第八章成对数据的统计分析 专项训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

成对数据的统计分析：线性回归方程、非线性回归方程、独立性检验、相关性分析专项训练 成对数据的统计分析：线性回归方程、非线性回归方程、独立性检验、 相关性分析专项训练 考点一 线性回归方程 1．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）某地区因其独特的地理位置和生态环境，对气候变化较为敏感.地理研究小组为了研究该地区的生态情况，对该地区年平均气温（单位：摄氏度）与年降水量（单位：毫米）之间的关系进行了探究.小组收集了过去10年该地区的相关数据如下表所示. 年平均气温 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 年降水量 850 880 820 860 895 840 800 830 865 860 (1)求样本的相关系数（精确到0.01）； (2)建立关于的回归方程（，的计算结果均精确到1），预测年平均气温为13.5摄氏度时的年降水量. 附：，，，，相关系数：.回归方程：，其中，. 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）某地区2019年至2025年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y (1)据上表数据，计算y与t的相关系数r（精确到），并说明y与t的线性相关性的强弱；（若，则认为y与t线性相关性很强；若，则认为y与t线性相关性一般；若，则认为y与t线性相关性较弱．） (2)根据（1）的结论，求y关于t的线性回归方程； (3)利用（2）中的回归方程，分析2019年至2025年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2027年农村居民家庭人均纯收入． 参考数据：，，， 附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 3．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 4．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，其直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌､劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植玉米，某同学针对玉米亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的关系进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的玉米试验田中随机抽取5亩，已知，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 玉米亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 (1)求的值. (2)求玉米亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，玉米亩产量的增加量为多少百千克？ 参考公式：. 5．（2025·甘肃白银·三模）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 6．（24-25高二下·重庆·期中）随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 (1)统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程，，. 考点二 非线性回归方程 1．（2025·海南海口·模拟预测）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 2．（24-25高二下·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国市场规模迅速扩大．下表为2018年年中国市场规模（单位：百亿元），其中2018年年对应的代码依次为． 年份代码x 1 2 3 4 5 中国市场规模y 1.12 1.68 2.45 3.35 4.32 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合y与x的关系， ①建立y关于x的回归方程； ②预测2025年中国市场规模（单位：百亿元）： (2)从2018年年中国市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据： 2.58 0.84 46.83 15.99 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据： 4．（2025·云南·模拟预测）自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 核心产值规模 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 (1)若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. (2)若用作为回归模型， ①求的值； ②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模. 参考数据： 3 4.02 16.16 104.91 1.24 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数. 5．（2025·福建泉州·模拟预测）泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表： 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 收入（百万元） 6 11 21 34 66 101 196 (1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入； (3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？ 参考数据： 462 10.78 2711 50.12 2.82 3.47 其中设， 参考公式：，. 6．（24-25高二下·云南昆明·期中）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表. 360 54.4 1360 44 384 3 588 32 6430    表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 考点三 独立性检验 1．（2025·广西河池·二模）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 2．