第二章 重点培优课2 指数式、对数式、幂式的大小比较-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习教师用书配套课件

第二章 函数的概念与性质 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 题型一　临界值法比较大小 [典例1]　(1)(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 (2)已知a＝log52，b＝，c＝0.70.3，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 (1)B　(2)A　[(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b. 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c. 故选B. (2)∵log51<log52<log5，∴0<a<. ∵b＝＝log0.70.1>log0.70.7＝1， ∴b>1，∵0.71<0.70.3<0.70，∴0.7<c<1，∴a<c<b.故选A.] 名师点评　临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“”的大小关系． 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 [跟进训练] 1．(1)(2025·山西运城模拟)设a＝，b＝log0.30.2，c＝log0.30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a (2)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 (1)D　(2)B　[(1)a＝<，即0<a<，b＝log0.30.2>1，即b>1，因为0.42<0.3，所以log0.30.42>log0.30.3＝1，即log0.30.4>，且log0.30.4<log0.30.3＝1，则<c<1， 所以b>c>a.故选D. (2)根据换底公式log32＝，log52＝. 因为log25>log23>1，所以0<log52<log32<1， 故1<<<2. 又c＝＝21.1>21＝2， 所以b<a<c.故选B.] 题型二　数形结合法比较大小 [典例2]　(多选)(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知实数a，b，c满足：2a＝＝log2c，则下列关系可能成立的是(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a √ √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 ABC　[令2a＝＝log2c＝t，在同一直角坐标系中画出y＝2x，y＝，y＝log2x的图象． 由图象可知： 当y＝t在①位置时，b<a<c； 当y＝t在②位置时，a<b<c； 当y＝t在③位置时，a<c<b； b<c<a不可能成立．故选ABC.] 名师点评　本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如将问题转化为函数y＝2x，y＝， y＝log2x的图象与直线y＝t的交点的横坐标的大小关系，再画出图象，数形结合求解即可． 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 [跟进训练] 2．(2025·山西晋中模拟)若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则 (　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 B　[在同一直角坐标系中画出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的 图象， 由图象可知a<c<b.故选B.] 题型三　利用指数、对数及幂的运算性质比较大小 [典例3]　(1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b (2)已知a＝3log83，b＝－，c＝log43，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．b>a>c √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 (1)C　(2)A　[(1)由题意得a>0，b>0，c>0， ＝＝<1，故b＞a；＝＝＝>1，a>c，故b＞a＞c.故选C. (2)由题意可得a＝3log83＝3×＝log23>1， b＝－＝－＝log34>1，0<c＝log43<1， 又log23－log34＝＝， 由于lg 2>0，lg 4>0，lg 2≠lg 4，∴lg 2lg 4<＝(lg )2<(lg 3)2， 故log23－log34>0，∴a>b，综合可得a>b>c，故选A.] 名师点评　作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系． 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 [跟进训练] 3．(1)若a＝log54，b＝log43，c＝，则(　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a (2)(2024·安徽阜阳一模)设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 (1)C　(2)D　[(1)因为81>64，所以3>＝，所以＝，即b>c； 又lg 5>0，lg 3>0，所以lg 5×lg 3<＝(lg )2. 因为lg 4>lg ， 所以＝log54×log34＝>>1， 即log54>log43，所以a>b>c.故选C. (2)a＝log23＝log2＝1＋log2＝， b＝log812＝log8＝1＋log8＝， c＝lg 15＝log10＝1＋log10＝， ，∴a>b>c.故选D.] 题型四　构造函数法比较大小 [典例4]　(1)已知a＝3ln 2π，b＝2ln 3π，c＝3ln π2，则下列选项正确的是(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a (2)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 (1)D　(2)B　[(1)＝＝＝，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较． 设f (x)＝，则f ′(x)＝，当x＝e时，f′(x)＝0， 当x＞e时，f ′(x)＜0，当0＜x＜e时，f′(x)＞0， ∴f (x)在(e，＋∞)上单调递减，∵e＜3＜π＜4， ∴＞＞＝，∴b＞c＞a，故选D. (2)令f (x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log2(2b)，所以f (a)< f (2b)，所以a<2b.故选B.] 名师点评　破解此类问题的关键是发现题眼、构造函数，如本例(1)的题眼是“对a，b，c同除以6π”，进而从中发现共性函数f (x)＝. 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 [跟进训练] 4．(2023·山东临沂一模)已知x＝＝，x＝logxz，则 (　　) A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 B　[令f (x)＝x－，则f (x)在R上单调递增， 由f (1)＞0，f ＜0，则存在x∈，使得f (x)＝0，即x＝，而＝⇒y＝， ∵x＜，∴x－y＝－＞0⇒x＞y. x＝logxz⇒z＝xx＞＝x. 综上：y＜x＜z.故选B.] 题型五　特值法、设元法比较大小 [典例5]　设x，y，z为正实数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y＜2x＜5z B．2x＜3y＜5z C．3y＜5z＜2x D．5z＜2x＜3y √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 A　[法一(特值法)：取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z.故选A. 法二(设元法)：设2x＝3y＝5z＝k，则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，所以＝＝＝．又易知，所以，即0＜＜＜，所以3y＜2x＜5z.故选A.] 名师点评　本题利用特值法求解，显得简洁、明了；利用设元法求解，关键在于转化为比较的大小，其优点是便于运用对数函数的单调性． 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 [跟进训练] 5．(多选)设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则的大小关系可能是(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＝＝ D．＜＜ √ √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 ACD　[法一(特值法)：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，选项C正确；取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，选项A正确；取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，选项D正确． 