第二章 第1课时 函数的概念及其表示-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书word

[教师备选资源] 新高考卷三年考情图解 高考命题规律把握 1．常考点：函数的奇偶性、函数性质的综合． 函数的性质主要考查与抽象函数有关的问题(奇偶性、单调性、对称性、周期性等)． 2．轮考点：函数的概念、图象、应用． (1)函数的概念主要考查新定义问题、分段函数的求值等问题； (2)函数的图象主要考查基本初等函数图象的识别； (3)指数、对数、幂函数主要考查代数值的大小比较，对数函数的性质应用等问题； (4)函数的应用主要考查函数零点问题、函数模型的应用等． 第1课时　函数的概念及其表示 [考试要求]　1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A． 2．同一个函数 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法、列表法． 提醒：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． [常用结论] 1．注意以下几个特殊函数的定义域 (1)分式型函数，分母不为零的实数集合． (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合． (3)f (x)的解析式为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合． (4)若f (x)＝x0，则f (x)的定义域为{x|x≠0}． (5)正切函数y＝tan x的定义域为． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为． (3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　　) (2)对于函数f ：A→B，其值域是集合B． (　　) (3)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭曲线． (　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P101T7改编)设函数f (x)＝则f (f (－1))＝(　　) A．16 B．4 C．5 D．－4 A　[f (f (－1))＝f (2)＝16．故选A．] 2．(人教A版必修第一册P69练习T2改编)函数f (x)＝|x－1|的图象是(　　) A　　　B　　　　C　　　　D B　[函数f (x)＝|x－1|＝结合选项可知，选项B正确．故选B．] 3．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x2－2x－1与g(s)＝s2－2s－1 B．f (x)＝与g(x)＝x C．f (x)＝与g(x)＝ D．f (x)＝x与g(x)＝ AC　[f (x)＝与g(x)＝x的值域不同；f (x)＝x与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，故BD错误，AC正确．] 4．(人教A版必修第一册P65例2改编)已知函数f (x)＝x＋，则f (x)的定义域为________；若f (a)＝2，则a的值为________． (－∞，0)∪(0，＋∞)　 1　[要使函数f (x)有意义，必须使x≠0， 故f (x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 由f (a)＝2得a＋＝2，解得a＝1．] 考点一　求函数的定义域 [典例1]　(1)已知函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　) A．(1，5]　　　　　 B．(1，2)∪(2，5) C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3] (2)(2025广东东莞模拟)函数y＝＋的定义域为________． (1)C　(2)　[(1)因为函数y＝f (x)的定义域为[0，4]，函数y＝＋(x－2)0有意义，所以解得1<x<2或2<x3， 所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3]．故选C． (2)由题意可得解得 即<x<2． 故函数y＝＋的定义域为．] 　求函数的定义域的策略 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求抽象函数的定义域： ①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由mg(x)n解得x的取值范围即为f (g(x))的定义域． ②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由mxn得到g(x)的取值范围，即为f (x)的定义域． [跟进训练] 1．(1)(2025山东青岛模拟)若函数f (x)＝的定义域为R，则常数k的取值范围是(　　) A．(0，4) B．[0，4) C．[0，4] D．(0，4] (2)已知函数y＝f (x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f (2x－1)的定义域是(　　) A． B．[－1，4] C．[－5，5] D．[－3，7] (1)B　(2)A　[(1)由函数f (x)＝的定义域为R，可得kx2＋kx＋1>0恒成立， 可得k＝0或解得0＜k<4， 综上，常数k的取值范围为[0，4)．故选B． (2)∵函数y＝f (x＋1)的定义域为[－2，3]， ∴x∈[－2，3]，则x＋1∈[－1，4]， 即函数f (x)的定义域为[－1，4]， ∴－12x－14，解得0x， ∴函数y＝f (2x－1)的定义域为． 故选A．] 