（24-25高二下·河北·期中）游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了100人，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 22 28 50 女 18 32 50 合计 40 60 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ (2)根据以往的数据可知，甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.4，0.4，0.2；甲在使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，能够获得奖牌的概率依次为0.6，0.5，0.4．已知甲参加某次游泳比赛． （i）求甲没有获得奖牌的概率； （ii）在甲没有获得奖牌的条件下，求甲使用蛙泳的概率． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2025·浙江·模拟预测）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为. 看现场直播 未看现场直播 男同学 x 女同学 150 250 (1)求x的值； (2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ (3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 5．（24-25高二下·广西·阶段练习）某店将年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为 . 购买燃油车 购买新能源车 男性车主 女性车主 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关? (3)为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人赠送礼品，记这人中女性车主的人数为，求的分布列以及. 参考公式： 参考数据： 6．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的. 单次消费超过100元 单次消费不超过100元 合计 女性 40 男性 30 合计 70 (1)完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？ (2)在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：（其中）. 参考数据： 0.050 0.025 0.01 3.841 5.024 6.635 考点四 相关性分析 1．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 2．（24-25高二下·天津南开·期中）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（  ） A．B．C． D． 3．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）在某生态系统中，研究人员发现两种生物近期的数量线性相关，且相关系数为0.75，这说明（   ） A．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量会减少 B．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量也增长 C．两种生物的数量增减性有相同的趋势 D．两种生物的数量增减性有相反的趋势 4．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）现有下表中数据，下列四个函数中，拟合效果最好的为（　　） x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东·阶段练习·多选）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则（   ） A．这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B．这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 6．（24-25高二下·宁夏银川·期中）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2020—2025年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：） 7．（24-25高二下·广东广州·期中）某蔬菜的保鲜时间（小时）与存放温度样本数据如下表所示： 存放温度 21 15 10 6 3 保鲜时间小时 6 14 26 33 41 建立关于的一元线性回归模型，预测存放温度为时，这种蔬菜的保鲜时间约为 小时（，及结果保留到整数）；该模型的决定系数 （保留2位小数）.附：. 8．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 样本号i 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得，，． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数，． 9．（24-25高二下·江西景德镇·期中）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数 10．（24-25高二下·广东深圳·期中）中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表： 技艺展示量x（单位：个） 21 23 24 27 29 32 市场消费收入y（单位：万元） 6 11 20 27 57 77 (1)若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好． 附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数 参考数据：，，， 线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$成对数据的统计分析：线性回归方程、非线性回归方程、独立性检验、相关性分析专项训练 成对数据的统计分析：线性回归方程、非线性回归方程、独立性检验、 相关性分析专项训练 考点一 线性回归方程 1．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）某地区因其独特的地理位置和生态环境，对气候变化较为敏感.地理研究小组为了研究该地区的生态情况，对该地区年平均气温（单位：摄氏度）与年降水量（单位：毫米）之间的关系进行了探究.小组收集了过去10年该地区的相关数据如下表所示. 年平均气温 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 年降水量 850 880 820 860 895 840 800 830 865 860 (1)求样本的相关系数（精确到0.01）； (2)建立关于的回归方程（，的计算结果均精确到1），预测年平均气温为13.5摄氏度时的年降水量. 附：，，，，相关系数：.回归方程：，其中，. 【答案】(1)； (2)，910毫米. 