法二(设元法)：设log2x＝log3y＝log5z＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝5k，所以＝2k-1，＝3k-1，＝5k-1.又易知k＞0，若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确；若0＜k＜1，则根据函数f (t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递减可得2k-1＞3k-1＞5k-1，所以＜＜，所以选项D有可能正确；若k＞1，则根据函数f (t)＝tk-1在(0，＋∞)上单调递增可得2k-1＜3k-1＜5k-1，所以＜＜，所以选项A有可能正确．] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 10 培优训练(二)　指数式、对数式、幂式的大小比较 一、单项选择题 1．(2024·安徽名校联考三模)若a＝log37，b＝log940，c＝，则(　　) A．c<a<b B．b<c<a C．a<b<c D．b<a<c D　[依题意，a＝log37＝log949，故a>b；而a<log39＝2<c，故b<a<c.故选D.] 2．(2024·江西南昌三模)若＝log2a，＝＝2－c，则正数a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 B　[由＝log2a，则a为y＝与y＝log2x图象交点的横坐标，由＝b2，则b为y＝与y＝x2图象交点的横坐标，由＝2－c，即＝，则c为y＝与y＝图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝log2x，y＝x2，y＝的图象，如图所示， 由图可知，c<b<a.故选B.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3．(2025·湖北武汉模拟)记a＝30.2，b＝0.3-0.2，c＝log0.20.3，则 (　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 D　[因为b＝0.3-0.2＝，幂函数y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增， 又>3，所以>30.2>30＝1，所以b>a>1， 又对数函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，所以c＝log0.20.3<log0.20.2＝1，故b>a>1>c.故选D.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4．(2024·广东广州一模)已知a＝，3b＝5，5c＝8，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 C　[由题意得b＝log35，c＝log58， 因为a＝＝＝log3>log35＝b，即a>b， a＝＝＝log5>log58，即a>c， 因为＝＝>＝＝>1，所以b>c，故a>b>c.故选C.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 B　[a＝＝，c＝＝， 令f (x)＝，所以a＝f ，b＝f (2)，c＝f (e)， f′(x)＝， 所以当x∈(0，e)时，f′(x)＞0， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0， 所以f (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以f (x)max＝f (e)＝＝c，所以a＜c，b＜c， 又b＝＝＝＝f (4)，因为4＞＞e， 所以f (4)＜f，所以b＜a，所以b＜a＜c.故选B.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6．(2025·河北邯郸模拟)已知f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋2)＝ f (x)，且f (x)在[－1，0]上单调递减，若a＝f (log345)，b＝f (－log58)，c＝f，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 B　[∵f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋2)＝f (x)， ∴f (x)的周期为2， 又f (x)在[－1，0]上单调递减， ∴f (x)在[1，2]上单调递减． 又a＝f (log345)＝f (2＋log35)＝f (log35)， b＝f (－log58)＝f (log58)， ∵53＝125>34＝81，83＝512<54＝625， ， 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∴1<log58<<log35<2， ∴f (log58)>f>f (log35)， ∴a<c<b.故选B.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、多项选择题 7．(2024·重庆三模)已知实数a，b满足，则下列结论正确的是(　　) A．< B．loga2>logb2 C．＜ D．2a－2b>3－a－3－b √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 ACD　[因为>0， 所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0， 对于A，因为 y＝为减函数，所以<，故A正确； 对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝<logb2＝1，故B错误； 对于C，0<<1<，故C正确； 对于D，令f (x)＝2x－3－x，因为y＝2x与y＝3x均为增函数，所以f (x)＝2x－3－x为R上的增函数， 所以2a－2b>3－a－3－b，故D正确．故选ACD.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8．(2025·安徽阜阳模拟)已知正实数x，y，z满足＝＝，则(　　) A．＝－ B．2z2<xy C．x<2z<3y D．x<3y<2z √ 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 ABC　[设＝＝＝m，则x＝－log3m，y＝－log4m，z＝－log6m，且0<m<1， 由＝＝＝＝－＝－，A正确； 由A可知，＝，所以＝1，由基本不等式得＝1≥2，即，所以，即2z2≤xy， 当且仅当＝＝，即x＝2z，y＝z时取得等号，又y＝z时，由＝可得y＝z＝0， 与y>0，z>0矛盾，所以2z2<xy，B正确； 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x－2z＝－log3m＋2log6m＝＝＝<0， 所以x<2z，2z－3y＝－2log6m＋3log4m＝＝＝<0， 所以2z<3y，所以x<2z<3y，C正确，D错误． 故选ABC.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三、填空题 9．(2025·福建龙岩模拟)若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度．如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式＜(a＞b＞0，m＞0)，数学中常称其为糖水不等式．依据糖水不等式可判断log32与log1510的大小：例如log32＝＜＝＝log1510，试比较：log43________log54(填“＜”“＞”或“＝”)． 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ＜ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 ＜　[依题意log43＝＝＝＜＝log54.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10．(2025·山东省实验中学模拟)使得不等式logab<logba和ba<ab均成立的一组a，b的值分别为____________________． 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e，2(答案不唯一) 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 e，2(答案不唯一)　[不妨取a>1，b>1，由ba<ab，得a ln b<b ln a ⇔<， 令函数f (x)＝，x>1，求导得f ′(x)＝，当1<x<e时，f ′(x)>0，当x>e时，f ′(x)<0， 即函数f (x)在(1，e]上单调递增，在[e，＋∞)上单调递减， 取a，b∈(1，e]，由f (b)<f (a)，得1<b<a≤e， 此时logab<logaa＝1＝logbb<logba，取a＝e，b＝2.] 1 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 谢 谢！ 重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较 $$