考点二　求函数的解析式 [典例2]　求下列函数的解析式： (1)已知f (1－sin x)＝cos2x，求f (x)的解析式； (2)已知f ＝x2＋，求f (x)的解析式； (3)已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，求f (x)的解析式； (4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)的解析式． 【教用备选题】 (5)设f (x)＝，又记f 1(x)＝f (x)，f k＋1(x)＝f (f k(x))，k＝1，2，…，则f 2026(x)＝(　　) A． B． C．x D．－ [解]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t． ∵f (1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f (t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]． 即f (x)＝2x－x2，x∈[0，2]． (2)(配凑法、换元法)∵f ＝x2＋＝－2， 令t＝x＋，当x＞0时， t2＝2，当且仅当x＝1时取等号， 当x＜0时，t＝－－2， 当且仅当x＝－1时取等号， ∴f (t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f (0)＝2，得c＝2， f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1， 所以即 所以f (x)＝x2－x＋2． (4)(解方程组法)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，① 令x＝－x代入①， 得2f (－x)＋f (x)＝－3x，② 由①②解得f (x)＝3x． 【教用备选题】 (5)D　[(归纳法)由已知条件得到f 2(x)＝f (f 1(x))＝＝＝－， f 3(x)＝f (f 2(x))＝＝＝， f 4(x)＝f (f 3(x))＝＝＝x， f 5(x)＝f (f 4(x))＝， 可见f n(x)是以4为周期的函数，而2 026＝506×4＋2，所以f 2 026(x)＝f 2(x)＝－．] 　求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法． (2)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式，注意g(x)的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f (x)与f 或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)． [跟进训练] 2．(1)(易错题)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________． (2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________． (3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________． (1)x2－4x＋3(x1)　(2)－x－　(3)4x＋1[(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t1，x＝(t－1)2， 代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3， 所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)． 法二(配凑法、换元法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3， 因为＋11，所以f (x)＝x2－4x＋3(x1)． (2)因为f (x)－2f ＝2x，① 以代替①中的x，得f －2f (x)＝，② ①＋②×2得－3f (x)＝2x＋， 所以f (x)＝－x－． (3)∵f (x)为单调递增的一次函数，∴设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，∴a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1或a＝－4，b＝－(不合题意，舍去)，∴f (x)＝4x＋1．] 考点三　分段函数 　求值问题 [典例3]　(1)(2025湖北武汉模拟)已知f (x)＝则f ＝(　　) A．2 B． C． D．1 (2)(2021浙江高考)已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝__________． (1)D　(2)2　[(1)函数f (x)＝ 所以f ＝2f ＝2＝1．故选D． (2)因为>2，所以f ()＝6－4＝2， 所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．] 　解方程或不等式 [典例4]　(1)函数f (x)＝若实数a满足f (a)＝f (a－1)，则f ＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)(2024湖北十一校一模)已知函数f (x)＝则关于x的不等式f (x)1的解集为________． (1)D　(2)(－∞，e－1]　[(1)由分段函数的定义知，f (x)的定义域是(－1，＋∞)，所以a>0． ①当0<a<1时，－1<a－1<0，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝，解得a＝，所以f ＝f (4)＝8． ②当a1时，a－10，则f (a)＝f (a－1)可化为2a＝2(a－1)，方程无解．故选D． (2)当x0时，f (x)＝x＋11得x0，所以x0． 