第四章 思维进阶4 三角函数中ω的值(范围)问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件（基础版）

第四章　三角函数与解三角形 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近年高考的热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是复习中的难点．下面整理了ω的几种求法，以供参考． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题型一　利用三角函数的对称性与ω的关系 [典例1]　已知函数f (x)＝sin (ω>0)的图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 [阅读与思考]　法一：令ωx＋＝，解得x＝，x＝，x＝分别为y＝f (x)的图象在y轴右侧由左向右最近的三条对称轴． 要满足图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴， 只需解得<ω≤．故选C． 法二(整体法)：因为0<x<π，ω>0，所以<ωx＋<πω＋，将ωx＋看成一个整体．由y＝sin x的图象分析可知， <ωπ＋⇒<ω≤． 反思领悟　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题型二　利用三角函数的单调性与ω的关系 [典例2]　若函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________． [阅读与思考]　法一：令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得≤x≤(k∈Z)， 因为函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减， ≤ω≤3 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 所以k∈Z， 解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)． 又ω>0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤，又k∈Z，所以k＝0． 即≤ω≤3． 法二：∵≤x≤，ω>0，∴≤ωx≤， 又∵f (x)在上单调递减， ∴(k∈Z)⇒6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)． 又∴0<ω≤6，∴k＝0， 即≤ω≤3． 反思领悟　已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围： ①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，求得0<ω≤；②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ]⊆(k∈Z)，解得ω的范围；③结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题型三　利用三角函数的最值与ω的关系 [典例3]　(2024·北京卷)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝ －1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 B　[由题意可知，x1为f (x)的最小值点，x2为f (x)的最大值点， 则|x1－x2|min＝＝，即T＝π， 又ω>0，所以ω＝＝2． 故选B．] 反思领悟　三角函数的极值点、最值点和其图象的对称性说法是等价的．本例中x＝x1和x＝x2是f (x)＝sin ωx的两条对称轴，|x1－x2|min是说x＝x1和x＝x2是相邻的两条对称轴，故|x1－x2|min＝． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题型四　利用三角函数的零点与ω的关系 [典例4]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________． [阅读与思考]　法一：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)． [2，3) 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 法二：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个 周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)． 反思领悟　本例解答关键是厘清区间长度和周期的关系． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 【教用·备选题】 1．(2025·银川兴庆区模拟)已知函数f (x)＝4cos (ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点是A，B，若|AB|＝，则ω＝(　　) A．1 B．1或7 C．2 D．2或6 √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 D　[根据题意，函数f (x)＝4cos (ω>0)， 若f (x)＝2，即4cos ＝2，则有cos ＝， 故ωx－＝2kπ±，解得x＝或x＝(k∈Z)， 又由|AB|＝， 则有＝＝或＝， 解得ω＝2或ω＝6． 故选D．] 2．(2024·武汉江岸区期末)已知函数f (x)＝cos ，其中ω＞0．若f (x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A． B．(0，4] C． D． √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 A　[∵函数f (x)在区间上单调递增，∴＝＝，∴ω≤4，∵x∈，∴≤ωx－，若f (x)在区间上单调递增， 则k∈Z，解得8k－3≤ω≤4k＋，当k＝0时，－3≤ω≤，又因为0＜ω≤4，∴0<ω≤．故选A．] 3．(2024·渭南富平县期末)若函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且最小值为负值，则ω的值可以是(　　) A．1 B． C．2 D． √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 A　[当ω＜0时，y＝2cos ωx＝2cos (－ωx)，由x∈，得 －ωx∈，因为函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且最小值为负值，所以<－ω≤π，解得－≤ω<－； 当ω＞0时，由x∈，得ωx∈，因为函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且最小值为负值，所以<ω≤π，解得<ω≤． 综上所述，ω∈．故选A．] 4．(2024·济源期末)已知f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f ＝1， f ＝0，且f (x)在上单调，则ω的最大值为________． 　[设函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的周期为T，则T＝， 由f＝1，f ＝0，结合正弦函数的图象与性质，得＝，k∈N， 　 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 解得T＝，即ω＝，k∈N， 又因为f (x)在区间上单调， 所以＝<，所以T＞， 所以ω<，即ω＝<， 因为k∈N，所以k的取值为1，此时ω取得最大值．] 进阶训练(四)　三角函数中ω的值(范围)问题 1．(2024·双鸭山四模)已知函数f (x)＝cos (ω>0)在区间[0，2π]内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 D　[由于函数y＝cos x图象的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)， 所以2π≤2πω－<3π，解得ω∈． 故选D．] √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 2．已知ω>0，函数f (x)＝cos 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[令2kπ≤ωx－≤2kπ＋π(k∈Z)， 得≤x≤(k∈Z)． 因为函数f (x)在上单调递减， 所以其中k∈Z， 解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)． 又因为函数f (x)在上单调递减， 所以T≥π⇒ω≤2． 又ω>0，所以当k＝0时，≤ω≤．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 3．将函数f (x)＝sin (2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0，2π])图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 C　[由已知得函数g(x)＝sin (ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置，知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，∴≤ωx＋≤2πω＋，由g(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤2πω＋<，∴≤ω<．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 4．(2025·佛山南海区模拟)记函数f (x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f (T)＝－，且x＝为f (x)图象的一条对称轴，则ω的最小值为(　　) A． B． C． D． √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 A　[f (T)＝cos ＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝－， 因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f (x)＝cos ， 因为x＝为f (x)图象的一条对称轴，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝2k－，k∈Z， 因为ω＞0，所以ω的最小值为2－＝．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 5．若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　) A．(5，8) B．(5，8] C．(5，11] D．[5，11) √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 B　[由题意，函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f (x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8]．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 6．(2025·绵阳模拟)已知函数f (x)＝2cos cos (ω>0)在区间上单调递增，且在区间(0，2π]上恰好有一个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． √ 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 D　[依题意，f (x)＝2cos sin ＝sin ωx，由－≤ωx≤， 得－≤x≤，则函数f (x)的一个单调递增区间是，显然⊆，于是－≤－且，解得0<ω≤，当x∈(0，2π]时，ωx∈(0，2πω]，由f (x)在区间(0，2π]上恰好有一个零点，得π≤2πω＜2π，解得≤ω<1，所以ω的取值范围是．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 7．(2024·宿迁一模)已知定义在区间[0，π]上的函数f (x)＝ 2sin (ω>0)的值域为[－2，]，则ω的取值范围为 ______． 　[由题意得，定义在区间[0，π]上的y＝sin (ω＞0)的值域为，∵0≤x≤π，且ω＞0，∴≤ωx＋≤ωπ＋，则≤ωπ＋，解得≤ω≤． 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 8．(2024·西宁一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)在区间[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是________． 　[由于0≤x≤π，故≤ωx＋≤πω＋， 由于函数f (x)在[0，π]上有且仅有三个零点， 故3π≤ωπ＋<4π，整理得≤ω<， 故ω的取值范围是．] 　 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 9．(2024·大连期末)已知函数f (x)＝2sin (ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为________． 　 进阶训练 思维进阶4　三角函数中ω的值(范围)问题 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 　[因为x∈， 所以ωx＋∈． 因为f (x)在上单调递增， 所以⊆，k∈Z， 则，即，即， 所以ω≤．又因为ω>0，所以ω的最大值为．] 谢 谢 ！ $$