【详解】（1）； （2）由， ， ，， 所以关于的回归方程为， 将代入，得， 故预测年平均气温为13.5摄氏度时的年降水量为910毫米. 2．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）某地区2019年至2025年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y (1)据上表数据，计算y与t的相关系数r（精确到），并说明y与t的线性相关性的强弱；（若，则认为y与t线性相关性很强；若，则认为y与t线性相关性一般；若，则认为y与t线性相关性较弱．） (2)根据（1）的结论，求y关于t的线性回归方程； (3)利用（2）中的回归方程，分析2019年至2025年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2027年农村居民家庭人均纯收入． 参考数据：，，， 附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1)0.99，y与t的线性相关性的非常强 (2) (3)千元． 【详解】（1）由题意，， ， 说明y与t的线性相关性的非常强. （2）， ， 关于t的线性回归方程为. （3）由（2）知，，故2019年至2025年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元． 将2027年的年份代号代入，得：， 故预测该地区2027年农村居民家庭人均纯收入为千元． 3．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）为了解某种中成药的疗效，某研究员统计了患者服药后血液中药物浓度（单位：）与测试次数（单位：次，每次测试间隔时长相等）的对应数据如下表： 测试次数（单位：次） 1 2 3 4 5 药物浓度（单位：） 120 105 90 80 55 (1)计算样本相关系数（保留三位有效数字），判断它们是否具有较强的线性相关性. (2)求关于的经验回归方程，并预测第6次测试血液中的药物浓度. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)，具有较强的线性相关性. (2)， 【详解】（1）由题，可得，， ， 所以样本相关系数， 因为样本相关系数的绝对值接近1，所以它们具有较强的线性相关性. （2）由（1）中的数据可得， ， 所以关于的经验回归方程为， 所以当时，. 所以预测第6次测试血液中的药物浓度为. 4．（24-25高二下·广西河池·阶段练习）劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，其直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌､劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植玉米，某同学针对玉米亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的关系进行研究，得出了与具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的玉米试验田中随机抽取5亩，已知，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量（千克） 2 3 4 5 6 玉米亩产量的增加量（百千克） 4 5 5 7 (1)求的值. (2)求玉米亩产量的增加量对该液体肥料每亩使用量的线性回归方程，预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，玉米亩产量的增加量为多少百千克？ 参考公式：. 【答案】(1)9 (2) 【详解】（1）由题意知，，解得. （2）由题意知，，， ， 则， 所以，则回归方程为， 当时，（百千克）， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，玉米亩产量的增加量约为15.6百千克. 5．（2025·甘肃白银·三模）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 【答案】(1)拟合效果非常好，理由见解析 (2)； 【详解】（1）易知， 因为，， ， 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． （2）由（1）知，由， 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． 6．（24-25高二下·重庆·期中）随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 (1)统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程，，. 【答案】(1)0.998；变量与的线性相关程度很强； (2)；百亿元. 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据， 可得：，， 则， ， 所以 所以变量与的线性相关程度很强. （2）由（1）可得，，， 又由， 所以，则， 可得关于的线性回归方程为 令，可得， 即年两国的交易额交易额百亿元. 考点二 非线性回归方程 1．（2025·海南海口·模拟预测）蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1)模型①，； (2)①；②均值为2，方差为 【详解】（1）模型①更合适，理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄， 所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适. 令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为． （2）①由题意得，， 所以 ， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值， 所以当时，， 由题意可知每年需要人工防治的概率为，且服从二项分布， 所以，． 2．（24-25高二下·山东潍坊·期中）某科技公司研发了一种新型电池，测试该新型电池从满电状态，每使用1小时其电量衰减情况，得到剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）的散点图，其中t为正整数． (1)利用散点图，判断与哪个更适宜作为回归模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)在（1）的条件下， （i）求出剩余电量y与使用时间t的回归方程（精确到0.01）； （ⅱ）当电池剩余电量低于0.3库仑时，电池报警提示需要充电，否则影响电池使用寿命，请利用所求回归方程，预判该新型电池从满电状态使用12小时后，是否会报警提示，并说明理由． 参考数据：记 45 12.02 1.55 20.20 285 45.07 3.42 参考公式：． 