当x>0时，f (x)＝ln (x＋1)1，得－1<xe－1， 所以0<xe－1，综上，f (x)1的解集为(－∞，e－1]．] 　分段函数的几类题型及解决方法 (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． [跟进训练] 3．(1)已知函数f (x)＝若f (f (a))＝2，则a等于(　　) A．0或1 B．－1或1 C．0或－2 D．－2或－1 (2)(2025八省联考)已知函数f (x)＝x|x－a|－2a2．若当x>2时，f (x)>0，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[－1，＋∞) (1)D　(2)B　[(1)令f (a)＝t，则f (t)＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f (a)＝0，显然a0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2， 当t＝1时，即f (a)＝1，显然a0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1． (2)当a>2，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝ 当2<x<a时，f (x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2<0， 所以f (x)<0，不满足当x>2时，f (x)>0，故a>2不符合题意； 当0<a2，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a， 由于x>2时，f (x)>0，故2a2，解得0<a1； 当a＝0，x>2时，f (x)＝x2>0恒成立，符合题意； 当a<0，x>2时，f (x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a， 由于x>2时，f (x)>0，故－a2，解得－2a<0． 综上，－2a1．故选B．] 课后作业(七)　函数的概念及其表示 一、单项选择题 1．函数f (x)＝＋ln (1－x)的定义域是(　　) A．(－2，1) B．(－3，1) C．(1，2) D．(1，3) A　[由题意可得解得－2<x<1． 故函数f (x)的定义域是(－2，1)．] 2．(2025湖南长沙模拟)设f (x)＝ 则f (9)的值为(　　) A．9 B．11 C．28 D．14 B　[f (9)＝f (f (14))＝f (2×14－15)＝f (13)＝2×13－15＝11． 故选B．] 3．(人教A版必修第一册P72 习题3.1T2改编)下列函数与y＝是同一个函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ (a>0且a≠1) D．y＝logaax(a>0且a≠1) D　[因为y＝＝x，且定义域为R， 对于A，y＝＝，可知两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，故A错误； 对于B，y＝的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C，y＝的定义域为，可知两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故C错误； 对于D，y＝logaax＝x，且定义域为R，所以两个函数是同一个函数，故D正确．故选D．] 4．(2025江苏盐城模拟)函数f (x)满足2f (x)－f (1－x)＝x，则函数f (x)＝(　　) A．x－2 B． C． D．－x＋2 B　[因为2f (x)－f (1－x)＝x，① 所以2f (1－x)－f (x)＝1－x，② 由①×2＋②得3f (x)＝x＋1，即f (x)＝． 故选B．] 5．设函数f (x)＝则不等式f (x＋1)<f (2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1] B．(0，＋∞) C．(－1，0) D．(－∞，0) D　[因为f (x)＝ 所以函数f (x)的图象如图所示． 由图可知，函数f (x)在区间(－∞，0]上单调递减，当x＋10且2x0时，f (x＋1)＜f (2x)可以转化为x＋1＞2x． 此时x－1． 当2x＜0且x＋10时，f (2x)＞1，f (x＋1)＝1， 满足f (x＋1)＜f (2x)． 此时－1x＜0． 综上，不等式f (x＋1)＜f (2x)的解集为(－∞，－1]∪[－1，0)＝(－∞，0)．] 6．(2025江西名校联盟联考)若f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy对任意x，y∈R恒成立，f (1)＝1，则f (30)＝(　　) A．189 B．190 C．464 D．465 D　[依题意，f (2)＝f (1)＋f (1)＋1×1＝3， f (3)＝f (2)＋f (1)＋1×2＝3＋1＋2＝6， f (4)＝f (2)＋f (2)＋2×2＝3＋3＋4＝10， f (5)＝f (2)＋f (3)＋2×3＝3＋6＋6＝15， f (6)＝f (2)＋f (4)＋2×4＝3＋10＋8＝21， f (7)＝f (2)＋f (5)＋2×5＝3＋15＋10＝28， f (8)＝f (2)＋f (6)＋2×6＝3＋21＋12＝36， f (15)＝f (7)＋f (8)＋7×8＝28＋36＋56＝120， f (30)＝f (15)＋f (15)＋15×15＝120＋120＋225＝465．故选D．] 二、多项选择题 7．(2025福建龙岩模拟)已知函数f (＋1)＝x＋2， 则(　　) A．f (x)＝x2－1(x∈R) B．f (x)的最小值为－1 C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞) D．