第四章 阶段提能(三) 三角函数的化简求值-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第四章　 三角函数与解三角形 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 16 一、单项选择题 1．(2024·北京朝阳二模)在平面直角坐标系Oxy中，锐角α以O为顶点，x轴的非负半轴为始边．将α的终边绕O逆时针旋转后与单位圆交于点P(x，y)，若cos α＝，则y＝(　　) A．－ B．－ C． D． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 2 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 D　[如图， 由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝， 所以y＝sin＝(sin α＋cos α)＝＝.故选D.] 3 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 16 2．(教材改编)若α是第二象限角，则(　　) A．cos >0 B．tan >0 C．sin >0 D．cos <0 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 B　[若α是第二象限角，则cos ＝cos α<0， 故A错误；为第一、三象限角，则tan >0，故B正确； sin ＝－sin α<0，故C错误； cos ＝－cos α>0，故D错误．故选B.] 5 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 16 3．“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 6 题号 3 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 16 B　[当sin2α＋sin2β＝1时，例如α＝，β＝0，但sinα＋cos β≠0， 即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0； 当sin α＋cos β＝0时，sin2α＋sin2β＝(－cos β)2＋sin2β＝1， 即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1. 综上可知，“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cos β＝0”的必要不充分条件．故选B.] 7 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 4．(2025·广东汕头模拟)已知sin＝＝2，则 sin ＝(　　) A． B． C． D．1 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 8 题号 4 2 3 5 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 16 C　[由＝＝＝2⇒sin x cos y＝2cos x sin y， 由sin ＝sin x cos y－cos x sin y＝⇒ 2cos x sin y－cos x sin y＝⇒cos x sin y＝， 可得sin x cos y＝2cos x sin y＝， 所以sin ＝sin x cos y＋cos x sin y＝＝. 故选C.] 9 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 5．已知0<β<α<，sin ＝，tan α－tan β＝2，则tan αtan β＝ (　　) A． B． C． D． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 10 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 16 D　[由0<β<α<可得－<α－β<， 又sin＝>0，所以0<α－β<， 故cos＝，tan ＝， tan ＝＝＝， 故tan αtan β＝.故选D.] 11 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 6．(2025·福建漳州模拟)已知cos ＝，则sin ＋ sin ＝(　　) A． B．－ C． D． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 12 题号 2 4 5 3 6 8 7 9 10 11 12 13 1 14 15 16 A　[令α＋＝β，则α＝β－，cos β＝， 所以sin ＋sin ＝sin ＋sin ＝cos β－cos 2β＝cos β＋1－2cos2β＝＋1－＝. 故选A.] 13 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 7．(2024·九省联考)已知θ∈，tan2θ＝－4tan ，则＝(　　) A． B． C．1 D． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 14 题号 2 4 5 3 7 6 8 9 10 11 12 13 1 14 15 16 A　[由θ∈，tan 2θ＝－4tan ， 得＝＝2tan θ， 则＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－， 因为θ∈，tan θ∈，所以tan θ＝－， ＝＝＝＝. 故选A.] 15 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 8．已知β∈，且3sin α＝sin (2β－α)，则tan α的最大值为 (　　) A．－ B． C．－ D． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 16 题号 2 4 5 3 8 6 7 9 10 11 12 13 1 14 15 16 B　[3sin α＝sin 2βcos α－cos 2βsin α， 即(3＋cos 2β)sin α＝sin 2βcos α， 即＝，故tan α＝＝＝＝， 令t＝tanβ，则tan α＝＝＝＝(当且仅当t＝，即 tan β＝时等号成立)． 故选B.] 17 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 二、多项选择题 9．(2025·河北张家口模拟)已知θ∈，sin θ＋cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ √ √ 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 18 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 ABD　[由题意得cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋＝1， 整理得sin2θ＋sin θ－＝0， 即＝0， 解得sin θ＝或sin θ＝－，因为θ∈，所以sin θ＝， 19 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 所以cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正确； 因为所以θ∈，故A正确； tan θ＝＝－，故C错误； sin θ－cos θ＝＝，故D正确．