【答案】(1)更适宜作为回归模型，理由见解析 (2)（i）；（ⅱ）会报警提示，理由见解析 【详解】（1）更适宜作为回归模型，理由如下： 从散点图可以看出，剩余电量y（库仑）与使用时间t（小时）不呈线性变化， 减小速度越来越慢， 呈线性变化，不适宜作为回归模型，故更适宜作为回归模型； （2）（i）两边取对数得， 由于， 故， ， 即，故， （ⅱ）会报警提示，理由如下： 中，令得 ， 故会报警提示. 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商、短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使机构的服务需求持续增长．数据显示，近年来中国市场规模迅速扩大．下表为2018年年中国市场规模（单位：百亿元），其中2018年年对应的代码依次为． 年份代码x 1 2 3 4 5 中国市场规模y 1.12 1.68 2.45 3.35 4.32 (1)由上表数据可知，可用指数函数模型拟合y与x的关系， ①建立y关于x的回归方程； ②预测2025年中国市场规模（单位：百亿元）： (2)从2018年年中国市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为X，求X的分布列与期望． 参考数据： 2.58 0.84 46.83 15.99 其中． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 参考数据： 【答案】(1)①；②12.61 (2)分布列见解析， 【详解】（1）两边同时取自然对数得． 设，则， 因为， 所以． 把代入，得， 所以，则， 所以，即y关于x的回归方程为． 2025年的年份代码是8， 故预测2025年中国市场规模为（单位：百亿元） （2）2018年年中国市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有，共3个， 所以的可能取值为， ， 所以的分布列为 1 2 3 ． 4．（2025·云南·模拟预测）自2020年以来，某地区人工智能核心产值规模呈快速增长态势，下表给出了近5年该地区的人工智能核心产值规模（单位：亿元）. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 核心产值规模 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 (1)若用作为回归模型，并已求得，，，求此模型下的决定系数（精确到0.01）. (2)若用作为回归模型， ①求的值； ②已知该模型下的决定系数，请说明哪种回归模型拟合效果更好，并用拟合效果好的模型预测2025年该地区的人工智能核心产值规模. 参考数据： 3 4.02 16.16 104.91 1.24 22.54 1.1 1.5 11.4 附：（1）上表中； （2）一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，决定系数. 【答案】(1) (2)①，，②预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）. 【详解】（1）由题意可得， 所以决定系数 （2）将两边取对数，可得， 设，则模型为，其中， 因为， 所以 ， 所以， 则， 所以，， 因为该模型下的决定系数，大于线性模型下的决定系数， 故指数模型拟合效果更好， 令，可得（亿元）， 故预测2025年该地区的人工智能核心产值规模为（亿元）. 5．（2025·福建泉州·模拟预测）泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入（单位：百万元）的数据如下表： 月份编号 1 2 3 4 5 6 7 收入（百万元） 6 11 21 34 66 101 196 (1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由）并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程； (2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入； (3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？ 参考数据： 462 10.78 2711 50.12 2.82 3.47 其中设， 参考公式：，. 【答案】(1)适宜， (2)347百万元 (3)不合理 【详解】（1）散点图如图所示， 根据散点图判断，适宜作为5G经济收入y关于月代码x的回归方程类型， ，两边同时取常用对数得：， 设，， ， ， ， ， 把样本中心点代入，得：， ，， ， y关于x的回归方程：. （2）当时，， 所以预测该公司2025年5月份的经济收入估计为347百万元. （3）不合理,经验回归方程一般具有时效性，解释变量越接近样本数据，预测值比较可信，否则会有显著误差. 6．（24-25高二下·云南昆明·期中）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表. 360 54.4 1360 44 384 3 588 32 6430    表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率. 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围， 所以适宜作为y与x之间的回归方程模型． 令，则， 则， 所以，所以y关于x的回归方程为． （2）设事件“所取两个鱼卵来自第i批”， 所以， 设事件“所取两个鱼卵有个“死卵”， 则， 由全概率公式， 所以取出“死卵”个数为1的概率为. 考点三 独立性检验 1．（2025·广西河池·二模）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹.某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表： 是否成年人 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 80 100 成年人 20 80 合计 180 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？ (3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望. 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由列联表可知 所以； （2）零假设：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年无关 根据表中数据得： . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关； （3）由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为， 随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的概率为 的可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 . 2．