f 的值域为[0，＋∞) CD　[依题意，f (＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f (x)＝x2－1，x1，A错误； 当x1时，f (x)0，当且仅当x＝1时取等号，B错误； 在f (2x－3)中，2x－31，解得x2，因此f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确； 显然f ＝－1，0<x1，于是∈[1，＋∞)，因此f 的值域为[0，＋∞)，D正确．故选CD．] 8．(2025广东六校联考模拟)给定数集A＝R，B＝(0，＋∞)，x，y满足方程2x－y＝0，下列对应关系f 为函数的是(　　) A．f ：A→B，y＝f (x) B．f ：B→A，y＝f (x) C．f ：A→B，x＝f (y) D．f ：B→A，x＝f (y) ABD　[对于A，y＝f (x)＝2x，∀x∈A，均有唯一确定f (x)∈(0，＋∞)＝B，符合函数定义，A正确； 对于B，y＝f (x)＝2x，∀x∈B，均有唯一确定f (x)∈(1，＋∞)⊆A，符合函数定义，B正确； 对于C，x＝f (y)＝log2y，取y＝1∈A，x＝0∉B，不符合函数定义，C错误； 对于D，x＝f (y)＝log2y，∀y∈B，均有唯一确定f (y)∈R＝A，符合函数定义，D正确． 故选ABD．] 三、填空题 9．(2024湖北武汉二模)已知函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则函数f (1－x)的定义域为________． (－2，2]　[由函数f (2x＋1)的定义域为[－1，1)，则有2x＋1∈[－1，3)， 令－11－x<3，解得－2<x2．] 10．(2024北京东城二模)设函数f (x)＝则f ＝________，不等式f (x)<f (2x)的解集是________． 1　∪　[由题意可知，f ＝f (1)＝1； 因为f (x)<f (2x)， 当<1，即－<x<时，则<<1，可得1<1，不合题意； 当即x∈∪时，可得1<(2x)2， 解得x>或x<－，所以x∈∪； 当1，即x1或x－1时，则＝22>1， 可得x2<(2x)2＝4x2，符合题意； 综上所述：不等式f (x)<f (2x)的解集是∪．] 11．在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三点，请写出2个函数解析式，使函数图象经过A，B，C三点：________，________． y＝1－　y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)　[已知A(－2，0)，B(2，0)关于y轴对称，且C(0，1)在y轴上． ①可设y＝k＋m，则 解得故y＝1－． ②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 解得故y＝1－．] 12．(多选)若函数f (x)的定义域与值域的交集为[a，b]，则称f (x)为“[a，b]交汇函数”，下列函数是[0，2]交汇函数的是(　　) A．f (x)＝x2－4x＋4，x∈(－∞，2] B．f (x)＝－＋2 C．f (x)＝－2x＋2 D．f (x)＝ ABD　[因为f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，x∈(－∞，2]， 所以f (x)的值域为[0，＋∞)，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，A正确． f (x)＝－＋2的定义域为[0，＋∞)，值域为(－∞，2]，定义域与值域的交集为[0，2]，B正确． f (x)＝－2x＋2的定义域为R，因为2x＞0， 所以f (x)＝－2x＋2＜2， 即f (x)＝－2x＋2的值域为(－∞，2)，所以f (x)的定义域与值域的交集为(－∞，2)，C错误． 因为方程3x2－4x＋2＝0无解，故f (x)＝的定义域为R， 当x＝0时，f (0)＝0， 当x≠0时，f (x)＝＝， 因为2＋11，所以0＜f (x)2， 所以f (x)的值域为[0，2]，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，D正确．故选ABD．] 13．(2025江苏扬州模拟)写出满足f (x－y)＝f (x)＋f (y)－2xy的函数的解析式________． f (x)＝x2　[f (x－y)＝f (x)＋f (y)－2xy中，令x＝y＝0，得f (0)＝0． 令y＝x得f (x－x)＝f (x)＋f (x)－2x2， 故f (x)＋f (x)＝2x2， 则f (x)＝x2．] 14．(2024北京丰台区5月模拟)已知函数f (x)具有下列性质：①对任意x1，x20，都有f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1；②在(0，＋∞)上，f (x)单调递增；③f (x)是偶函数，则f (0)＝________；函数f (x)可能的一个解析式为________． －1　f (x)＝|x|－1(答案不唯一)　[令x1＝x2＝0，可得f (0)＝f (0)＋f (0)＋1，所以f (0)＝－1． 不妨令f (x)＝|x|－1，x∈R，则f (x)在(0，＋∞)上单调递增，满足②； 又f (－x)＝|－x|－1＝|x|－1＝f (x)，所以f (x)为偶函数，满足③； 当x1，x2∈[0，＋∞)时，f (x1＋x2)＝|x1＋x2|－1＝x1＋x2－1，f (x1)＝x1－1，f (x2)＝x2－1，所以f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，满足①． 所以函数f (x)可能的一个解析式为f (x)＝|x|－1．] 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$