精品解析：新疆喀什地区莎车县2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

莎车县2024—2025学年第二学期高一年级期中考试（数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一个球的半径为2，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球的表面积公式求解即可. 【详解】球的表面积为. 故选：D. 2. 下列几何体中棱柱有(　　) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【详解】由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．故选D. 3. 设，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模. 详解： ， 则，故选c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　) A. 4 cm2 B. cm2 C. 8 cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由题意结合斜二测画法的法则整理计算即可求得原图形的面积. 详解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，， 则梯形面积为：，则， 原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为， 其面积为：. 本题选择C选项. 点睛：本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5. 若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； 【详解】解：因为，，所以， ，因为，所以，解得 故选：A 6. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 7. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案. 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解. 【详解】取中点，连接，如图， 是边长为2的等边三角形，， ，又平面，， 平面， 又，， 故，即， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有4个面 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的矩形 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据柱体和锥体的体结构特征和基本性质对每一题进行逐一分析判断. 【详解】A，一个棱柱的底面至少有3条边，所以至少有5个面，错误. B，由平行六面体的概念和性质，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，错误. C，根据棱锥的定义，其底面为多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形， 所以有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，正确. D，由正棱锥的定义和性质可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确. 故选：CD 10 若复数z满足，则（ ） A. |z|=2 B. 是纯虚数 C. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα= 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出复数，根据复数模、纯虚数、几何意义及三角函数定义，即可作出判断． 【详解】由题意，，A选项正确； ，B选项正确； 在复平面内对应点为，对应点在第一象限，C选项错误； ，D选项错误. 故选：AB. 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的实部为____． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数的运算可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】设，则， 所以，，所以，，解得， 因此，复数的实部为. 故答案为：. 13. 设向量，夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 14. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，球O的半径为R，由题意可得，结合体积公式运算求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，球O的半径为R， 因为圆锥的轴截面为正三角形，可知圆锥的高， 则，即， 可得圆锥的体积， 球O的体积， 所以. 故答案为：． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤． 15. 已知复数，为虚数单位，. （1）若是实数，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）.（3） 【解析】 【分析】（1）直接由虚部等于0求实数的值； （2）由列关于的方程组求实数的值； （3）由题意，实部大于0且虚部小于0，联立不等式组求解． 【详解】解：（1）若为实数，则，∴. （2）， ∴，∴， ∴或. （3）由在复平面内对应的点位于第四象限得，∴. 【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 16. 已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）当为何值时，？ 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积求出两个向量的数量积；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模． （2）利用向量垂直的充要条件列出方程求出的值． 【小问1详解】 解：由已知， 所以． 【小问2详解】 解：若，则， ，则， ． 17. 已知，，. （1）若，判断的形状，并给出证明； （2）求实数的值，使得最小； （3）若存在实数，使得，求、的值. 【答案】（1）为直角三角形；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明； （2）根据题意可得，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值； （3）利用向量共线可得方程组，解得即可. 【详解】（1）当时，为直角三角形.证明如下： 当时，由，，，则，， 此时，即，即， 所以，为直角三角形. （2）由题意，，，则， 所以，，当且仅当时取等号. 故当时，取得最小值为. （3）由题意，，，因， 所以，解得. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题. 18. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱. （1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积； （2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则， 又可知圆柱母线长，圆锥母线长. 所以剩下几何体的表面积； 【小问2详解】 所以剩下几何体的体积． 19. 在内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得即可得解； （2）首先有，结合余弦定理求出，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ∵，由正弦定理得， ，∴，∴，∴． 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 解得或（舍去），∴，∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莎车县2024—2025学年第二学期高一年级期中考试（数学）试卷 满分150分 时长120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一个球的半径为2，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中棱柱有(　　) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 设，则 A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画出某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为cm2，则原平面图形的面积为(　　) A. 4 cm2 B. cm2 C. 8 cm2 D. cm2 5. 若，，，则（ ） A. B. C. 2 D. -2 6. 在中，点D在边AB上，．记，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，是边长为2等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ） A 1 B. C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 一个棱柱至少有4个面 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的矩形 C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 10. 若复数z满足，则（ ） A. |z|=2 B. 是纯虚数 C. 复数z在复平面内对应的点在第三象限 D. 若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα= 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则的实部为____． 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 14. 已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球O的直径相等，则圆锥的体积与球O的体积的比值是____________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤． 15. 已知复数，为虚数单位，. （1）若是实数，求实数的值； （2）若，求实数的值； （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 16. 已知，，与的夹角是． （1）计算； （2）当何值时，？ 17. 已知，，. （1）若，判断形状，并给出证明； （2）求实数的值，使得最小； （3）若存在实数，使得，求、的值. 18. 如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱. （1）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积； （2）求该圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积. 19. 在内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$