ∴y＝3t－1在t∈[0，2]的值域为[0，8]． 故选B．] 2．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]　　 B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以对称轴x＝≥1，解得a≥2．故选D． 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．] 3．(2023·全国甲卷)已知函数f (x)＝．记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则(　　) A．b>c>a　　 B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b A　[函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f <f <f ，所以b>c>a． 故选A．] 4．(2024·湖北期末)化简或计算下列各式． (1)； (2)－． [解]　(1)原式＝ ＝＝a-1＝． (2)原式＝＋＝0.09． 课后习题(十二)　指数与指数函数 1．(多选)(人教A版必修第一册P118练习T1改编)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D AB　[由题图可得a1＝2，即a＝2， y＝a－x＝单调递减，且图象过点(－1，2)，故A正确； y＝x－a＝x-2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，且图象过点(－1，1)和(1，1)，故B正确； y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数图象可知C错误； y＝|ax|＝|2x|，根据指数函数及绝对值函数的图象可知D错误．故选AB．] 2．(多选)(人教A版必修第一册P109习题4.1T4改编) 下列化简结果正确的有(　　) A．＝3－π B． C． D．8＝m2n-3(其中m>0，n>0) BCD　[对于A，＝|3－π|＝π－3，故A错误； 对于B，，其中a>0，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，8＝＝m2n-3，其中m>0，n>0，故D正确．故选BCD．] 3．(北师大版必修第一册P92习题3－3B组T1改编)已知0<a<1，0<x<y<1，下面结论正确的是(　　) A．ax<ay　　 B．a－x>a－y C． D． C　[因为0<a<1，所以y＝at在R上单调递减，又因为0<x<y<1，所以ax>ay，故A错误；因为－x>－y，所以a－x<a－y，故B错误；因为>，所以，故C正确；因为>1，所以y＝在R上单调递增，又>，所以，故D错误．] 4．(苏教版必修第一册P150习题6.2T2改编)用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的．设漂洗前衣服上的污垢量为1，则衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式是________，若要使存留的污垢不超过原有的1%，至少要漂洗________次． y＝，x∈N*　4　[根据题意，衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式为y＝，x∈N*． 设需要漂洗x次，则≤1×1%，即， 又x∈N*，∴x≥4，x∈N*，∴至少要漂洗4次．] 5．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f＝________． 　[因为f的图象过原点，所以f (0)＝＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f＋1， 所以f．] 6．(2024·衡阳耒阳市月考)若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A．－1或2　　 B．－1 C．2 D． C　[根据题意可得，得m＝2，故选C．] 7．(2024·甘肃兰州期末)如果a＞1，b＜－1，那么函数f (x)＝ax＋b的图象在(　　) A．第一、二、三象限　　 B．第一、三、四象限　 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 B　[∵a＞1，∴y＝ax的图象过第一、第二象限，且是增函数，经过(0，1)， f (x)＝ax＋b 的图象可看成把 y＝ax的图象向下平移－b(－b＞1)个单位长度得到的， 故函数f (x)＝ax＋b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限． 故选B．] 8．(2024·天津河东区期中)化简 (a，b为正数)的结果是(　　) A．ab　　 B． C． D．a2b B　[∵a＞0，b＞0， ∴ ＝． 故选B．] 9．(2024·上海黄浦区期末)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝＝0.95K时，标志着已初步遏制该疾病，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60　　 B．63 C．66 D．69 C　[由已知可得＝， 两边取对数有－0.23(t*－53)＝－ln 19，解得t*≈66，故选C．] 10．(2025·成都青羊区模拟)函数y＝32x与y＝31-2x的图象(　　) A．关于x＝2对称　　 B．关于x＝1对称 C．关于x＝对称 D．关于x＝对称 D　[设f (x)＝31-2x，则f ＝32x， 则f ＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝对称．故选D．] 11．(2024·淮安清河区期末)函数y＝2x-1－2(x≤2)的值域为________． (－2，0]　[∵函数f (x)＝2x-1－2在(－∞，2]上单调递增，∴f (x)≤f (2)， ∴f (2)＝22-1－2＝0，∴f (x)≤f (2)＝0， ∵2x-1＞0，∴2x-1－2＞－2，∴－2＜2x-1－2≤0， ∴函数y＝2x-1－2(x≤2)的值域为(－2，0]．] 12．(2024·茂名化州市期中)定义运算：a⊗b＝则函数f (x)＝3－x⊗3x的值域为________． (0，1]　[如图为y＝f (x)＝3－x⊗3x的图象(实线部分)， 由图可知f (x)的值域为(0，1]． ] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$