（24-25高二下·河北·期中）游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了100人，得到的数据如表所示： 单位：人 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男 22 28 50 女 18 32 50 合计 40 60 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？ (2)根据以往的数据可知，甲使用自由泳、蛙泳、仰泳这三种泳姿参加游泳比赛的概率依次为0.4，0.4，0.2；甲在使用自由泳、蛙泳、仰泳的条件下，能够获得奖牌的概率依次为0.6，0.5，0.4．已知甲参加某次游泳比赛． （i）求甲没有获得奖牌的概率； （ii）在甲没有获得奖牌的条件下，求甲使用蛙泳的概率． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)不能认为是否喜欢游泳与性别有关联． (2)（i）0.48；（ii） 【详解】（1）零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联． 根据列联表中的数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 即不能认为是否喜欢游泳与性别有关联． （2）（i）设表示“甲使用自由泳参加比赛”；表示“甲使用蛙泳参加比赛”； 表示“甲使用仰泳参加比赛”；表示“甲没有获得奖牌”． ． （ii）在甲没有获得奖牌的条件下，甲使用蛙泳的概率为 3．（2025·浙江·模拟预测）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)无关联 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； （3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. 4．（24-25高二下·江苏盐城·期中）2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为. 看现场直播 未看现场直播 男同学 x 女同学 150 250 (1)求x的值； (2)是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ (3)为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)； (2)有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关； (3)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）由题设，可得； （2）由（1）得列联表如下： 看现场直播 未看现场直播 男同学 200 500 女同学 150 250 400 450 450 900 ， 所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关； （3）由题设及列联表知，抽取的9人中有3名女同学、6名男同学， 从9人任取2人，抽到女同学的人数， 则，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 . 5．（24-25高二下·广西·阶段练习）某店将年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示（单位：人），已知从该季度所有购车的车主中随机抽取人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为 . 购买燃油车 购买新能源车 男性车主 女性车主 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关? (3)为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人赠送礼品，记这人中女性车主的人数为，求的分布列以及. 参考公式： 参考数据： 【答案】(1) (2)认为购车车主的性别与购车类型有关． (3)分布列见解析， 【详解】（1）依题意可得，即，解得． （2）零假设购车车主的性别与购车类型无关． ， 故依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为购车车主的性别与购车类型有关． （3）购买燃油车的车主中，男性车主与女性车主的比例为， 所以分层随机抽样抽取的人中人是男性车主，人是女性车主． 记这人中，女性车主的人数为，则的可能取值为、、． ，，． 所以的分布列如下： 则． 6．（24-25高二下·河北沧州·阶段练习）某超市为调查顾客单次消费金额与性别是否有关，随机抽取70位当日来店消费的顾客，其中女性顾客有40人，统计发现，单次消费超过100元的占抽取总人数的，男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的. 单次消费超过100元 单次消费不超过100元 合计 女性 40 男性 30 合计 70 (1)完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联？ (2)在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中女性人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：（其中）. 参考数据： 0.050 0.025 0.01 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)表格见解析，能认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）根据题意可知，男性顾客30人，女性顾客40人； 男性顾客单次消费不超过100元的占抽取总人数的，即10人，超过100元的有20人， 又单次消费超过100元的占抽取总人数的，即共35人，所以单次消费超过100元的女性顾客为15人； 可得如下2×2列联表： 单次消费超过100元 单次消费不超过100元 合计 女性 15 25 40 男性 20 10 30 合计 35 35 70 零假设：顾客的单次消费是否超过100元与性别无关联， 由列联表中的数据，计算得 故依据小概率值的独立性检验，能认为顾客单次消费是否超过100元与性别有关联. （2）在“单次消费超过100元”的顾客中，按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取的7人中， 女性有人，男性有4人， 所以的可能取值为， 则. ， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 考点四 相关性分析 1．（2025·天津·二模）为研究某奶茶店每日的热奶茶销售量和气温之间是否具有线性相关关系，统计该店（2025年2月6日至3月24日）每天的热奶茶销售量及当天气温得到如图所示的散点图（轴表示气温，轴表示热奶茶销售量），由散点图可知与的相关关系为（   ） A．正相关，相关系数的值为0.8 B．负相关，相关系数的值为0.8 C．正相关，相关系数的值为 D．负相关，相关系数的值为 【答案】D 【详解】由散点图知随着的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：D． 