5.1《矩形》 同步练习 2024--2025学年浙教版八年级数学下册

5.1《矩形》小节复习题 题型01 矩形性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    ) A．对角线互相平分 B．两组对角相等 C．对角线相等 D．两组对边相等 2．如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，C、D在同一直线上，，现将调整为，保持不变，则图中应为 ． 3．如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积． 题型02 利用矩形的性质求角度 1．如图，在矩形中对角线、相交于点，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 2.如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为 3．已知：如图，平行四边形形的对角线与相交于点O，．    (1)求证：平行四边形为矩形． (2)若．求：的度数． 题型03 根据矩形的性质求线段长 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，若，，则的长度是(    ) A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 2．如图，在矩形中，O，E分别为的中点．若，则的长为 ． 3．在矩形中，过对角线的中点O作，分别与和的延长线交于点E，F. (1)求证：； (2)若，，求与的长. 题型04 根据矩形的性质求面积 1．如图，四边形是面积为的矩形，是边上一点，连接，作垂直于于点，已知，则的值为(    ) A．1 B． C．3 D． 2．如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 ． 3．如图，矩形的对角线相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)若，求矩形的面积． 题型05 利用矩形的性质证明 1．如图，矩形中，P为边上一动点(含端点)，F为中点，E为中点，当点P由B向A运动时，下面对变化情况描述正确的是(　　)    A．由小变大 B．由大变小 C．先变大后边小 D．先变小后变大 2．如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，则的长为 ．    3．如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E，连接，证明： 题型06 求矩形在坐标系中的坐标 1．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 3．如图，在矩形中，点、分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，．点在上，连接，把沿着折叠，点刚好与线段上一点重合．    (1)请直接写出点C的坐标． (2)求线段CF的长度． 题型07 矩形与折叠问题 1．如图，长方形中，点E在边上，将长方形沿直线折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，点E是矩形中边上的一点，将沿折叠为，点F落在边上，若，则 ． 3．如图，把矩形沿折叠，使点B落在点D处，点C落在点G处，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的长度； (3)求的长度； 题型08 矩形的判定定理理解 1．综合实践课上，嘉嘉设计了“利用已知矩形，用尺规作有一个内角为角的平行四边形”．他的作法如下： 如图1，分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F，作直线； (2)如图2，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接； (3)如图3，以点G为圆心，以长为半径作弧，交直线于点H，连接．则四边形即为所求作的平行四边形，其中． 根据上述作图过程，判定四边形是平行四边形的依据是(    ) A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2．木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为100cm，宽为80cm，对角线为130cm，则做出的这个桌面 ．(填“合格”或“不合格”) 3．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F是AC上的动点，且不与O点重合． (1)若AE=CF，求证：四边形DEBF是平行四边形； (2)已知BD=12cm，AC=16cm，点E，F均以2cm/s的速度，分别从点A，C出发，向点C，A方向运动．若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形，求点E，F运动时间t的值． 题型09 添一个条件使四边形是矩形 1．在平行四边形ABCD中，对角线、相交于点O，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 3．如图，为的一条中线，点为的延长线上一点，以、为一组邻边作平行四边形，请你添加一个条件(不再添加其他线条和字母)，使得四边形是矩形．    (1)你添加的条件是______________； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 题型10 证明四边形是矩形 1．顺次连接下列图形的各边中点，所得图形为矩形的是(    ) ①矩形        ②菱形        ③对角线相等的四边形        ④对角线互相垂直的四边形 A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 2．如图，在中，D，E，F分别是，和边的中点，请在不添加辅助线的情况下添加一个条件 ．使四边形为矩形．(填一个即可)    3．如图，在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．连接．求证：四边形是矩形． 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 1．两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形ABCD中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    3．如图，已知中，，．D是内的一点，且，． (1)_______°； (2)依题中的条件用尺规作图补全图形(保留作图痕迹，不写作法)； (3)求的度数． 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 1．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为(    )    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，于点E，于点F，则的最小值为 ． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点作于点，点在边上，．连接，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，平分，，求的长． 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 1．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为(   ) A．10 B．12 C．16 D．18 2．如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为 ． 3．如图，在中，，点为内一点，连接，，，，，分别是，，，的中点，，，求：四边形的面积．    参考答案 题型01 矩形性质理解 1．C 【分析】本题考查矩形性质和平行四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵矩形对角线互相平分，平行四边形对角线也互相平分，故A选项不选； ∵矩形两组对角相等，平行四边形两组对角也相等，故B选项不选； ∵矩形对角线相等相等，平行四边形对角线不一定相等，故C选项选； ∵矩形两组对边相等，平行四边形两组对边也相等，故D选项不选， 故选：C． 2．50 【分析】本题考查了三角形外角的性质，矩形的性质，角度的计算，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形外角的性质，得到，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：∵，°， ∴， ∵行李箱的侧面可看成一个矩形， ∴， ∴． 故答案为：50． 3．解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型02 利用矩形的性质求角度 1．D 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2. 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 3．(1)解：在平行四边形中，， ∴， ∴平行四边形为矩形； (2)∵平行四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 题型03 根据矩形的性质求线段长 1．B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．根据矩形的性质以及勾股定理，可得，，再由三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴． 故选：B 2．8 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，易得是的中位线，进而得到，矩形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在矩形中，O，E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴； 故答案为：8． 3．(1)证明：四边形是矩形， ∴， ， 点是的中点， ， ， ， 在和中， ， ∴； (2)解：如图，连接， ∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ， ， ∵ ∴， 即 解得， ， ， ， ． ， ， ． 