故选ABD.] 20 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 10．若tan θ＝－2，则下列等式中成立的是(　　) A．tan 2θ＝－ B．＝ C．sin θ(sin θ－cos θ)＝ D．sin ＝ √ √ 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 21 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 BCD　[因为tan 2θ＝＝＝， 所以A错误；因为＝＝＝，所以B正确； 因为sin θ＝sin2θ－sin θcos θ ＝＝＝＝，所以C正确；因为sin＝sin 2θ－cos 2θ＝＝ ＝＝＝，所以D正确．故选BCD.] 22 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 √ 14 15 16 11．已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ √ 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 23 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 AC　[由题意，易得α＋β∈，2α∈， 所以sin 2α＝＝，故A正确； sin(α＋β)＝＝， 所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β) ＝＝，故B错误； cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝＝，故C正确； sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝＝， 所以tan αtan β＝＝，故D错误．] 24 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 三、填空题 12．已知α∈，25cos 2α－10sin α－1＝0，则tan ＝________． 3 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 25 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 3　[由题设有25－10sinα－1＝0，即25sin2α＋5sinα－12＝0， 解得sin α＝或sin α＝－，因为α∈，所以sin α＝，则cos α＝－＝－， 则tan＝＝＝＝＝3.] 26 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 13．sin 20°＝________． 1　[原式＝＝＝ ＝＝＝1.] 1 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 27 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 14．(2025·海南海口模拟)已知cos ＝，tantan β＝－4，写出符合条件的一个角α的值为__________________． (答案不唯一) 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 28 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 (答案不唯一)　[cos ＝cos [(α＋β)＋β]＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β， 故cos cos β－sin sin β＝， tan tan β＝－4，即＝－4， 故sin sin β＝－4cos cos β， 故5cos cos β＝，即cos cos β＝， 则sin sin β＝－4cos cos β＝－， 则cos α＝cos ＝cos cos β＋sinsin β＝＝－，可取α＝.] 29 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 四、解答题 15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求cos－sin 的值； (2)若锐角β满足cos ＝，求sin β的值． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 30 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 [解]　(1)由题设知：x＝3，y＝－4，r＝OP＝5，则cos α＝＝， 又cos ＝－cos α，sin ＝cos α， ∴cos －sin ＝－2cos α＝－. (2)由(1)知：sin α＝－，cos α＝， 且sin ＝±＝±， 又β为锐角，α为第四象限角，所以α＋β为第四象限角或第一象限角． 31 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 当α＋β为第一象限角时，sin＝，则sin β＝sin ＝sin cos α－cos (α＋β)sin α＝＝， 当α＋β为第四象限角时，sin ＝－， 则sin β＝sin ＝sin cos α－cos (α＋β)sin α＝＝. 32 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 16．已知f (x)＝. (1)若f (α)＝，求sin αcos α＋2sin2α的值； (2)若f (α－β)＝－2，f (α)＝－3且α∈，β∈，求2α－β的值． 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 33 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 [解]　(1)f (x)＝ ＝＝－， 由已知，f (α)＝－＝，得tan α＝－2， ∴sin αcos α＋2sin2α＝＝ ＝＝. 34 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 (2)由f (α－β)＝－2，f (α)＝－3， 可知tan(α－β)＝，tan α＝， ∴tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α] ＝＝＝1. ∵α∈，β∈，∴－π<α－β<0. 35 题号 9 2 4 5 3 8 6 7 10 11 12 13 1 14 15 16 而tan (α－β)＝>0， ∴－π<α－β<－. ∴2α－β∈(－π，0)， ∴2α－β＝－. 36 谢 谢！ 阶段提能(三)　三角函数的化简求值 $$