第二章 第2课时 函数的单调性与最值(一)-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word（基础版）

第2课时　函数的单调性与最值(一) [考试要求]　1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质． 考点一　函数单调性的判断 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域． (2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接． [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0)⇔f (x)在区间I上单调递增； (2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0)⇔f (x)在区间I上单调递减． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f (x)(f (x)>0或f (x)<0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． [典例1]　(1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－　　 B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) (2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________． (1)ACD　(2)(－∞，0)，(1，＋∞)　[(1)∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ACD． (2)由题意知g(x)＝ 该函数图象如图中实线部分所示， 其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．] 反思领悟　本例(1)选项A利用常用结论3解答，选项B用图象法解答，选项C用导数法解答，选项D利用常用结论4解答，即外层函数y＝lg t和内层函数t＝x＋1均为增函数，根据“同增异减”的原则，y＝lg (x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．本例(2)提醒同学们，函数在不同区间上单调性相同，一定要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”． 巩固迁移1　(1)下列函数在R上为增函数的是(　　) A．y＝x2　　 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ (2)函数y＝的单调递减区间是________． (1)B　(2)(－∞，－6]　[(1)y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误； y＝x在R上为增函数，故B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故D错误． (2)由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，解得x≤－6或x≥4， 又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增， 结合复合函数的单调性的判定方法， 可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6]．] 考点二　利用定义证明函数的单调性 [典例2]　(人教A版必修第一册P79例3改编)试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． [解]　任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， f (x)＝a＝a， 则f (x1)－f (x2)＝a－a ＝， 由于－1<x1<x2<1， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)， 函数f (x)在(－1，1)上单调递减； 当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)， 函数f (x)在(－1，1)上单调递增． 反思领悟　用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”． 巩固迁移2　已知定义域为(－1，1)的函数f (x)＝，判断函数f (x)的单调性，并证明． [解]　函数f (x)＝在(－1，1)上为增函数．证明如下：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝＝，又－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1x2－1<0，则有f (x1)－f (x2)<0，故f (x)在(－1，1)上为增函数． 考点三　利用单调性求参数的取值范围 [典例3]　(1)已知函数f (x)＝在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，＋∞)　　 B．(－∞，1] C．(0，1) D．[0，1] (2)若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． (1)D　(2)(－∞，－3]　[(1)因为y＝x2－ax＋1＝＋1－的对称轴为x＝，所以y＝x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．因为函数f (x)＝在其定义域上单调递减，所以解得0≤a≤1． (2)y＝＝1＋，由题意知得a≤－3，所以a的取值范围是(－∞，－3]．] 反思领悟　易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 巩固迁移3　(1)(2024·广东江门模拟)若函数f (x)＝x2－2kx＋1在[3，5]上单调递增，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，3]　　 B．[3，5] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞) (2)已知函数f (x)＝满足∀x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，则实数a的取值范围是________． (1)A　(2)　[(1)由f (x)＝x2－2kx＋1，知函数f (x)图象开口向上，且对称轴为x＝k， 要使f (x)在[3，5]上单调递增， 则有k≤3，即实数k的取值范围为(－∞，3]． (2)因为∀x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，所以函数f (x)在R上单调递增，所以解得0<a≤．] 1．下列函数是增函数的为(　　) A．f (x)＝－x　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝x2 D．f (x)＝ D　[由一次函数性质可知f (x)＝－x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f (x)＝在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f (x)＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f (x)＝在R上单调递增，符合题意．] 2．已知函数f (x)＝则f (x)的单调递增区间为(　　) A．(0，1)　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(0，＋∞) A　[当x<0时，f (x)＝－2x＋1单调递减；当x≥0时，f (x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．] 3．函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________． [1，2]　[f (x)＝作出f (x)的大致图象如图所示，由图象知f (x)的单调递减区间是[1，2]． ] 4．设函数f (x)＝－2x，证明：函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减． [证明]　∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝－2x1＋2x2＝－2(x1－x2) ＝， 因为0≤x1<x2， 所以<1， 所以>0， 所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)， 所以函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减． 【教用·备选题】 1．(2024·枣庄二模)已知函数f (x)＝在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(0，3) B．(－∞，－2)∪(0，3] C．(－∞，－2)∪(0，10) D．(－∞，－2)∪(0，10] B　[因为函数f (x)＝在[－10，－3]上单调递增，所以a(2＋a)>0，且30＋ax≥0在[－10，－3]上恒成立，所以解得a<－2或0<a≤3．] 2．(2024·上海闵行区三模)设t＞0，函数y＝f (x)的定义域为R．若对满足x2－x1＞t的任意x1，x2，均有f (x2)－f (x1)＞t，则称函数y＝f (x)具有“P(t)性质”． (1)在下述条件下，分别判断函数y＝f (x)是否具有P(2)性质，并说明理由； ①f (x)＝x； ②f (x)＝10sin 2x； (2)已知f (x)＝ax3，且函数y＝f (x)具有P(1)性质，求实数a的取值范围； (3)证明：“函数y＝f (x)－x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质”的充要条件． [解]　(1)①是，因为对任意x2－x1＞2，f (x2)－f (x1)＝(x2－x1)>3>2， 所以符合定义． ②不是，令x2＝，x1＝，x2－x1＝π>2，f (x2)－f (x1)＝10sin 3π－10sin π＝0<2，故不符合题意． (2)显然a＞0，所以设x2－x1＝m＞0， 则x2＝x1＋m， 所以f (x2)－f (x1)＝＝]＝m＋3x1m2＋m3)， 当x1＝－时，取f (x2)－f (x1)的最小值， 原问题等价于当m＞1时，>1恒成立， 即a>恒成立，所以a≥4． 