题型04 根据矩形的性质求面积 1.D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，根据题意得出，，根据四边形是面积为的矩形，得出，，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形是面积为的矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．3 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式的运用，掌握矩形的性质、证明是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，， ，，， ∴∠AEO=∠CFO， ， ，则， ， ，故， 故答案为：3． 3．(1)证明：四边形是矩形， ，，，， ， ， 在和中， ， ()， ， ； (2)解：，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 矩形的面积． 题型05 利用矩形的性质证明 1．B 【分析】连接，则为的中位线，当点由向运动时，由大变小，利用中位线的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，   为中点，为中点， 为的中位线， ， 在中，由勾股定理得， ， 当点由向运动时， 的长度逐渐减小， 减小， 由大变小． 故选：B． 2． 【分析】由矩形的性质得，，，而，所以，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为：． 3．证明：如图，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵，点D在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 由∵ ∴． 题型06 求矩形在坐标系中的坐标 1．D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为(0，)， 故选：D． 2． 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 3．(1)解：四边形是矩形， ，，，， 点的坐标； (2)，， ， 把沿着折叠，设点刚好与线段上一点重合，    ，，， ， ， ， ． 题型07 矩形与折叠问题 1．A 【分析】本题考查的是图形的翻折变换，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 首先根据由翻折而成，结合翻折变换的知识得到，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵由翻折而成， 在中， ∵CD=3,DF=5, 故选：A． 2． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出，根据折叠的性质得出，根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 沿折叠为， ， ， ， 故答案为：． 3．(1)证明：由题意知：折叠后为， ∴， 又∵， ∴， ∴综上可得：， ∴是等腰三角形； (2)解：设长， ∵折叠后是， ∴ 由题意知，， 则在∆ADE中，由勾股定理得： ， 即， 解得， ∴的长度为． (3)解：由第(1)问知：， 又∵， ∴， ∴， 过点F作的垂线，垂足为Q， ∴，， 由第(2)问知 ∴， ∴． 题型08 矩形的判定定理理解 1．A 【分析】 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键，根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形． 【详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 依据为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 故选：A． 2．不合格 【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格． 【详解】解：不合格， 理由：∵802+1002=16400≠1302， 即：AB2+BC2≠AC2， ∴∠B≠90°， ∴四边形ABCD不是矩形， ∴这个桌面不合格． 故答案为：不合格． 3．(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． ∵AE= CF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； (2)若以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形， 则BD=EF=12， ∴OE=OD=6， 由题意得AO=OC=8， ∴AE=2或AE =14， ∵点E，F的运动速度均为2cm/s， ∴t的值为1s或7s． 题型09 添一个条件使四边形是矩形 1．C 【分析】本题考查了矩形的判定，熟知对角线相等的平行四边形是矩形是解题的关键． 【详解】解：A、，邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题意； B、，不能判断平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意； C、，对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项符合题意； D、，对角线垂直的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形常见的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：(答案不唯一)． 3．(1)解：添加的条件是， 故答案为：(答案不唯一)； (2)证明：，是边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 题型10 证明四边形是矩形 1．C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键，利用中位线定理，矩形的判定解答即可． 【详解】∵矩形的对角线相等， ∴中点四边形的四边相等，故形状是菱形； 故①错误； ∵ 菱形的对角线互相垂直， ∴中点四边形的一个内角是直角，故形状是矩形； 故②正确； ∵四边形的对角线相等， ∴中点四边形的四边相等，故形状是菱形； 故③错误； ∵ 四边形的对角线互相垂直， ∴中点四边形的一个内角是直角，故形状是矩形； 故④正确； 故选C． 2．∠B=90°(答案不唯一) 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的判定．根据三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理，即可求解． 【详解】解：添加∠B=90°，理由如下： ∵D，E，F分别是，和边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵∠B=90°， ∴四边形是矩形． 故答案为：∠B=90°(答案不唯一) 3．证明：∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 题型11 根据矩形的性质与判定求角度 1．C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ∵∠CEF=10°， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 3．(1)解：，， ， 故答案为． (2)解：如图所示，点即为所求． (3)解：作于，于． ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ． 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 1．A 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据矩形的判定可知四边形是矩形，再根据矩形的性质及勾股定理可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故选．    2． 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，由直角三角形的面积求出是解决问题的关键．先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，求得最短时的长即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， ∴， 四边形是矩形， ， ∴当最短时，最短， ∵垂线段最短， ∴时，最小，即最小， ∴的最小值为：， 故答案为：． 3．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵点在边上，点在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，则， ∴平行四线是矩形． (2)解：∵， ∴，则， 在中，， ∴， ∴，， ∵由(1)可知，四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， 已知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为． 题型13 根据矩形的性质与判定求面积 1．B 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ∴， ， ， ， 故选：B． 2． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据题意可得、为等边三角形，结合E、F为的中点可推出四边形为矩形，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴、为等边三角形， ∴， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴ ∴四边形为矩形， 又， ∴ ∴，， ∴四边形的面积为：。 故答案为： 3．解：，点是，的中点 ， 同理，， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形 学科网（北京）股份有限公司 $$