5.3.1正方形的定义与判定（教学课件）-2024-2025学年浙教版数学八年级下册

浙教版数学 八年级下 5.3 .1正方形的性质 【1】平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 【2】矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 【3】菱 形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 、问题二：类比矩形和菱形的定义，有一组邻边相等，并且有一个角是直 问题一 ： 我们学习过哪些特殊的平行四边形? 角的平行四边形是什么特殊四边形呢? 两组对边 分别平行 四边形 平行四边形 肴、一 矩形 有一个角是直角 有一组邻边相等+有一个角是直角 组 边相 菱形 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，也是特殊的平行皿边形 思考：你还能得到 判定一个四边形是正方形的常用方法. 哪些判定一个四边 【矩形法】有一组邻边相等的矩形是 正 形是正方形的定理? 【菱形法】有一个角是直角的菱形是正方形. 【几何语言】 ∵在菱形ABCID央，平绿B 边90°. 且菱形ABCD是正苏形. ∴四边形ABCD是正方形. 【正方形定义】 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 平行四边形 正 矩形 方 形 菱形 1.先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，可说明是正方形 2.先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形，可说明是正方形 【完成P₁24做一做判断题】 (1)有一组邻边相等的矩形是正方形. (2)有一个角是直角的菱形是正方形. (3)对角线互相垂直的矩形是正方形. (4)对角线相等的菱形是正方形. 思考：你能说出说 明一个四边形是正 方形的一般思路吗? 正方形的判定定理： 【例1】已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD 是∠ACB的 平分线，DE⊥BC,DF⊥AC, 垂足分别为E,F. 求证：四边形CFDE 是正方形 . 证 明 ：∵ DE⊥BC,DF⊥AC, ∴ ∠DEC=∠DFC=90°. 而∠ACB=90°, ∴四边形CFDE 为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形). 又∵ CD是∠ACB的平分线， ∴∠1=∠2, ∴DE=D F ( 角平分线的性质定理). ∴四边形CFDE是正方形( 有一组邻边相等的矩形是正方形). AD平分∠BAC, DF⊥AC,DG⊥AB DF=DE BD平分∠ABC, DE⊥BC,DGLAB 3.根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得结论. 求证：四边形CEDF 是正方形. 分 析 ： 1.根据有三个角是直角的四边形是矩形可证明四边形 CEDF是矩形. 2.只要证得一组邻边相等即可. 【变式】已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠BAC,∠ABC 的平分线相交于点D,DE⊥BC,DFLAC, 垂足分别为E,F. 角平分线上的点到角两边的距离相等 DF=DG DE=DG 【例2】已知：如图，在正方形ABCD中 ，E,F,G,H 分别是它的四条 边上的点，且AE=BF=CG=DH. 求证：四边形EFGH 是正方形. 分析：由已知可证 △AEH≌△BFE≌△CFG≌△DGH, 得四边 形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可. 【练习】如图，等边三角形AEF的顶点为E,F 在矩形ABCD的边 BC 、CD上，且∠CEF=45° . 求证：矩形ABCD是正方形. 【练习】如图，已知菱形ABCD,E、F 是对角线BD 所在直线上的两点，且 ∠AED=45°, DF=BE ,连结CE 、AE 、AF 、CF. 求证：四边形AECF是正方形. 【例 3】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°,BC=1, 将直角三角形ABC绕 点A逆时针旋转90°,得到△ AED, 连 接CD, 延 长DE 到F,使 EF=2, 连 接CF、AF, 若∠EAF+∠BAC=45°, 求CF的长. 解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°, 由折叠的性质得：AH=AB,∠AHE=∠B=90°, ∴四边形ABEH 是正方形，四边形CDHE 是矩形， ∴AH=EH,DH=EC=3, 设AH=EH=x(x>0), 则AD=AH+DH=x+3, 【2】如图，将矩形纸片ABCD 折 叠(AD>AB), 使 点 B 落 在AD 上 的 点H 处 ，AE 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将BE 边折起，使点 B 落 在AE 上 的 点 G 处 ， 连 接DE, 若 AE=AD,EC=3, 求 AD 的 长 . 在 Rt△ AEH中 ，AE=√AH²+EH²=√2x, ∵AE=AD,∴√2x=x+3, 解得x=3√2+3, 则 AD=x+3=3√2+3+3=6+3√2. 矩形 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 一组邻边相等且一个内角为直角 (或对角线互相垂直且相等) 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 菱形 【总结】正方形的定义及判定 有一个角是90° (或对角线相等) 有一个角是90° (或对角线相等) 平行四边形 正方形 Thank you 感谢观看 $$