5.1.2矩形的判定　课件 2024-2025学年 浙教版数学八年级下册

5.1.2矩形的判定 浙教版数学 八年级下 【复习2】平行四边形的判定 方法 文字语言 图形语言 几何语言 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵ AD∥CB, AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB//CD,AB =CD ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∵ AD=CB,AB=DC ∴四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵ AO=CO, BO=DO， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 【引例】如何判定一个四边形是矩形？ B C D A 【方法一】矩形的定义. 【方法二】矩形性质定理的逆定理. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 定理1： 矩形的四个角都是直角. 定理2： 矩形的对角线相等. 四个角都是直角的四边形是矩形. 定理1的逆定理： 定理2的逆定理： 对角线相等的四边形是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B= 90°+90°=180°， ∠B+∠C= 90°+90°=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD ， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是矩形. B C D A 【几何语言】 ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 【矩形的判定定理1】 有三个角是直角的四边形是矩形. B C D A O 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC=BD， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD， 又∵AC=DB，BC=CB ∴△ABC≌△DCB（SSS） ∴∠ABC=∠DCB, AB∥CD ， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴平行四边形ABCD是矩形.   【矩形的判定定理2】 对角线相等的平行四边形是矩形. 【几何语言】 ∵在四边形ABCD中，AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 四边形 有一个直角 对角线相等 有三个直角 【归纳】矩形的判定方法 【2】矩形的判定定理1： 【3】矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 【1】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 【练习】课内练习1 【例1】如图，BD是平行四边形ABCD的一条对角线，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于F． (1)求证：BC=CF． (2)当DB=DF时，求证：四边形ABCD是矩形． 【例2】一张四边形纸板ABCD两条对角线互相垂直，若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪？ A B C D O E F G H . . . . 解：分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H， 依次连结EF，FG，GH，HE， ∵EF是△ABC的中位线, ∴EF∥AC, ∵AC⊥BD, ∴EF⊥BD, ∵EH是△ABD的中位线, 即∠HEF＝90°, 同理∠EHG＝90°, ∠HGF＝90°, ∴ EF⊥EH, ∴四边形EFGH是矩形． ∴EH∥BD, 【练习】证明：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. A C B D E 已知：在△ABC中，CD是边AB上的中线，且CD= AB 求证：△ABC是直角三角形 证明：延长CD到E，使DE=CD，连结AE、BE ∵CD是AB上的中线， ∴AD=DB， ∴四边形AEBC是平行四边形. ∴ 四边形AEBC是矩形. ∴CE=AB ∴CD=CE, ∵CD=AB, ∴ ∠ACB=90°. 【例3】如图，BC是等腰三角形BED的底边ED上的高线，四边形ABEC是平行四边形. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABEC是平行四边形, ∵BC是等腰三角形BED底边ED上的高， ∴EC=CD， ∴AB CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴ 平行四边形ABCD是矩形. ∠BCD=90°, ∵∠BCD=90°, 定义法 ∴AB CE, 【例3】如图，BC是等腰三角形BED的底边ED上的高线，四边形ABEC是平行四边形. 求证：四边形ABCD是矩形. ∵BC是等腰三角形BED底边ED上的高, ∴EC=CD, ∴AB CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. AC=BE, BE=BD, ∵AC=BE，BE=BD, ∴BD=AC, ∴平行四边形ABCD是矩形. 定理2 证明：∵四边形ABEC是平行四边形, ∴AB CE, 可否用“三个角都是直角的四边形是矩形”来证明呢？ $$