2．（24-25高二下·天津南开·期中）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】由散点图变化趋势可知：且D的散点图更集中，接近于一条直线，所以相对于更趋近于，所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）在某生态系统中，研究人员发现两种生物近期的数量线性相关，且相关系数为0.75，这说明（   ） A．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量会减少 B．一种生物的数量增长时，另一种生物的数量也增长 C．两种生物的数量增减性有相同的趋势 D．两种生物的数量增减性有相反的趋势 【答案】C 【详解】因为两种生物近期的数量数据相关系数为0.75， 所以两种生物的数量正相关，故两种生物的数量增减性有相同的趋势. 故选：C 4．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）现有下表中数据，下列四个函数中，拟合效果最好的为（　　） x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将代入可得； 将代入可得； 将代入可得； 将代入可得； 发现函数函数值与表格数据最接近，模拟效果最好. 故选：C. 5．（24-25高二下·山东·阶段练习·多选）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则（   ） A．这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高 B．这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低 C．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高 D．这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低 【答案】BC 【详解】因为， 所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高， 乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低． 故选：BC. 6．（24-25高二下·宁夏银川·期中）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2020—2025年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2020—2025年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：） 【答案】 【详解】 ， 所以． 故答案为：． 7．（24-25高二下·广东广州·期中）某蔬菜的保鲜时间（小时）与存放温度样本数据如下表所示： 存放温度 21 15 10 6 3 保鲜时间小时 6 14 26 33 41 建立关于的一元线性回归模型，预测存放温度为时，这种蔬菜的保鲜时间约为 小时（，及结果保留到整数）；该模型的决定系数 （保留2位小数）.附：. 【答案】 42 0.99 【详解】计算得， 所以， 故线性回归方程为，当时，， 所以可估计其保鲜时间约为42小时； 因为，，所以． 故答案为：42；0.99 8．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 样本号i 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得，，． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数，． 【答案】(1) (2)0.97 (3) 【详解】（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为． （2）样本相关系数 ． （3）设这种树木的根部横截总面积为X ，总材积量为Y ，则，则， 所以该林区这种树木的总材积量的估计值为． 9．（24-25高二下·江西景德镇·期中）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人，它结合了人工智能、语音识别、互动娱乐和教育等内容，且云端内容可以持续更新，旨在通过趣味性和互动性帮助孩子学习和发展.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎，为了更好的服务广大家长，该公司对萌宠机器人的某个性能指数与孩子的喜爱程度进行统计调查，得到如下数据表： 5 6 7 8 9 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据，通过计算变量的相关系数，回答是否可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强（当时，与相关性很强）； (2)该公司科技人员小李想挑战萌宠机器人，他和机器人比赛答题，他们每人答4个题，若小李答对题数不小于3，则挑战成功.已知小李答对前两道题的概率均为，答对后两道题的概率均为，假设每次答题相互独立，且互不影响，当时，求小李挑战成功的概率的最大值. 参考公式：相关系数 【答案】(1)，可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 (2) 【详解】（1）由表知，， ， ， ， ， 则， 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强． （2）当小李答对题数为3时，概率为： ， 当小李答对题数为4时，概率为：， 所以小李挑战成功的概率为：， 由，，， 则，当且仅当时等号成立， 所以，由二次函数的知识可知， 当时，小李挑战成功的概率最大，最大为. 10．（24-25高二下·广东深圳·期中）中国的非遗项目丰富多样，涵盖广泛，体现了中华民族的智慧和独特的文化魅力．春节期间某地为充分宣扬该地非遗物质文化，加大非遗传承人的技艺展示．该地市场开发与发展机构统计了非遗传承人的技艺展示量与市场消费收入的6组数据如下表： 技艺展示量x（单位：个） 21 23 24 27 29 32 市场消费收入y（单位：万元） 6 11 20 27 57 77 (1)若用线性回归理论进行统计分析，求市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得市场消费收入y关于技艺展示量x的回归方程为，且决定系数，与（1）中的线性回归模型相比，应用决定系数说明哪种模型的拟合效果更好． 附：一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为，；决定系数 参考数据：，，， 线性回归模型的残差平方和为（其中，分别为非遗传承人的技艺展示量和市场消费收入，）． 【答案】(1) (2)用非线性回归模型拟合效果更好 【详解】（1）由题意，则， ， ，， y关于x的线性回归方程为． （2）对于线性回归模型，，， 决定系数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$