所以实数a的取值范围为[4，＋∞)． (3)证明：充分性： 如果函数y＝f (x)－x为增函数，则对任意的x2＞x1，均有f (x2)－x2>f (x1)－x1， 即f (x2)－f (x1)>x2－x1，因此，对任意t＞0，若x2－x1＞t， 则f (x2)－f (x1)＞t，函数y＝f (x)具有P(t)性质，充分性得证； 必要性： 若对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质， 假设函数y＝f (x)－x不是增函数，则存在x2＞x1，满足f (x2)－x2≤f (x1)－x1， 即f (x2)－f (x1)≤x2－x1， 取t0＝， 则显然f (x2)－f (x1)≤t0≤x2－x1， 即对于t0，存在x2－x1＞t0，但是f (x2)－f (x1)＜t0， 与“对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数y＝f (x)－x为增函数，必要性得证． 所以“函数y＝f (x)－x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质”的充要条件． 课后习题(七)　函数的单调性与最值(一) 1．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T3改编)下列说法中正确的是(　　) A．函数f (x)＝－2x＋1是减函数 B．函数f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增 C．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) D．函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增 ABD　[对于A，任取x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝＋1－(－2x2＋1)＝2(x2－x1)>0，∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在R上是减函数，A正确；对于B，任取0<x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝＋1)＝＝(x1＋x2)(x1－x2)，∵0<x1<x2，∴x1＋x2>0，x1－x2<0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴f (x1)<f (x2)，∴f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，B正确；对于C，单调区间表示错误，两个单调区间不能用并集符号连接，C错误；对于D，任取x1，x2∈(－∞，0)且x1<x2，则f (x1)－f (x2)＝1－－1＋＝＝，∵x1<x2<0，∴x1－x2<0，x1x2>0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增，D正确．] 2．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是(　　) A．f (x)＝x＋　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝1＋ D．f (x)＝－x－ CD　[对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，则函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 对于A，f (x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知A不满足题意； 对于B，f (x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意； 对于C，f (x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意； 对于D，f (x)＝－x－，由对勾函数的图象和性质可知D满足题意．] 3．(苏教版必修第一册P135本章测试T15改编)函数f (x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－2)　　 B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞) B　[f (x)＝x2－4|x|＋3＝则由二次函数的性质知，当x≥0时，f (x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0时，f (x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)．故f (x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2)．故选B．] 4．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f (x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1]　　 B．[－1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，0] D　[函数f (x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f (x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．故选D．] 5．(人教A版必修第一册P86习题3.2T8改编)形如f (x)＝x＋(t>0)的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数f (x)＝x＋(a>0)在[2，4]上单调，则a的取值范围为________． (0，4]∪[16，＋∞)　[易知函数f (x)＝x＋(a>0)在区间[－，0)和(0，]上单调递减，在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，从而，当函数f (x)在[2，4]上单调递减时，[2，4]⊆(0，]，则≥4，得a≥16．当函数f (x)在[2，4]上单调递增时，[2，4]⊆[，＋∞)，则≤2，得0<a≤4．综上，a的取值范围为(0，4]∪[16，＋∞)．] 6．(2025·开封模拟)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　) A．f (x)＝3－x　　 B．f (x)＝x2＋x C．f (x)＝－|x| D．f (x)＝－ B　[对于A，f (x)＝3－x在R上是减函数，故A不正确； 对于B，f (x)＝x2＋x＝－，在上单调递减， 在上单调递增，故B正确； 对于C，当x＞0时，f (x)＝－|x|＝－x，函数单调递减，故C不正确； 对于D，f (x)＝－，由y＝－的图象向右平移1个单位长度变换得到， 所以f (x)＝－在区间(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，故D不正确．故选B．] 7．(2025·长沙开福区模拟)若函数f (x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞)　　 B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] B　[因为函数f (x)＝4|x－a|＋3在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 又函数f (x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1．故选B．] 8．(2025·绥化市绥棱县模拟)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)”的是(　　) A．f (x)＝|x|　　 B．f (x)＝ C．f (x)＝－x2＋2x D．f (x)＝ex B　[根据题意，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)， 则f (x)在(0，＋∞)上单调递减， 依次分析选项： 对于A，f (x)＝|x|，在(0，＋∞)上f (x)＝x是增函数，不符合题意； 对于B，f (x)＝，是幂函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 对于C，f (x)＝－x2＋2x，是二次函数，在(0，1)上单调递增，不符合题意； 对于D，f (x)＝ex，是指数函数，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意． 故选B．] 9．(多选)(2025·哈尔滨松北区模拟)已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数k的取值可能有(　　) A．4　　 B．5 C．6 D．7 ABC　[因为函数f (x)＝是R上的减函数， 所以解得2≤k≤6， 所以四个选项中符合条件的实数k的取值可以是4，5，6．故选ABC．] 10．(2025·福州福清市模拟)能够说明“若f (x)＜0对任意的x∈(0，2]都成立，则函数f (x)在(0，2]是减函数”为假命题的一个函数是________． f (x)＝－(答案不唯一)　[举例说明“若f (x)＜0对任意的x∈(0，2]都成立，则函数f (x)在(0，2]是减函数”为假命题的一个函数是f (x)＝－． 只要符合条件的函数即可，所以答案不唯一．] 11．(2025·深圳坪山区模拟)函数f (x)＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为____________． [－1，2]和[5，＋∞)　[由f (x)＝|－x2＋4x＋5|＝ 画出函数图象，如图所示， 结合图象得函数f (x)的单调递增区间为[－1，2]和[5，＋∞)．] 12．(2025·长沙雨花区模拟)已知函数f (x)＝是定义在R上的增函数，则a的取值范围是________． [1，2]　[因为函数f (x)＝是定义在R上的增函数， 所以解得1≤a≤2，故a的取值范围为[1，2]．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$